Calcolatrice di funzioni logaritmiche da due punti

Lo scopo principale di questa calcolatrice è stimare i parametri \(A_0\) e \(k\) per la funzione logaritmica \(f(t)\) che è definita come:

\[f(t) = A_0 \ln(k t)\]

I parametri devono essere tali che la funzione logaritmica passi per i due punti dati \((t_1, y_1)\) e \((t_2, y_2)\).

Come si stima una funzione logaritmica da due punti?

Algebricamente parlando, è necessario risolvere il seguente sistema di equazioni per trovare i parametri \(A_0\) e \(k\):

\[y_1 = A_0 \ln(k t_1)\] \[y_2 = A_0 \ln(k t_2)\]

Risolvendo questo sistema per le incognite \(A_0\) e \(k\), possiamo trovare soluzioni uniche, purché \(t_1 \ne t_2\).

Infatti, sottraendo entrambi i lati delle equazioni:

\[\displaystyle y_1 - y_2 = A_0 \left( \ln(k t_1) - \ln(k t_2) \right)\] \[\displaystyle \Rightarrow \, y_1 - y_2 = A_0 \ln \left(\displaystyle\frac{k t_1}{k t_2}\right) \] \[\displaystyle \Rightarrow \, y_1 - y_2 = A_0 \ln \left(\displaystyle\frac{t_1}{t_2}\right) \] \[ \Rightarrow \, A_0 = \displaystyle \frac{y_1 - y_2}{\ln(t_1) - \ln(t_2)} \]

che risolve le equazioni per \(A_0\). Ora, per risolvere \(k\) usiamo la prima equazione e applichiamo l'esponenziale a entrambi i membri:

\[y_1 = A_0 \ln(k t_1)\] \[ \Rightarrow \, \displaystyle e^{\frac{y_1}{A_0}} = k t_1 \] \[ \Rightarrow \, k = \displaystyle \frac{e^{\frac{y_1}{A_0}}}{t_1} \]

e lì abbiamo trovato \(k\), in funzione di \(A_0\) già determinato e noto.

Come si calcola una funzione esponenziale?

Se invece di una funzione logaritmica sei interessato al comportamento esponenziale, allora probabilmente dovresti usare questo Calcolatore di funzione esponenziale , che segue la stessa logica di stima dei parametri per imporre la funzione che passa attraverso due punti dati.