Divisione polinomiale

Questa calcolatrice eseguirà una divisione polinomiale per te e tutto ciò che devi fare è fornire due polinomi validi. L'ordine in cui vengono dati questi polinomi è importante, poiché lo è la divisione polinomiale non commutativo (quindi p(x)/s(x) non è uguale a s(x)/p(x)).

Il primo polinomio che fornisci, spesso chiamato dividendo, corrisponde al dividendo, e il secondo polinomio è quello per cui stai dividendo, solitamente chiamato divisore.

Esempi di polinomi validi sono p(x) = x^4 + 3x^3 - 2 e s(x) = x - 3, ma i coefficienti del polinomio non devono essere numeri interi, in quanto possono essere frazioni o qualsiasi tipo di espressione numerica valida. Inoltre, i polinomi non devono venire semplificati. Se necessario, il calcolatore eseguirà a semplificazione polinomiale prima di dividere.

Una volta forniti i polinomi validi, allora sei pronto. Non resta che cliccare su "Calcola", in modo da poter visualizzare tutti i passaggi del processo.

Come dividere i polinomi

La divisione polinomiale è leggermente più complicata della divisione dei numeri. Per esempio, quando dividiamo due numeri come '4 diviso 2', otteniamo 4/2 = 2. Quindi è facile, giusto?

Ma non è sempre così facile, perché possiamo avere qualcosa come "7/2". Puoi dire "beh, 7/2 = 3,5" e avresti ragione, ma un altro modo di vedere è dire che "7 diviso 2 fa 3, con resto di 1". Come mai? Perché non esiste un numero intero tale che moltiplicando per 2 arrivi a 7. Il più vicino è 3, quindi $2 \cdot 3 = 6$, ma ho un resto di 1

Esattamente la stessa idea vale per la divisione polinomiale. Dato un polinomio $p(x)$ e un divisore $s(x)$ lo faremo Tentativo trovare un quoziente $q(x)$ tale che

$$\displaystyle p(x) = s(x) \cdot q(x)$$

ma non sempre ci riusciremo, così come per '7/2' non riuscivamo a trovare una divisione esatta. Quindi, identificheremo il resto $r(x)$, che è il polinomio che spiega quanto $s(x) \cdot q(x)$ "manca" quando si mira a p(x). Quindi scriviamo

$$\displaystyle p(x) = s(x) \cdot q(x) + r(x)$$

Idealmente, vogliamo che $r(x)$ sia zero e, in caso contrario, vogliamo che sia il più piccolo possibile. L'algoritmo di Euclide ci mostra come trovare il più piccolo possibile $r(x)$ e se le cose vanno bene, potrebbe essere zero, nel qual caso diciamo che il divisore $s(x)$ divide il polinomio $p(x)$.

Quali sono i passaggi della divisione polinomiale?

• Fase 1: Identificare il dividendo p(x) e il divisore s(x). Assicurati di semplificarli il più possibile prima di procedere
• Passo 2: Se il grado di s(x) è maggiore del grado di p(x) , stop, in questo caso il quoziente è zero e il resto è p(x)
• Smusso 3: Se non ti sei fermato al passaggio 2, prendi nota del termine iniziale del divisore e del termine iniziale del dividendo
• Passaggio 4: Trova la divisione tra i termini principali del dividendo e il divisore (questo è interpretato come quale termine è necessario moltiplicare il termine principale del divisore per ottenere il termine principale del dividendo), e questo sarà il fattore corrente, che sarà essere aggiunto al quoziente corrente
• Passaggio 5: Moltiplica il fattore corrente per il divisore e il risultato, sottrailo al dividendo, creando in questo modo un nuovo dividendo corrente
• Passaggio 6: Ripeti questo processo fino a quando il dividendo corrente ha un grado inferiore al divisore. Quindi fermati, il tuo attuale divisore sarà il tuo resto

Questo processo è garantito per funzionare poiché il dividendo corrente riduce il suo grado almeno di uno ad ogni passaggio. Intelligente, eh?.

Quale metodo usare, divisione lunga o divisione sintetica?

