Teorema dei fattori

Questa calcolatrice ti aiuterà a utilizzare il teorema dei fattori, mostrandoti tutti i passaggi. Tutto quello che devi fare è fornire un polinomio valido, come ad esempio x^3 - 3x + 4, e un numero o un'espressione numerica, come 1/3. Se chiamiamo il polinomio p(x) e il valore a, usiamo il Teorema dei Fattori per valutare se (x - a) è o meno un fattore di p(x).

Una volta fornito un polinomio valido e un valore, ciò che ti resta da fare è solo cliccare su "Calcola" per ottenere tutti i passaggi mostrati.

Osserva che x - a essere un fattore di p(x) equivale ad avere che x - a divide p(x) esattamente.

Cos'è il teorema dei fattori?

L'idea di fattorizzare un polinomio è semplice: vogliamo sapere se un polinomio può essere scritto o meno come la moltiplicazione di polinomi più piccoli. Come per esempio, se \(p(x)\) è un polinomio, e siamo in grado di scrivere

\[ p(x) = q(x)(x-a)\]

per qualche polinomio \(q(x)\) allora possiamo dire che \(x - a\) è a fattore di \(p(x)\). Il teorema dei fattori afferma che affinché \(x - a\) sia un fattore di \(p(x)\), allora dobbiamo avere quel \(p(a) = 0\), e viceversa, se \(p(a) = 0\), allora < > è un fattore di \(p(x)\).

Allora, il Teorema dei Fattori ci dice questa cruciale e stretta associazione tra radici dei polinomi e fattori del polinomio, al punto che \(a\) è una radice del polinomio se e solo se \(x - a\) è un fattore di \(p(x)\). Quindi, per trovare le radici di un polinomio, dobbiamo trovare i suoi fattori.

Come utilizzare il teorema dei fattori per fattorizzare i polinomi

Esistono diversi approcci, ma i più comuni sono:

• Fase 1: Inizia con un polinomio p(x). Assicurati che sia semplificato il più possibile.
• Passo 2: Se il grado di p(x) è 2 o meno, allora ci sono formule dirette per ottenere le radici. Per il grado 2, se le radici sono r1 e r2, il polinomio viene scomposto come p(x) = a(x-r1)(x-r2), dove a è il termine principale
• Smusso 3: Per il grado 3 o superiore, prova a indovinare una radice, o meglio usa prima il teorema della radice razionale trovare quante più radici razionali possibili
• Passaggio 4: Se il passaggio precedente non ha prodotto radici, fermati. Non c'è niente che puoi fare con i metodi di base e probabilmente hai bisogno di un'approssimazione numerica
• Passaggio 5: Se hai trovato radici semplici dai passaggi precedenti, allora per il teorema del fattore i termini x - r (dove r è una radice) devono essere fattorizzati. Quindi dividiamo p(x) per tutti i fattori corrispondenti. Ciò porterà a un polinomio che ha un grado che è stato ridotto tanto quanto il numero di radici trovate nei passaggi precedenti. Chiama il polinomio risultante p(x)
• Passaggio 6: Applica nuovamente tutti i passaggi al nuovo polinomio p(x), finché l'iterazione non si interrompe.

In realtà, ci sono formule esatte per le radici dei polinomi di grado 3 e 4, ma non sono molto facili da usare, quindi in genere non sono trattate in un corso base di Algebra.

Come mettere in relazione il teorema dei fattori e il teorema del promemoria

Il teorema dei fattori è strettamente correlato al teorema del resto . Questo perché dalla scomposizione euclidea ottenuta quando polinomi divisori \(p(x)\) e \(s(x)\), otteniamo che esistono polinomi \(q(x)\) e \(r(x)\) tali che

\[p(x) = s(x) q(x) + r(x) \]

con \(deg(r(x)) < deg(s(x))\). Allora, in particolare, quando \(s(x) = x-a\), che ha grado 1, abbiamo

\[p(x) = s(x) (x-a) + r(x) \]

e in questo caso, \(r(x)\) deve avere grado 0 (perché deve essere minore del grado di s, che è 1), quindi \(r(x) = r\) è una costante. Quindi

\[p(x) = s(x) (x-a) + r \]

e inserire \(x = a\) nell'equazione precedente porta a:

\[p(a) = s(a) (a-a) + r \Rightarrow p(a) = r\]

Quindi il teorema del resto implica che se \(a\) è una radice, allora \(p(a) = 0\) e quindi anche il resto è \(r = 0\).

