Calcolatore di funzione esponenziale da due punti

L'idea di questo calcolatore è stimare i parametri \(A_0\) e \(k\) per la funzione \(f(t)\) definita come:

\[f(t) = A_0 e^{kt}\]

in modo che questa funzione passi attraverso i punti dati \((t_1, y_1)\) e \((t_2, y_2)\).

Ma come trovi una funzione esponenziale dai punti?

Tecnicamente, per trovare i parametri è necessario risolvere il seguente sistema di equazioni:

\[y_1 = A_0 e^{k t_1}\] \[y_2 = A_0 e^{k t_2}\]

Risolvere questo sistema per \(A_0\) e \(k\) porterà a una soluzione unica, a condizione che \(t_1 = \not t_2\).

Infatti, dividendo entrambi i lati delle equazioni:

\[\displaystyle \frac{y_1}{y_2} = \frac{e^{k t_1}}{e^{k t_2}}\] \[\displaystyle \Rightarrow \, \frac{y_1}{y_2} = e^{k (t_1-t_2)}\] \[\displaystyle \Rightarrow \, \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right) = k (t_1-t_2)\] \[\displaystyle \Rightarrow \, k = \frac{1}{t_1-t_2} \ln\left(\frac{y_1}{y_2}\right)\]

Per risolvere per \(A_0\) notiamo dalla prima equazione che:

\[A_0 = y_1 e^{-k t_1} = y_1 \frac{y_2}{y_1 e^{k t_2}} =\frac{y_2}{e^{k t_2}} \]

Come calcoli la crescita esponenziale?

Non è sempre crescita. Infatti, se il parametro \(k\) è positivo, allora abbiamo una crescita esponenziale, ma se il parametro \(k\) è negativo, allora abbiamo un decadimento esponenziale.

Il parametro \(k\) sarà zero solo se \(y_1 = y_2\) (i due punti hanno la stessa altezza).

Per comportamenti esponenziali specifici puoi consultare il nostro calcolatore di crescita esponenziale e il calcolatore del decadimento esponenziale , che utilizzano parametri specifici per quel tipo di comportamento esponenziale.