La divisione sintetica viene utilizzata nel caso speciale in cui il divisore ha grado uno. Ad esempio s(x) = x - 1, ma non funzionerebbe per s(x) = x^2 - 1 sebbene esistano versioni di algoritmo di divisione sintetica per i gradi superiori. La divisione sintetica è tipicamente limitata ai divisori di grado 1 a causa della sua intima associazione con Sostituzione sintetica e il teorema del resto , ha senso.

La divisione lunga avverrà nella maggior parte dei casi, quando la divisione sintetica non è applicabile. Si noti che la divisione sintetica utilizza un metodo di divisione lungo, solo che è adattato per essere super veloce, ecco perché è il modo preferito quando possibile.

Come utilizzare la divisione polinomiale per risolvere equazioni polinomiali?

• Fase 1: Identifica la tua equazione polinomiale e assicurati che ogni lato dell'equazione sia effettivamente un polinomio valido
• Passo 2: Passa tutti i termini da una parte all'altra cambiando i segni
• Smusso 3: Raggruppa tutti i termini da un lato e semplifica
• Passaggio 4: Ora hai un'equazione polinomiale in cui un lato è un polinomio e l'altro lato è 0, quindi sta risolvendo fattorizzando il polinomio corrispondente
• Passaggio 5: Per prima cosa, provi con il teorema della radice razionale tentare di trovare radici semplici
• Passaggio 6: Raggruppa le radici semplici, crea i corrispondenti termini lineari associati (es: se x = 1 è una soluzione, forma il termine x - 1), moltiplicali e dividi il polinomio per esso. In questo modo otterrai un quoziente di ordine inferiore
• Passaggio 7: Ripetere i passaggi con il quoziente di ordine inferiore trovato nei passaggi precedenti

Come puoi vedere, non ci sono scorciatoie o formule magiche per trovare le radici dei polinomi . Ma esiste una procedura sistematica che può aumentare le tue possibilità di trovare le radici il più facilmente possibile.

Perché dovrebbe preoccuparsi di dividere i polinomi

Proprio perché la divisione polinomiale è la tua chiave trovare le radici di equazioni polinomiali , che sono uno degli argomenti centrali dell'Algebra.

Esempio: calcolo della divisione polinomiale

Calcolare la seguente divisione: $\frac{3x^3+3x+3}{3x+1}$

Soluzione: In questo caso, dalla divisione fornita abbiamo che il dividendo è $\displaystyle p(x) = 3x^3+3x+3$, e il divisore è $\displaystyle s(x) = 3x+1$.

In questo caso, il grado del dividendo è $\displaystyle deg(p) = 3$, mentre il grado del divisore è $\displaystyle deg(s)) = 1$.

Fase 1: Il termine iniziale del dividendo $\displaystyle p(x) = 3x^3+3x+3$ è $\displaystyle 3x^3$, mentre il termine iniziale del divisore $\displaystyle s(x) = 3x+1$ è uguale a $\displaystyle 3x$.

Allora, il termine che dobbiamo moltiplicare $3x$ per ottenere il termine iniziale del dividendo è $\displaystyle \frac{ 3x^3}{ 3x} = x^2$, quindi aggiungiamo questo termine al quoziente. Inoltre, lo moltiplichiamo per il divisore per ottenere $\displaystyle x^2 \cdot \left(3x+1\right) = 3x^3+x^2$, che dobbiamo sottrarre al dividendo:

$$\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle 3x^3 & \displaystyle & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -3x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \end{array}$$

Passo 2: Ora, il termine principale del resto corrente $\displaystyle -x^2+3x+3$ è $\displaystyle x^2$, e sappiamo che il termine principale per il divisore è $\displaystyle 3x$.

Quindi, il termine che dobbiamo moltiplicare $3x$ per ottenere il termine principale del resto corrente è $\displaystyle \frac{ -1x^2}{ 3x} = -\frac{1}{3}x$, quindi aggiungiamo questo termine al quoziente. Inoltre, lo moltiplichiamo per il divisore per ottenere $\displaystyle -\frac{1}{3}x \cdot \left(3x+1\right) = -x^2-\frac{1}{3}x$, che dobbiamo sottrarre al promemoria corrente:

$$\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{1}{3}x & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle 3x^3 & \displaystyle & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -3x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle +\frac{1}{3}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{3}x & \displaystyle +3\\[0.8em] \end{array}$$

Smusso 3: Ora, il termine principale del resto corrente $\displaystyle \frac{10}{3}x+3$ è $\displaystyle \frac{10}{3}x$, e sappiamo che il termine principale per il divisore è $\displaystyle 3x$.

