Math Cracks - Un approccio interessante all'integrazione per parti

introduzione

L'idea di integrazione per parti suona piuttosto spaventosa per molti studenti di Calcolo, e penso che ci sia una buona ragione per questo. Prima di tutto, l'integrazione per parti è una tecnica che prevede due passaggi (o più) invece di un passaggio come la maggior parte degli studenti vorrebbe. Gli studenti vorrebbero APPLICARE qualche formula e ottenere subito la risposta, ma in Calcolo spesso le risposte arrivano dopo una sequenza (a volte lunga) di passaggi.

A parte il metodo di sostituzione , il metodo dell'integrazione per parti è il metodo più importante per risolvere integrali non elementari.

Prima di tutto, come principio della questione, uno dei motivi per cui il calcolo integrale è tipicamente difficile per gli studenti è la notazione piuttosto sfortunata utilizzata per l'integrazione. Infatti, nel calcolo dell'integrale indefinito di una funzione \(f\left( x \right)\), ci troviamo di fronte alla seguente notazione

\[\int{f\left( x \right)dx}\] What many students do not understand is what is really meant by the "\(dx\)" in the expression above. Clearly, there are historical reasons why the "\(dx\)" appears in the notation stated above. But, actually there is no reason to include \(dx\) or even to add \(f\left( x \right)\). When we want to compute the indefinite integral of a function \(f\), we should be able to simply write \[\int{f}\] and that way we are stating the indefinite integral of the function \(f\).

Sono la stessa cosa?

\[\int{f\left( x \right)dx}=\int{f\left( u \right)du}\]

Assolutamente! Questo è il motivo per cui a volte la variabile di integrazione (x o u rispettivamente) viene indicata come variabile "fittizia", perché in realtà non svolge alcun ruolo nel processo di integrazione.

Integrazione per parti come regola di prodotto inversa

Dopo una breve introduzione, ora passiamo al sodo. La tipica formula di integrazione per parti mostrata nei libri di testo è

\[\int{udv}=uv-\int{vdu} \,\,\,\,\,(1)\]

Poi dici: "Eh? Che cos'è?" Ovviamente, senza dare un significato a quanto sopra \(u\) e \(dv\), è difficile capire di cosa si tratta. Una domanda che puoi avere è: perché la formula di integrazione per parti coinvolge dv e du, se questi non giocano nemmeno un ruolo nel processo di integrazione, come mostrato nell'introduzione?

La risposta è semplice: nel contesto della formula di integrazione per parti sopra, \(du\) e \(dv\) non sono "variabili fittizie", ma sono invece funzioni. Mnemonicamente, quanto sopra è utile per risolvere un esercizio di integrazione per parti, ma non è utile capire perché è effettivamente vero o perché funziona.

Immettere la regola del prodotto:

La regola del prodotto dice che:

\[\frac{d}{dx}\left( fg \right)=\frac{df}{dx}g+f\frac{dg}{dx} \,\,\,\,\,(2)\]

In breve, preferisco scrivere

\[\left( fg \right)'=f'g+fg' \,\,\,\,\,(3)\]

Ma aspetta! Non ci stiamo integrando in questo articolo? Perché parlo di una regola di differenziazione? Hum, non sarebbe bello dover produrre regole anche per gli integrali? Non sarebbe fantastico se \(\int{f'g'}=f\,g + C\) ?? Purtroppo non lo è, MA esiste ancora una regola di prodotto per gli integrali, solo che è leggermente più complicata.

Riorganizziamo l'equazione (3), otteniamo:

\[fg'=\left( fg \right)'-f'g \,\,\,\,\,(4)\]

Quindi, se integriamo entrambi i lati dell'uguaglianza sopra, otteniamo

\[\int{fg'}=\int{\left( \left( fg \right)'-f'g \right)}\]

che per linearità di integrazione porta a

\[\int{f\,g'}=f\,g-\int{f'g} \,\,\,\,\,(5)\]

E qui amici miei, avete la vostra integrazione per parte di regole. L'integrazione per parti dovrebbe essere vista come un fantastico strumento di integrazione che mi permette di integrare il prodotto di due funzioni. Ma è un po 'più restrittivo, perché è il prodotto di due funzioni MA una delle funzioni deve essere una derivata di ALCUNE funzioni.

