Calcolatrice di funzioni logaritmiche da due punti

Lo scopo principale di questa calcolatrice è stimare i parametri $A_0$ e $k$ per la funzione logaritmica $f(t)$ che è definita come:

$$f(t) = A_0 \ln(k t)$$

I parametri devono essere tali che la funzione logaritmica passi per i due punti dati $(t_1, y_1)$ e $(t_2, y_2)$.

Come si stima una funzione logaritmica da due punti?

Algebricamente parlando, è necessario risolvere il seguente sistema di equazioni per trovare i parametri $A_0$ e $k$:

$$y_1 = A_0 \ln(k t_1)$$ $$y_2 = A_0 \ln(k t_2)$$

Risolvendo questo sistema per le incognite $A_0$ e $k$, possiamo trovare soluzioni uniche, purché $t_1 \ne t_2$.

Infatti, sottraendo entrambi i lati delle equazioni:

$$\displaystyle y_1 - y_2 = A_0 \left( \ln(k t_1) - \ln(k t_2) \right)$$ $$\displaystyle \Rightarrow \, y_1 - y_2 = A_0 \ln \left(\displaystyle\frac{k t_1}{k t_2}\right)$$ $$\displaystyle \Rightarrow \, y_1 - y_2 = A_0 \ln \left(\displaystyle\frac{t_1}{t_2}\right)$$ $$\Rightarrow \, A_0 = \displaystyle \frac{y_1 - y_2}{\ln(t_1) - \ln(t_2)}$$

che risolve le equazioni per $A_0$. Ora, per risolvere $k$ usiamo la prima equazione e applichiamo l'esponenziale a entrambi i membri:

$$y_1 = A_0 \ln(k t_1)$$ $$\Rightarrow \, \displaystyle e^{\frac{y_1}{A_0}} = k t_1$$ $$\Rightarrow \, k = \displaystyle \frac{e^{\frac{y_1}{A_0}}}{t_1}$$

e lì abbiamo trovato $k$, in funzione di $A_0$ già determinato e noto.

Come si calcola una funzione esponenziale?

Se invece di una funzione logaritmica sei interessato al comportamento esponenziale, allora probabilmente dovresti usare questo Calcolatore di funzione esponenziale , che segue la stessa logica di stima dei parametri per imporre la funzione che passa attraverso due punti dati.