Mi è sembrato importante ripassare il concetto di derivata di una funzione. Il processo di differenziazione (ovvero il calcolo delle derivate) è una delle operazioni fondamentali nel calcolo e anche in matematica. In questo tutorial di Math Crack cercherò di far luce sul significato e sull'interpretazione di ciò che è e fa un derivato.

Prima di tutto, allo scopo di chiarire qual è lo scopo di questo tutorial, vorrei dire che non ci eserciteremo risolvendo problemi pratici specifici che coinvolgono derivati ​​ma faremo piuttosto un tentativo di capire cosa stiamo facendo quando operare con derivati. Una volta capito cosa stiamo facendo, abbiamo una possibilità WAYYY migliore di risolvere i problemi.

DEFINIZIONE DI DERIVATA (NON NOIOSA)

Per iniziare, è obbligatorio scrivere almeno la definizione di derivato. Supponiamo che \(f\) sia una funzione e \({{x}_{0}}\in dom\left( f \right) \). Ok, abbiamo già iniziato con i tecnicismi? Tutto quello che stiamo dicendo è che \(f\) è una funzione. Pensa a una funzione \(f\) dalla sua rappresentazione grafica mostrata di seguito:

Inoltre, quando diciamo che "\({{x}_{0}}\in dom\left( f \right) \)", tutto quello che stiamo dicendo è che \({{x}_{0}}\) è un punto in cui la funzione è ben definita (quindi appartiene alla sua dominio ). Ma tienilo, è possibile per un punto \({{x}_{0}}\) creare una funzione NON ben definita….? Certamente! Considera la seguente funzione:

\[f\left( x \right)=\frac{1}{x-1}\]

Tale funzione NON è ben definita in \({{x}_{0}}=1\). Cosa non è ben definito in \({{x}_{0}}=1\)? Perché se inseriamo il valore di \({{x}_{0}}=1\) nella funzione che otteniamo

\[f\left( 1 \right)=\frac{1}{1-1}=\frac{1}{0}\]

che è un'operazione NON VALIDA (come sai dalla scuola primaria, non puoi dividere per zero, almeno con le regole aritmetiche tradizionali), quindi la funzione non è ben definita in \({{x}_{0}}=1\). Affinché una funzione sia ben definita in un punto significa semplicemente che la funzione può essere valutata in quel punto, senza l'esistenza di alcuna operazione non valida.

Quindi ora possiamo dirlo di nuovo, perché ora sai cosa intendiamo: supponiamo che \(f\) sia una funzione e \({{x}_{0}}\in dom\left( f \right) \). La derivata nel punto \({{x}_{0}}\) è definita come

\[f'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim_{x \to {x_0}}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\]

quando esiste tale limite.

Ok, questo è il nocciolo del problema e ne discuteremo tra un secondo. Vorrei che tu avessi alcune cose ESTREMAMENTE chiare qui:

• Quando esiste il limite di cui sopra, chiamiamo if \(f'\left( {{x}_{0}} \right) \), ed è indicato come "derivato della funzione \(f\left( x \right) \) nel punto \({{x}_{0}}\)". Quindi, \(f'\left( {{x}_{0}} \right) \) è semplicemente un simbolo che usiamo per fare riferimento alla derivata della funzione \(f\left( x \right) \) nel punto \({{x}_{0}}\) (quando esiste). Avremmo potuto usare qualsiasi altro simbolo, come "\(deriv{{\left( f \right)}_{{{x}_{0}}}}\)" o "\(derivative\_f\_{{x}_{0}}\)". Ma un certo senso estetico ci fa preferire "\(f'\left( {{x}_{0}} \right) \)".

Il punto è che è un simbolo MADE UP da RIFERIRE alla derivata della funzione \(f\left( x \right) \) nel punto \({{x}_{0}}\). La cosa divertente in matematica è che la notazione è importante. Anche se un concetto esiste indipendentemente dalla notazione usata per esprimerlo, una notazione logica, flessibile e compatta può far prendere fuoco alle cose rispetto a ciò che può accadere con una notazione ingombrante e priva di ispirazione

Il ruolo svolto dalla notazione

(Storicamente, i due sviluppatori simultanei di una versione utilizzabile del concetto di derivata, Leibniz e Newton usavano notazioni radicalmente diverse. Newton usava \(\dot{y}\), mentre Leibniz usava \(\frac{dy}{dx}\). La notazione di Leibniz prese fuoco e facilitò il pieno sviluppo di Calculus, mentre la notazione di Newton ha causato più di un mal di testa. Davvero, era così importante).

