Risolutori Algebra

Calcolatrice del teorema dello zero razionale

Istruzioni: Usa questo calcolatore Rational Zero Theorem per cercare di trovare radici razionali per qualsiasi equazione polinomiale che fornisci, mostrando tutti i passaggi. Digita un'equazione polinomiale nella casella sottostante.

Inserisci un'equazione polinomiale (Es: 2x^3 + 5x + 14 = 0, ecc.)

Altro sul teorema razionale zero

Usa questa calcolatrice per applicare il teorema razionale zero a qualsiasi equazione polinomiale valida che fornisci, mostrando tutti i passaggi. Tutto quello che devi fare è fornire un'equazione polinomiale valida, come 4x^3 + 4x^2 + 12 = 0, o forse un'equazione non completamente semplificata come x^3 + 2x = 3x^2 - 2/3, poiché la calcolatrice si occuperà della sua semplificazione.

Quando hai finito di digitare l'equazione polinomiale per la quale vuoi trovare le radici razionali, non dovrai far altro che cliccare su "Calcola" e ti verranno forniti tutti i passaggi del processo. pulsante e ti verranno fornite tutte le fasi dei calcoli.

Osserva che il teorema razionale zero ti consente di testare razionali che potrebbe essere soluzioni, ma non necessariamente radici. Stai solo testando potenziali candidati.

Il Rational Zero Theorem non è uno strumento per trovare TUTTE le radici di un'equazione polinomiale. Ciò che fa è affermare che IF esiste a radice razionale a queste equazioni polinomiali, allora deve essere tra questo insieme proposto di candidati, qualcosa come una 'lista ristretta'.

Calcolatrice Del Teorema Dello Zero Razionale

Come usare il teorema razionale zero?

Il Rational Zero Theorem ottiene un'equazione polinomiale e mette tutti i termini su un lato dell'equazione. Troviamo quindi i divisori interi del coefficiente che moltiplica il termine con la potenza più alta e li chiamiamo \(\{b_1, ...,, b_i\}\), e troviamo anche i divisori interi del coefficiente costante il termine con la potenza più alta e li chiamiamo \(\{a_1, ...,, a_j\}\)

Quindi, troviamo potenziali radici usando \(\pm\frac{a_k}{b_l}\) come candidati, cioè, sono costruiti prendendo la divisione dei corrispondenti divisori interi trovati prima

Quali sono i passaggi che utilizzano il teorema razionale zero?

  • Passo 1 : Identifica l'equazione polinomiale con cui vuoi lavorare e, se necessario, semplificala, in modo che sia nella forma f(x) = a₀ + a₁x + ...+ a n x^n+ c
  • Passo 2 : Trova tutti i divisori interi (sia positivi che negativi) di a₀ e a n
  • Passo 3 : Quindi devi calcolare ogni singolo divisore di a₀ e dividerlo per ogni singolo divisore di a n . Questa è la lista dei tuoi candidati razionali
  • Passo 4 : Devi esaminare ciascuno degli elementi nell'elenco dei candidati sopra e verificare se sono radici dell'equazione polinomiale data o meno

Ancora una volta, questo non è necessariamente trovare TUTTE le radici dell'equazione polinomiale data. Tutto ciò che fa è trovare un elenco di candidati razionali, che contenga radici razionali se esistono radici razionali. Ma potrebbero non esserci radici razionali.

Per il caso speciale di un'equazione polinomiale di ordine 2, puoi usare direttamente this Risolutore di equazioni quadratiche , che ti fornirà tutti i passaggi.

Trova tutti i possibili zeri razionali

Quindi, quello che fa questa calcolatrice è proprio questo, trova l'elenco di tutti i possibili zeri razionali, che è un ottimo punto di partenza per trovare le radici, perché poi usi la divisione polinomiale per continuare a risolvere l'equazione.

Trovare gli zeri di una funzione polinomiale

Trovare gli zeri di una funzione polinomiale è un compito difficile, specialmente per quando il grado polinomiale è grande. In generale, un polinomio di ordine n avrà n radici, come affermato dalla Teorema fondamentale dell'algebra , e quelle radici potrebbero essere reali, ripetute reali o complesse. Questo rende la ricerca più difficile.

Tentare di trovare prima le radici semplici (come le radici intere e razionali) è la migliore strategia possibile, poiché poi se trovi le radici semplici, puoi usare il teorema di fattorizzazione per ridurre il grado del polinomio con cui stai lavorando.

Il test dello zero razionale

Sebbene sia possibile ottenere radici numeriche in un'equazione polinomiale utilizzando un software specializzato, utilizzare il test dello zero razionale è un ottimo esercizio per tentare di trovare prima una soluzione intera e razionale. È una strategia intelligente e ti fornisce un elenco che conterrà le radici razionali di un'equazione, se ce ne sono.