Quindi, il termine che dobbiamo moltiplicare $3x$ per ottenere il termine principale del resto corrente è $\displaystyle \frac{ \frac{10}{3}x}{ 3x} = \frac{10}{9}$, quindi aggiungiamo questo termine al quoziente. Inoltre, lo moltiplichiamo per il divisore per ottenere $\displaystyle \frac{10}{9} \cdot \left(3x+1\right) = \frac{10}{3}x+\frac{10}{9}$, che dobbiamo sottrarre al promemoria corrente:

$$\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{1}{3}x & \displaystyle +\frac{10}{9}&\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle 3x^3 & \displaystyle & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -3x^3 & \displaystyle -x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle +\frac{1}{3}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{3}x & \displaystyle +3\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{3}x & \displaystyle -\frac{10}{9}\\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{17}{9}\\[0.8em] \end{array}$$

che di conseguenza conclude il processo.

Conclusione: Pertanto, concludiamo che per dato dividendo $\displaystyle p(x) = 3x^3+3x+3$ e divisore $\displaystyle s(x) = 3x+1$, otteniamo che il quoziente è $\displaystyle q(x) = x^2-\frac{1}{3}x+\frac{10}{9}$ e il resto è $\displaystyle r(x) = \frac{17}{9}$, e che

$$\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = \frac{3x^3+3x+3}{3x+1} = x^2-\frac{1}{3}x+\frac{10}{9} + \frac{\frac{17}{9}}{3x+1}$$

Esempio: un'altra divisione di polinomi

Calcola la divisione del dividendo $\frac{1}{3} x^4 - x^3 + 2x - \frac{5}{6}$ e il divisore $s(x) = 3x+1$

Soluzione: In questo caso ci è stato fornito: $\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}$, che va diviso per il polinomio $\displaystyle s(x) = 3x+1$.

Ora, il grado del dividendo è $\displaystyle deg(p) = 4$, e il grado del divisore è $\displaystyle deg(s)) = 1$.

Fase 1: Il termine iniziale del dividendo $\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}$ è $\displaystyle \frac{1}{3}x^4$, mentre il termine iniziale del divisore $\displaystyle s(x) = 3x+1$ è uguale a $\displaystyle 3x$.

Allora, il termine che dobbiamo moltiplicare $3x$ per ottenere il termine iniziale del dividendo è $\displaystyle \frac{ \frac{1}{3}x^4}{ 3x} = \frac{1}{9}x^3$, quindi aggiungiamo questo termine al quoziente. Inoltre, lo moltiplichiamo per il divisore per ottenere $\displaystyle \frac{1}{9}x^3 \cdot \left(3x+1\right) = \frac{1}{3}x^4+\frac{1}{9}x^3$, che dobbiamo sottrarre al dividendo:

$$\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \end{array}$$

Passo 2: In questo caso, il termine principale del resto corrente $\displaystyle -\frac{10}{9}x^3+2x-\frac{5}{6}$ è $\displaystyle -\frac{10}{9}x^3$, e sappiamo che il termine principale per il divisore è $\displaystyle 3x$.

Quindi, il termine che dobbiamo moltiplicare $3x$ per ottenere il termine principale del resto corrente è $\displaystyle \frac{ -\frac{10}{9}x^3}{ 3x} = -\frac{10}{27}x^2$, quindi aggiungiamo questo termine al quoziente. Inoltre, lo moltiplichiamo per il divisore per ottenere $\displaystyle -\frac{10}{27}x^2 \cdot \left(3x+1\right) = -\frac{10}{9}x^3-\frac{10}{27}x^2$, che dobbiamo sottrarre al promemoria corrente:

$$\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{10}{9}x^3 & \displaystyle +\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \end{array}$$

Smusso 3: In questo caso, il termine principale del resto corrente $\displaystyle \frac{10}{27}x^2+2x-\frac{5}{6}$ è $\displaystyle \frac{10}{27}x^2$, e sappiamo che il termine principale per il divisore è $\displaystyle 3x$.