• La derivata è un'operazione POINTWISE. Ciò significa che è un'operazione eseguita su una funzione in un dato punto e deve essere verificata punto per punto. Ovviamente in un dominio tipico come la linea reale \(\mathbb{R}\) c'è un numero infinito di punti, quindi potrebbe volerci un po 'per controllare a mano se una derivata è definita in ogni punto. MA ci sono alcune regole che permettono di semplificare notevolmente il lavoro calcolando la derivata in un punto generico \({{x}_{0}}\) e quindi analizzando per quali valori di \({{x}_{0}}\) esiste il limite che definisce la derivata. Quindi puoi rilassarti, perché il duro lavoro manuale non sarà faticoso, se sai cosa stai facendo, ovviamente.

• Quando la derivata di una funzione \(f\) esiste in un punto \({{x}_{0}}\), diciamo che la funzione è differenziabile in \({{x}_{0}}\). Inoltre, possiamo dire che una funzione è differenziabile in una REGIONE (una regione è un insieme di punti) se la funzione è differenziabile in OGNI punto di quella regione. Quindi, anche se il concetto di derivata è un concetto puntuale (definito in un punto specifico), può essere inteso come un concetto globale quando è definito per ogni punto in una regione.

• Se definiamo \(D\) l'insieme di tutti i punti della retta reale in cui è definita la derivata di una funzione, possiamo definire la funzione derivativa \(f'\) come segue:

Questa è una funzione perché associamo in modo univoco ogni \(x\) su \(D\) con il valore \(f'\left( x \right) \). Ciò significa che ogni valore di \(x\) su \(D\) è associato al valore \(f'\left( x \right) \). L'insieme di tutte le coppie \(\left( x,f'\left( x \right) \right) \), per \(x\in D\) forma una funzione e puoi fare tutte le cose che puoi fare con le funzioni, come rappresentarle graficamente.

Questo dovrebbe risolvere la domanda che molti studenti hanno sulle derivate, poiché si chiedono come abbiamo una "funzione" derivata, quando la derivata è qualcosa che viene calcolata in un certo punto specifico. Bene, la risposta è che calcoliamo la derivata in molti punti, il che fornisce le basi per definire la derivata come una funzione.

Parole finali: Notation Hell

Quando il concetto di derivato è stato inserito nella forma moderna che conosciamo da Newton e Leibniz (faccio l'enfasi sul termine "forma moderna", poiché il calcolo è stato quasi completamente sviluppato dai greci e altri in un modo più intuitivo e meno formale a TANTO tempo fa), hanno scelto notazioni radicalmente diverse. Newton ha scelto \(\overset{\bullet }{\mathop{y}}\,\), mentre Leibniz ha scelto \(\frac{dy}{dx}\). Fin qui tutto bene. Ma il concetto di derivata significa molto meno se non abbiamo potenti teoremi di derivata.

Usando le rispettive notazioni, entrambi ebbero pochi problemi a dimostrare i teoremi di differenziazione di base, come la linearità e la regola del prodotto, ma Newton non vide la necessità di affermare formalmente la Regola della catena, forse perché la sua notazione non si prestava a questo , mentre per la notazione di Leibniz, la regola della catena si mostra quasi come una regola "Duh". Per essere più precisi, supponi che \(y=y\left( x \right) \) sia una funzione e \(u=u\left( x \right) \) sia un'altra funzione.

È una domanda naturale chiedersi se posso calcolare la derivata della composizione \(y\left( u\left( x \right) \right) \) in modo semplice, sulla base delle derivate di \(y\) e \(u\). La risposta a questa domanda è la regola della catena. Usando la notazione di Leibniz la regola è

\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\]

È quasi come se potessi annullare il tipo di __XYZ_A __:

ma non è esattamente così. Ma questa è la bellezza della notazione di Leibniz. Ha un fascino fortemente intuitivo (e gli "annullamenti" di __XYZ_A __ sono quasi una realtà, è solo che è fatto a livello di \(\Delta u\) e ci sono dei limiti coinvolti), ma tuttavia devi capire cosa stava dicendo Leibniz con il regola. Lui dice:

"La derivata della funzione composta \(y\left( u\left( x \right) \right) \) è la stessa della derivata di \(y\) nel punto \(u\left( x \right) \) moltiplicata per la derivata di \(u\) nel punto \(x\)"

La regola della catena che utilizza la notazione di Newton assume la seguente forma:

\[\overset{\bullet }{\mathop{\left( f\circ u \right)}}\,=\overset{\bullet }{\mathop{f}}\,\left( u\left( x \right) \right)\overset{\bullet }{\mathop{u}}\,\left( x \right)\]

Un po 'meno carino, non è vero? Ma indovina un po ', la regola della catena di Newton dice ESATTAMENTE LO STESSO come

\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\]

Tuttavia, quest'ultima notazione ha preso fuoco e ha contribuito enormemente al rapido sviluppo del calcolo moderno, mentre la forma di Newton era molto meno amata. Anche se i teoremi dicevano esattamente la stessa cosa, uno era d'oro e l'altro non così tanto. Perché? NOTAZIONE amico mio.