Calcolatrice Del Teorema Dello Zero Razionale

Esempio: applicazione del teorema rational zero

Usa il test dello zero razionale per trovare le radici razionali di: \(3 x^4 + 3x^3 - x + 14 = 0\)

Soluzione: >È stata fornita la seguente equazione polinomiale:

\[\displaystyle 3 x^4 + 3x^3 - x + 14 = 0\]

per cui abbiamo bisogno di usare il Teorema Razionale Zero, al fine di trovare potenziali radici razionali all'equazione di cui sopra.

L'equazione polinomiale di ordine \(4\) ha tutti i termini già da una parte ed è già semplificata, quindi non è necessaria alcuna ulteriore semplificazione.

Ora, dobbiamo trovare i numeri interi che dividono il coefficiente principale \(a_{4}\) e il coefficiente costante \(a_0\), che saranno usati per costruire i nostri candidati come zeri dell'equazione polinomiale.

▹ I divisori di \(a_{4} = 3\) sono: \(\pm 1,\pm 3\).

▹ I divisori di \(a_0 = 14\) sono: \(\pm 1,\pm 2,\pm 7,\pm 14\).

Pertanto, dividendo ogni divisore del coefficiente costante \(a_0 = 14\) per ogni divisore del coefficiente principale \(a_{4} = 3\), troviamo il seguente elenco di candidati radici:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 3},\pm \frac{ 7}{ 1},\pm \frac{ 7}{ 3},\pm \frac{ 14}{ 1},\pm \frac{ 14}{ 3}\]

Ora, tutti i candidati devono essere testati per vedere se sono una soluzione. Quanto segue si ottiene testando ogni candidato:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-1\right)^4+3\cdot\left(-1\right)^3-\left(-1\right)+14 & = & \displaystyle 15 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(1\right)^4+3\cdot\left(1\right)^3-1+14 & = & \displaystyle 19 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^3+\frac{ 1}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{385}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{1}{3}^4+3\cdot\frac{1}{3}^3-\frac{1}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{373}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-2\right)^4+3\cdot\left(-2\right)^3-\left(-2\right)+14 & = & \displaystyle 40 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(2\right)^4+3\cdot\left(2\right)^3-2+14 & = & \displaystyle 84 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^3+\frac{ 2}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{388}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{2}{3}^4+3\cdot\frac{2}{3}^3-\frac{2}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{400}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -7 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-7\right)^4+3\cdot\left(-7\right)^3-\left(-7\right)+14 & = & \displaystyle 6195 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 7 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(7\right)^4+3\cdot\left(7\right)^3-7+14 & = & \displaystyle 8239 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{7}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{7}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{7}{3}\right)^3+\frac{ 7}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{1813}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{7}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{7}{3}^4+3\cdot\frac{7}{3}^3-\frac{7}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{3745}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -14 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-14\right)^4+3\cdot\left(-14\right)^3-\left(-14\right)+14 & = & \displaystyle 107044 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 14 &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(14\right)^4+3\cdot\left(14\right)^3-14+14 & = & \displaystyle 123480 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{14}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\left(-\frac{14}{3}\right)^4+3\cdot\left(-\frac{14}{3}\right)^3+\frac{ 14}{ 3}+14 & = & \displaystyle \frac{30688}{27} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{14}{3} &:&    & \displaystyle 3\cdot\frac{14}{3}^4+3\cdot\frac{14}{3}^3-\frac{14}{3}+14 & = & \displaystyle \frac{46900}{27} \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Conclusione: Quindi, nessuno dei candidati è una radice, e quindi, questo metodo non ci permette di trovare alcuna soluzione razionale in questo caso.

Esempio: applicazione del teorema rational zero

L'equazione: \(x^{10} - 4 = 0\) ha radici razionali?

Soluzione: Dobbiamo cercare di trovare radici razionali per:

\[\displaystyle x^{10}-4=0\]

utilizzando il teorema degli zeri razionali.

Non c'è bisogno di ulteriore semplificazione perché l'equazione polinomiale di ordine 10 ha già tutti i termini da un lato.

Dobbiamo ora identificare i numeri interi che dividono il coefficiente principale \(a_{10}\) e il coefficiente costante \(a_0\), in base ai quali creeremo i nostri candidati per gli zeri dell'equazione polinomiale.

I divisori di \(a_{10} = 1\) sono: \(\pm 1\).

I divisori di \(a_0 = -4\) sono: \(\pm 1,\pm 2,\pm 4\).