Quindi, il termine che dobbiamo moltiplicare $3x$ per ottenere il termine principale del resto corrente è $\displaystyle \frac{ \frac{10}{27}x^2}{ 3x} = \frac{10}{81}x$, quindi aggiungiamo questo termine al quoziente. Inoltre, lo moltiplichiamo per il divisore per ottenere $\displaystyle \frac{10}{81}x \cdot \left(3x+1\right) = \frac{10}{27}x^2+\frac{10}{81}x$, che dobbiamo sottrarre al promemoria corrente:

$$\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +\frac{10}{81}x & \displaystyle &\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{10}{9}x^3 & \displaystyle +\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle -\frac{10}{81}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{152}{81}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \end{array}$$

Passaggio 4: In questo caso, il termine principale del resto corrente $\displaystyle \frac{152}{81}x-\frac{5}{6}$ è $\displaystyle \frac{152}{81}x$, e sappiamo che il termine principale per il divisore è $\displaystyle 3x$.

Quindi, il termine che dobbiamo moltiplicare $3x$ per ottenere il termine principale del resto corrente è $\displaystyle \frac{ \frac{152}{81}x}{ 3x} = \frac{152}{243}$, quindi aggiungiamo questo termine al quoziente. Inoltre, lo moltiplichiamo per il divisore per ottenere $\displaystyle \frac{152}{243} \cdot \left(3x+1\right) = \frac{152}{81}x+\frac{152}{243}$, che dobbiamo sottrarre al promemoria corrente:

$$\begin{array}{rccccc} &\displaystyle \frac{1}{9}x^3 & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +\frac{10}{81}x & \displaystyle +\frac{152}{243}&\\[0.8em] \hline 3x+1\,) & \displaystyle \frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -\frac{1}{3}x^4 & \displaystyle -\frac{1}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{9}x^3 & \displaystyle & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{10}{9}x^3 & \displaystyle +\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{10}{27}x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{10}{27}x^2 & \displaystyle -\frac{10}{81}x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \frac{152}{81}x & \displaystyle -\frac{5}{6}\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{152}{81}x & \displaystyle -\frac{152}{243}\\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -\frac{709}{486}\\[0.8em] \end{array}$$

che conclude questo calcolo, poiché il grado del resto corrente $r(x) = -\frac{709}{486}$ è minore del grado del divisore $s(x) = 3x+1$.

Conclusione: Pertanto, concludiamo che per dato dividendo $\displaystyle p(x) = \frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}$ e divisore $\displaystyle s(x) = 3x+1$, otteniamo che il quoziente è $\displaystyle q(x) = \frac{1}{9}x^3-\frac{10}{27}x^2+\frac{10}{81}x+\frac{152}{243}$ e il resto è $\displaystyle r(x) = -\frac{709}{486}$, e che

$$\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = \frac{\frac{1}{3}x^4-x^3+2x-\frac{5}{6}}{3x+1} = \frac{1}{9}x^3-\frac{10}{27}x^2+\frac{10}{81}x+\frac{152}{243} - \frac{\frac{709}{486}}{3x+1}$$

Esempio: più divisioni polinomiali

Calcolare la seguente divisione di polinomi: $\frac{4x^4-2x^2+x-1}{x+1}$. Possiamo dire che x = -1 è una radice di $4x^4-2x^2+x-1$

Soluzione: Abbiamo i seguenti dividendi e divisori: $\displaystyle p(x) = 4x^4-2x^2+x-1$ e $\displaystyle s(x) = x+1$.

Abbiamo che il grado del dividendo è $\displaystyle deg(p) = 4$, e il grado del divisore è $\displaystyle deg(s)) = 1$.

Fase 1: Il termine iniziale del dividendo $\displaystyle p(x) = 4x^4-2x^2+x-1$ è $\displaystyle 4x^4$, mentre il termine iniziale del divisore $\displaystyle s(x) = x+1$ è uguale a $\displaystyle x$.

