Come utilizzare questo calcolatore di covarianza

L'uso di questa calcolatrice è semplice: è necessario inserire i dati di esempio per le variabili \(X\) e \(Y\) e premere il pulsante "Calcola". La calcolatrice ti mostrerà tutti i passaggi necessari per calcolare il coefficiente di covarianza.

Come si calcola la covarianza del campione

Innanzitutto, dobbiamo avere due campioni della stessa dimensione: \(X_1, X_2, ...., X_n\) e \(Y_1, Y_2, ...., Y_n\). Quindi, utilizzando queste informazioni sugli esempi, si utilizza la seguente formula:

\[ cov(X, Y) = \displaystyle \frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^n X_i Y_i - \left( \sum_{i=1}^n X_i \right) \times \left( \sum_{i=1}^n Y_i \right) \right) \]

Di solito, questo viene calcolato costruendo una tabella con i valori \(X_i\) e \(Y_i\), ma anche con i prodotti \(X_i Y_i\) in una colonna .:

Formule alternative per calcolare la covarianza del campione

Spesso vedrai una formula diversa per la covarianza del campione mostrata come:

\[ cov(X, Y) = \displaystyle \frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)(Y_i - \bar Y) \right)\]

Questa formula è assolutamente equivalente alle precedenti, ed è questione di gusti se si utilizza questa o l'altra.

Alcune persone pensano che quest'ultima formula sia migliore perché mostra la covarianza come questo prodotto delle deviazioni dalla media. Ma altri pensano che quest'ultimo sia inefficiente, perché è costretto a calcolare le medie campionarie, che non sono richieste nel primo.

La covarianza e la correlazione sono in qualche modo correlate?

Sì. Sia la covarianza che il coefficiente di correlazione misurare il grado di associazione lineare tra due variabili.

La differenza principale è che la correlazione misura l'associazione relativa alle deviazioni standard, il che rende il coefficiente di correlazione compreso tra -1 e 1, il che rende una misura di associazione MOLTO più interpretabile della covarianza stessa

Tuttavia, il coefficiente di covarianza, anche se meno interpretabile, ha i suoi usi in finanza, soprattutto nel calcolo del beta di un'azienda.

Calcolatrice di covarianza caso continuo

Si noti che il caso precedente corrisponde alla correlazione campionaria. Quando conosci la distribuzione delle variabili X e Y, così come la loro distribuzione congiunta, puoi calcolare la covarianza esatta usando l'espressione:

\[cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)\]