Pertanto, dividendo ogni divisore del coefficiente costante \(a_0 = -4\) per ogni divisore del coefficiente principale \(a_{10} = 1\), troviamo il seguente elenco di candidati radici:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 4}{ 1}\]

Ora, tutti i candidati devono essere testati per vedere se sono una soluzione. Quanto segue si ottiene testando ogni candidato:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^{10}-4 & = & \displaystyle -3 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^{10}-4 & = & \displaystyle -3 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle \left(-2\right)^{10}-4 & = & \displaystyle 1020 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 2^{10}-4 & = & \displaystyle 1020 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -4 &:&    & \displaystyle \left(-4\right)^{10}-4 & = & \displaystyle 1048572 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 4 &:&    & \displaystyle 4^{10}-4 & = & \displaystyle 1048572 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Conclusione: Quindi, nessuno dei candidati è una radice, e quindi l'equazione polinomiale originale non ha radici razionali.

Esempio: applicazione del teorema rational zero

Usa il test dello zero razionale per trovare le radici razionali di: \( x^3-\frac{8}{3}x^2+\frac{19}{9}x-\frac{4}{9}=0\)

Soluzione: Ora dobbiamo lavorare con:

\[\displaystyle x^3-\frac{8}{3}x^2+\frac{19}{9}x-\frac{4}{9}=0\]

Dobbiamo trovare i numeri interi che dividono il coefficiente principale \(a_{3}\) e il coefficiente costante \(a_0\).

Uso: In questo caso, osserviamo che per avere sia il coefficiente costante che quello principale dobbiamo amplificare entrambi i lati dell'equazione con \(9\). L'equazione equivalente è:

\[9x^3-24x^2+19x-4 = 0\]

▹ I divisori di \(a_{3} = 9\) sono: \(\pm 1,\pm 3,\pm 9\).

▹ I divisori di \(a_0 = -4\) sono: \(\pm 1,\pm 2,\pm 4\).

Pertanto, dividendo ogni divisore del coefficiente costante \(a_0 = -4\) per ogni divisore del coefficiente principale \(a_{3} = 9\), troviamo il seguente elenco di candidati radici:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 1}{ 9},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 3},\pm \frac{ 2}{ 9},\pm \frac{ 4}{ 1},\pm \frac{ 4}{ 3},\pm \frac{ 4}{ 9}\]

Tutti i candidati devono ora essere testati per determinare se rappresentano una soluzione. I seguenti risultati si ottengono dopo aver testato ciascuno di essi:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-1\right)^3-24\cdot\left(-1\right)^2+19\cdot\left(-1\right)-4 & = & \displaystyle -56 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(1\right)^3-24\cdot\left(1\right)^2+19\cdot\left(1\right)-4 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{40}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{1}{3}^3-24\cdot\frac{1}{3}^2+19\cdot\frac{1}{3}-4 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{520}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{1}{9}^3-24\cdot\frac{1}{9}^2+19\cdot\frac{1}{9}-4 & = & \displaystyle -\frac{176}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-2\right)^3-24\cdot\left(-2\right)^2+19\cdot\left(-2\right)-4 & = & \displaystyle -210 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(2\right)^3-24\cdot\left(2\right)^2+19\cdot\left(2\right)-4 & = & \displaystyle 10 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)-4 & = & \displaystyle -30 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{2}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{2}{3}^3-24\cdot\frac{2}{3}^2+19\cdot\frac{2}{3}-4 & = & \displaystyle \frac{2}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{2}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{2}{9}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{2}{9}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{2}{9}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{770}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{2}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{2}{9}^3-24\cdot\frac{2}{9}^2+19\cdot\frac{2}{9}-4 & = & \displaystyle -\frac{70}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -4 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-4\right)^3-24\cdot\left(-4\right)^2+19\cdot\left(-4\right)-4 & = & \displaystyle -1040 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 4 &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(4\right)^3-24\cdot\left(4\right)^2+19\cdot\left(4\right)-4 & = & \displaystyle 264 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{4}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{280}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{4}{3} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{4}{3}^3-24\cdot\frac{4}{3}^2+19\cdot\frac{4}{3}-4 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{4}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)^3-24\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)^2+19\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)-4 & = & \displaystyle -\frac{1456}{81} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{4}{9} &:&    & \displaystyle 9\cdot\frac{4}{9}^3-24\cdot\frac{4}{9}^2+19\cdot\frac{4}{9}-4 & = & \displaystyle \frac{40}{81} \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Conclusione: Quindi in questo caso, tra i candidati proposti, troviamo le radici razionali \(\displaystyle x = 1 \),\(\displaystyle x = \frac{1}{3} \) e \(\displaystyle x = \frac{4}{3} \) e poi, il termine \( \displaystyle \left(x-1\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{4}{3}\right)\) divide l'espressione polinomiale \(\displaystyle x^3-\frac{8}{3}x^2+\frac{19}{9}x-\frac{4}{9}\).

Altri calcolatori di algebra

Lavorare con i polinomi è un'abilità cruciale da cui puoi trarre grandi benefici. Molte applicazioni in Algebra lo usano, specialmente con applicazioni di equazioni quadratiche .

Il caso più semplice di un'equazione polinomiale è a equazione lineare , che ha una miriade di applicazioni.

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