Suggerimenti per il successo

Anche il teorema dei fattori è utile per trovare le radici di un polinomio e ci dice che le radici possono essere trasformate direttamente in fattori. Questo probabilmente ti porterà a valutare le espressioni, per le quali a volte può essere più conveniente quando si utilizza il processo di Sostituzione sintetica , al contrario di collegare semplicemente a fare i calcoli.

Evita errori come provare a pensare a una "formula" per trovare i fattori. Trovare i fattori è essenzialmente la stessa cosa che trovare le radici, il che implica essere in grado di farlo in modo efficace valutare i polinomi a valori dati.

Esempio: teorema dei fattori

\(x - 1\) è un fattore di \(p(x) = 3x^3 - x^2 + 2x - 1\)

Soluzione: È stato fornito il seguente polinomio: \(\displaystyle p(x) = 3x^3-x^2+2x-1\), e dobbiamo scoprire per il punto dato \(\displaystyle x = 1\) se \(\displaystyle x - 1\) è fattore di \(p(x)\).

Per fare ciò, utilizzeremo la sostituzione sintetica per valutare se \(\displaystyle p(1) = 0\) o meno.

Per eseguire la sostituzione sintetica, dobbiamo fare una divisione sintetica di : \(\displaystyle p(x) = 3x^3-x^2+2x-1\), e il divisore \(\displaystyle s = x-1\), e trovare il resto.

Si osservi che il grado del dividendo è \(\displaystyle deg(p) = 3\), mentre il grado del divisore è \(\displaystyle deg(s)) = 1\).

Fase 1: Poiché il divisore ha grado 1, possiamo utilizzare il metodo della divisione sintetica. Risolvendo \(\displaystyle s(x) = x-1 = 0\) troviamo direttamente che il numero da inserire nella casella di divisione è: \(\displaystyle 1\).

\[\begin{array}{c|ccc} 1 & 3 & -1 & 2 & -1 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

Passo 2: Ora passiamo direttamente il termine principale \(3\) alla riga del risultato:

\[\begin{array}{c|ccc} 1 & 3 & -1 & 2 & -1 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &3&&& \end{array}\]

Smusso 3: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 1, otteniamo: \(1 \cdot \left(3\right) = 3\) e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna 1.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline&3&&&\end{array}\]

Passaggio 4: Ora sommando i valori nella colonna 2, otteniamo: \( -1+3 = 2\) e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna 2.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & \\[0.6em]\hline& 3 & 2 & \end{array}\]

Passaggio 5: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 2, otteniamo: \(1 \cdot \left(2\right) = 2\) e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna 2.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & \end{array}\]

Passaggio 6: Ora sommando i valori nella colonna 3, otteniamo: \( 2+2 = 4\) e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna 3.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & 4\end{array}\]

Passaggio 7: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 3, otteniamo: \(1 \cdot \left(4\right) = 4\) e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna 3.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2 & 4\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & 4\end{array}\]

Passaggio 8: Ora sommando i valori nella colonna 4, otteniamo: \( -1+4 = 3\) e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna 4.

\[\begin{array}{c|ccc}1 & 3 & -1 & 2 & -1\\[0.6em]& 0 & 3 & 2 & 4\\[0.6em]\hline& 3 & 2 & 4 & 3\end{array}\]

che conclude questo calcolo, poiché siamo arrivati al risultato nella colonna finale, che contiene il resto.

Conclusione: Pertanto, concludiamo che per il dato dividendo \(\displaystyle p(x) = 3x^3-x^2+2x-1\) e divisore \(\displaystyle s(x) = x-1\), otteniamo che il resto è \(\displaystyle r(x) = 3\), quindi concludiamo che \(\displaystyle p\left(1\right) = 3 \ne 0\).