Allora, il termine che dobbiamo moltiplicare $x$ per ottenere il termine iniziale del dividendo è $\displaystyle \frac{ 4x^4}{ x} = 4x^3$, quindi aggiungiamo questo termine al quoziente. Inoltre, lo moltiplichiamo per il divisore per ottenere $\displaystyle 4x^3 \cdot \left(x+1\right) = 4x^4+4x^3$, che dobbiamo sottrarre al dividendo:

$$\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \end{array}$$

Passo 2: In questo caso, il termine principale del resto corrente $\displaystyle -4x^3-2x^2+x-1$ è $\displaystyle -4x^3$, e sappiamo che il termine principale per il divisore è $\displaystyle x$.

Quindi, il termine che dobbiamo moltiplicare $x$ per ottenere il termine principale del resto corrente è $\displaystyle \frac{ -4x^3}{ x} = -4x^2$, quindi aggiungiamo questo termine al quoziente. Inoltre, lo moltiplichiamo per il divisore per ottenere $\displaystyle -4x^2 \cdot \left(x+1\right) = -4x^3-4x^2$, che dobbiamo sottrarre al promemoria corrente:

$$\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle -4x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle 4x^3 & \displaystyle +4x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \end{array}$$

Smusso 3: In questo caso, il termine principale del resto corrente $\displaystyle 2x^2+x-1$ è $\displaystyle 2x^2$, e sappiamo che il termine principale per il divisore è $\displaystyle x$.

Quindi, il termine che dobbiamo moltiplicare $x$ per ottenere il termine principale del resto corrente è $\displaystyle \frac{ 2x^2}{ x} = 2x$, quindi aggiungiamo questo termine al quoziente. Inoltre, lo moltiplichiamo per il divisore per ottenere $\displaystyle 2x \cdot \left(x+1\right) = 2x^2+2x$, che dobbiamo sottrarre al promemoria corrente:

$$\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle -4x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle &\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle 4x^3 & \displaystyle +4x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle -2x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x & \displaystyle -1\\[0.8em] \end{array}$$

Passaggio 4: In questo caso, il termine principale del resto corrente $\displaystyle -x-1$ è $\displaystyle -1x$, e sappiamo che il termine principale per il divisore è $\displaystyle x$.

Quindi, il termine che dobbiamo moltiplicare $x$ per ottenere il termine principale del resto corrente è $\displaystyle \frac{ -1x}{ x} = -1$, quindi aggiungiamo questo termine al quoziente. Inoltre, lo moltiplichiamo per il divisore per ottenere $\displaystyle -1 \cdot \left(x+1\right) = -x-1$, che dobbiamo sottrarre al promemoria corrente:

$$\begin{array}{rccccc} &\displaystyle 4x^3 & \displaystyle -4x^2 & \displaystyle +2x & \displaystyle -1&\\[0.8em] \hline x+1\,) & \displaystyle 4x^4 & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle -4x^4 & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -4x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle 4x^3 & \displaystyle +4x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 2x^2 & \displaystyle +x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle -2x & \displaystyle \\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x & \displaystyle -1\\[0.8em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x & \displaystyle +1\\[0.8em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle & \displaystyle 0\\[0.8em] \end{array}$$

e interrompiamo l'iterazione, poiché il grado del resto corrente $r(x) = 0$ è minore del grado del divisore $s(x) = x+1$.

Conclusione: Pertanto, concludiamo che per i dati dividendo $\displaystyle p(x) = 4x^4-2x^2+x-1$ e divisore $\displaystyle s(x) = x+1$, otteniamo che il quoziente è $\displaystyle q(x) = 4x^3-4x^2+2x-1$ e il resto è $\displaystyle r(x) = 0$, il che significa che $s(x)$ divide esattamente $p(x)$ e otteniamo

$$\displaystyle \frac{p(x)}{s(x)} = \frac{4x^4-2x^2+x-1}{x+1} = 4x^3-4x^2+2x-1$$

Altri calcolatori polinomiali

Riuscire con successo calcolare i polinomi può rivelarsi cruciale nel tuo arsenale di abilità di algebra al momento della fattorizzazione dei polinomi o risoluzione di equazioni polinomiali . frazione al decimale