Quindi, per applicare fruttuosamente la regola dell'integrazione per parti, ho bisogno che accadano tre cose:

Sto cercando di integrare il prodotto di DUE funzioni.
Una di queste funzioni è una derivata di qualcosa (quindi ha la forma \(g'\)).
Devo sapere come calcolare quel qualcosa (ho bisogno di sapere chi è \(g\))

Se si verificano queste tre condizioni, posso utilizzare la regola dell'integrazione per parti

RICORDA: Quando si utilizza l'integrazione per parti, è necessario disporre del prodotto di due funzioni e una di queste due funzioni deve essere la derivata di qualcosa che si conosce.

Ad esempio, vediamo quando non puoi applicare l'integrazione per parti: considera il seguente integrale

\[\int{\sin \left( {{x}^{2}} \right){{e}^{{{x}^{2}}}}}\]

In questo caso, stiamo cercando di integrare il prodotto di due funzioni: \(\sin \left( {{x}^{2}} \right)\) e \({{e}^{{{x}^{2}}}}\), ma sai qual è l'antiderivativa di ognuna di queste due funzioni? O in altre parole, sai quali funzioni portano a uno qualsiasi di \(\sin \left( {{x}^{2}} \right)\) o \({{e}^{{{x}^{2}}}}\) dopo la differenziazione? Bene. No. Queste due funzioni non hanno antiderivative elementari, quindi l'integrazione per parti non aiuterebbe in questo caso.

Ora un esempio in cui potrebbe essere utilizzata l'integrazione per parti:

\[\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}\]

In questo caso stiamo cercando di integrare il prodotto di due funzioni: \({{x}^{2}}\) e \({{e}^{{{x}^{2}}}}\), e so qual è l'antiderivativa di \({{x}^{2}}\). Quindi posso usare la regola. Abbiamo la seguente notazione:

\[\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}=\int{\underbrace{{{e}^{{{x}^{2}}}}}_{f\left( x \right)}\underbrace{{{x}^{2}}dx}_{g'\left( x \right)}}\]

Quindi abbiamo

\[\begin{aligned} & f\left( x \right)={{e}^{{{x}^{2}}}} \\ & g'\left( x \right)={{x}^{2}} \\ \end{aligned}\]

Differenziando \(f\) e integrando \(g'\) otteniamo:

\[\begin{aligned} & f\left( x \right)=2x{{e}^{{{x}^{2}}}} \\ & g\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3} \\ \end{aligned}\]

(Si noti che \(g\left( x \right)\) sopra indicato è una possibile antiderivativa, ma la regola è che posso scegliere QUALSIASI antiderivativa, quindi scelgo quella più semplice). L'integrazione per parti è

\[\int{f\,g'}=f\,g-\int{f'g}\]

quindi collegando le informazioni che abbiamo, otteniamo quanto segue:

\[\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx\,}={{e}^{{{x}^{2}}}}\frac{{{x}^{3}}}{3}-\int{2x{{e}^{{{x}^{2}}}}\frac{{{x}^{3}}}{3}dx}\] \[\Rightarrow \,\,\,\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx\,}=\frac{{{e}^{{{x}^{2}}}}{{x}^{3}}}{3}-\frac{2}{3}\int{{{x}^{4}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}\]

Quindi ho usato la regola di integrazione per parti sopra, ma in realtà sono arrivato a un integrale più difficile da risolvere. Cioè, per risolvere \(\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx\,}\) dobbiamo prima sapere come calcolare \(\int{{{x}^{4}}{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}\) che in realtà è più difficile.

La morale di questa storia è che l'integrazione per parti è una sorta di regola di prodotto per integrali, e stai cercando una struttura specifica: è l'integrale del prodotto di due funzioni, e una di quelle funzioni devi sapere come per calcolare il suo antiderivativo. In tal caso, sei in affari e puoi applicare la regola dell'integrazione per parti.

MA, come si può vedere nell'esempio precedente, il fatto che PUOI utilizzare l'integrazione per parti NON significa che sarà utile ogni volta.