Pertanto, concludiamo che \(\displaystyle x - 1\) NON è fattore di \(p(x)\).

Esempio: altri esempi di teorema dei fattori

Per il polinomio: \(p(x) = 3x^3 + x^3 - 15x + 4\), cos'è \(p(1/3)\), cosa implica in termini di x - 1/3 essere un fattore di p(x)?

Soluzione: In questo caso abbiamo: \(\displaystyle p(x) = 3x^3+x^3-15x+4\), e il punto dato è \(\displaystyle x = \frac{1}{3}\) . Dobbiamo scoprire se \(\displaystyle x - \frac{1}{3}\) fa parte di \(p(x)\) oppure no.

Come nell'esempio precedente, verrà utilizzata la sostituzione sintetica per valutare se\(\displaystyle p(\frac{1}{3}) = 0\).

Passaggio Iniziale: In questo caso, dobbiamo prima semplificare il dividendo \(\displaystyle P(x) = 3x^3+x^3-15x+4\) e, per farlo, eseguiamo i seguenti passaggi di semplificazione:

Ora, procediamo a fare una divisione sintetica di : \(\displaystyle p(x) = 4x^3-15x+4\), con il divisore \(\displaystyle s = x-\frac{1}{3}\), e dobbiamo trovare il resto.

Fase 1: Poiché il divisore ha grado 1, possiamo utilizzare il metodo della divisione sintetica. Risolvendo \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3} = 0\) troviamo direttamente che il numero da inserire nella casella di divisione è: \(\displaystyle \frac{1}{3}\).

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & \end{array}\]

Passo 2: Ora passiamo direttamente il termine principale \(4\) alla riga del risultato:

\[\begin{array}{c|ccc} \frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4 \\[0.6em] & & & & & \\[0.6em] \hline &4&&& \end{array}\]

Smusso 3: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 1, troviamo: \(\frac{1}{3} \cdot \left(4\right) = \frac{4}{3}\) e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna 1.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \\[0.6em]\hline&4&&&\end{array}\]

Passaggio 4: Sommando ora i valori nella colonna 2, troviamo: \( 0+\frac{4}{3} = \frac{4}{3}\) e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna 2.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & \end{array}\]

Passaggio 5: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 2, troviamo: \(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{9}\) e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna 2.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & \end{array}\]

Passaggio 6: Sommando ora i valori nella colonna 3, troviamo: \( -15+\frac{4}{9} = -\frac{131}{9}\) e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna 3.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & -\frac{131}{9}\end{array}\]

Passaggio 7: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 3, troviamo: \(\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{131}{9}\right) = -\frac{131}{27}\) e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna 3.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9} & -\frac{131}{27}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & -\frac{131}{9}\end{array}\]

Passaggio 8: Sommando ora i valori nella colonna 4, troviamo: \( 4-\frac{131}{27} = -\frac{23}{27}\) e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna 4.

\[\begin{array}{c|ccc}\frac{1}{3} & 4 & 0 & -15 & 4\\[0.6em]& 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{9} & -\frac{131}{27}\\[0.6em]\hline& 4 & \frac{4}{3} & -\frac{131}{9} & -\frac{23}{27}\end{array}\]

che conclude questo calcolo, poiché siamo arrivati al risultato nella colonna finale, che contiene il resto.

Conclusione: Pertanto, dopo aver semplificato, troviamo che dividendo \(\displaystyle p(x) = 4x^3-15x+4\) e il divisore \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3}\), otteniamo che il resto è \(\displaystyle r(x) = -\frac{23}{27}\), quindi concludiamo che \(\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{23}{27} \ne 0\).

Pertanto, concludiamo che \(\displaystyle x - \frac{1}{3}\) NON è fattore di \(p(x)\).

Esempio: maggiori informazioni sul teorema dei fattori

\(x - 2\) è un fattore di \(p(x) = 2x^4 - x^3 + x - 2\)

Soluzione: Per questo esempio abbiamo: \(\displaystyle p(x) = 2x^4-x^3+x-2\), quindi dobbiamo trovare se \(\displaystyle x = 2\) è una radice del polinomio oppure no, per valutare se \(\displaystyle x - 2\) è fattore di \(p(x)\) o no.

Per fare ciò, utilizzeremo la sostituzione sintetica per valutare se \(\displaystyle p(2) = 0\) o meno.

La divisione sintetica di sarà eseguita per: \(\displaystyle p(x) = 2x^4-x^3+x-2\), e \(\displaystyle s = x-2\), e dobbiamo trovare il resto della divisione.

Fase 1: Poiché il divisore ha grado 1, possiamo utilizzare il metodo della divisione sintetica. Risolvendo \(\displaystyle s(x) = x-2 = 0\) troviamo direttamente che il numero da inserire nella casella di divisione è: \(\displaystyle 2\).

\[\begin{array}{c|cccc} 2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}\]

Passo 2: Ora passiamo direttamente il termine principale \(2\) alla riga del risultato:

\[\begin{array}{c|cccc} 2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &2&&&& \end{array}\]

Smusso 3: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 1, troviamo: \(2 \cdot \left(2\right) = 4\) e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna 1.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & & \\[0.6em]\hline&2&&&&\end{array}\]

Passaggio 4: Sommando ora i valori nella colonna 2, troviamo: \( -1+4 = 3\) e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna 2.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & & \\[0.6em]\hline& 2 & 3 & & \end{array}\]

Passaggio 5: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 2, troviamo: \(2 \cdot \left(3\right) = 6\) e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna 2.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & \\[0.6em]\hline& 2 & 3 & & \end{array}\]

Passaggio 6: Sommando ora i valori nella colonna 3, troviamo: \( 0+6 = 6\) e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna 3.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & \\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & \end{array}\]

Passaggio 7: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 3, troviamo: \(2 \cdot \left(6\right) = 12\) e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna 3.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & \end{array}\]

Passaggio 8: Sommando ora i valori nella colonna 4, troviamo: \( 1+12 = 13\) e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna 4.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & 13\end{array}\]

Passaggio 9: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 4, troviamo: \(2 \cdot \left(13\right) = 26\) e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna 4.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12 & 26\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & 13\end{array}\]

Passaggio 10: Sommando ora i valori nella colonna 5, troviamo: \( -2+26 = 24\) e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna 5.

\[\begin{array}{c|cccc}2 & 2 & -1 & 0 & 1 & -2\\[0.6em]& 0 & 4 & 6 & 12 & 26\\[0.6em]\hline& 2 & 3 & 6 & 13 & 24\end{array}\]

e fermiamo la divisione poiché il resto ha grado 0.

Conclusione: Pertanto, concludiamo che per il dato dividendo \(\displaystyle p(x) = 2x^4-x^3+x-2\) e divisore \(\displaystyle s(x) = x-2\), otteniamo che il resto è \(\displaystyle r(x) = 24\), quindi concludiamo che \(\displaystyle p\left(2\right) = 24 \ne 0\).

Pertanto, concludiamo che \(\displaystyle x - 2\) NON è fattore di \(p(x)\).

Altri calcolatori polinomiali

L'importanza dei polinomi non può essere sopravvalutata, in quanto sono uno degli oggetti più importanti in Algebra. calcoli polinomiali sono davvero importanti in matematica e in molte applicazioni oltre la matematica.

I polinomi sollevano il problema principale della risoluzione delle equazioni polinomiali, che sono tra le più importanti in Algebra, sebbene non siano necessariamente facili da risolvere, e in effetti, non esiste davvero una formula per ottenere quelle soluzioni, per gradi superiori.

Trovare le radici implica l'uso di Teorema zero razionale per trovare soluzioni semplici, utilizzando Divisione polinomiale per ridurre l'equazione a uno di grado inferiore utilizzando Divisione Lunga o Divisione sintetica , e risciacquare e ripetere fino a trovare tutte le radici. Anche se questo non è sempre possibile visto che potrebbero esserci radici non razionali e anche radici complesse.