Calcolatrice di sostituzione sintetica

Questa calcolatrice può aiutarti nel processo di valutazione di un polinomio \(p(x)\) in un dato punto \(x = a\). Affinché la calcolatrice funzioni, è necessario fornire un polinomio valido di qualsiasi ordine e un'espressione numerica valida.

Ad esempio, potresti voler valutare un punto nel polinomio x^5 + 10x^3 - 2x - 12 e il punto che vuoi valutare è 1/3.

Il polinomio non deve essere semplificato, purché sia un polinomio valido. Ad esempio, puoi digitare x^5 + 10x^3 - 2x - x + 3 - 1/3 e la calcolatrice prima semplificare il polinomio , prima di condurre il Sostituzione sintetica .

Dopo aver fornito un polinomio valido e un'espressione numerica, è possibile fare clic su "Calcola", per ottenere i passaggi del processo mostrato, che consiste nell'applicare l'opportuna Divisione sintetica . .

Perché utilizzare la sostituzione sintetica?

La sostituzione sintetica è semplicemente un modo per valutare un valore su un dato polinomio. Cioè, hai un valore \(x = a\) e un polinomio \(p(x)\) e vuoi valutare il polinomio al valore dato, quindi vuoi ottenere il valore di \(p(a)\).

Ora, la domanda è: perché non inserire semplicemente il valore di x = a in p(x)? Ad esempio, con il polinomio \(p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12\) e il valore \(x = \displaystyle \frac{1}{3}\) avremmo bisogno di calcolare

\[\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = \displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^5 + 10\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\cdot \left(\frac{1}{3}\right) - 12 \]

Sebbene fattibile, il calcolo di cui sopra sembra, hmmmmm, non invitante per non dire altro. Allora, c'è un modo migliore e più semplice per valutare \(x = \displaystyle \frac{1}{3}\) attraverso il polinomio \(p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12\)?? Scommetti che c'è?

Si scopre che, in virtù del teorema del resto , quando hai un polinomio \(p(x)\) e lo dividi per \(x-a\), allora il resto è uguale a \(p(a)\).

Magia, vero? Allora tutto quello che devi fare è prendere il polinomio \(p(x)\), e fare una divisione polinomiale con \(x-a\) usando Divisione sintetica (puoi usa la divisione lunga anche, ma è un po' più ingombrante)

Passaggi per l'utilizzo della sostituzione sintetica

• Fase 1: Identifica il polinomio p(x) con cui stai lavorando e il valore x = a in cui vuoi valutare il polinomio
• Passo 2: Se il grado del polinomio è zero, allora il polinomio è costante e anche p(a) è tale costante
• Smusso 3: Supponiamo che il polinomio abbia grado 1 o superiore. Applicare la divisione sintetica al dividendo p(x) e al divisore x - a
• Passaggio 4: Una volta che hai finito, guarda l'ultima colonna e troverai il resto numerico. Avrai allora che p(a) è uguale a quel valore

Quindi, possiamo vederlo valutare un polinomio è intimamente correlato con la divisione polinomiale, ed è esattamente ciò che afferma il teorema del resto.

Applicazioni della sostituzione sintetica

Come accennato in precedenza, è chiaro che possiamo usare una calcolatrice per calcolare esplicitamente \(\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^5 + 10\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2\cdot \left(\frac{1}{3}\right) - 12\), ma è ovviamente computazionalmente costoso.

In ingegneria e in altre applicazioni, è chiaro che vorremo utilizzare il processo più efficiente possibile, e il processo di sostituzione sintetica si riduce a una manciata di semplici moltiplicazioni e addizioni, che sono molto più "economiche" delle elevazioni a potenza che sarebbero diversamente richiesto

Come sapere quando utilizzare la valutazione sintetica o semplicemente inserire il polinomio?

• Fase 1: Determina il polinomio p(x) con cui stai lavorando e il valore di x = a, in corrispondenza del quale desideri valutare il polinomio
• Passo 2: Guarda il grado di p (x), per gradi di 0 o 1, semplificherai il plug-in del valore
• Smusso 3: Per i gradi di 2 e oltre, è più conveniente utilizzare la valutazione sintetica

La convenienza di utilizzare la sostituzione sintetica diventa chiara come il grado di polinomio aumenta, soprattutto per il grado 4 e superiori..

Suggerimenti per il successo

Prova a seguire un approccio sistematico, usando il solito metodo tabulare per padroneggiarlo. Evitare errori con i segni e quando si sommano le righe è fondamentale per arrivare al resto finale senza errori.

Esempio: utilizzare la sostituzione sintetica

Consideriamo il polinomio : \(p(x) = x^5 + 10x^3 - 2x - 12\), lo calcoliamo nel punto \(x = \frac{1}{3}\)

Soluzione: È stato fornito il seguente polinomio: \(\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12\), che deve essere valutato nel punto \(\displaystyle x = \frac{1}{3}\) mediante sostituzione sintetica.

Per eseguire la sostituzione sintetica, dobbiamo fare una divisione sintetica di : \(\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12\), e il divisore \(\displaystyle s = x-\frac{1}{3}\), e trovare il resto.

Si osservi che il grado del dividendo è \(\displaystyle deg(p) = 5\), mentre il grado del divisore è \(\displaystyle deg(s)) = 1\).

Fase 1: Poiché il divisore ha grado 1, possiamo utilizzare il metodo della divisione sintetica. Risolvendo \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3} = 0\) troviamo direttamente che il numero da inserire nella casella di divisione è: \(\displaystyle \frac{1}{3}\).

\[\begin{array}{c|ccccc} \frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12 \\[0.6em] & & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & & \end{array}\]

Passo 2: Ora passiamo direttamente il termine principale \(1\) alla riga del risultato:

\[\begin{array}{c|ccccc} \frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12 \\[0.6em] & & & & & & & \\[0.6em] \hline &1&&&&& \end{array}\]

Smusso 3: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 1, otteniamo: \(\frac{1}{3} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{3}\) e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna 1.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & & & \\[0.6em]\hline&1&&&&&\end{array}\]

Passaggio 4: Ora sommando i valori nella colonna 2, otteniamo: \( 0+\frac{1}{3} = \frac{1}{3}\) e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna 2.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & & & \end{array}\]

Passaggio 5: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 2, otteniamo: \(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{9}\) e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna 2.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & & & \end{array}\]

Passaggio 6: Ora sommando i valori nella colonna 3, otteniamo: \( 10+\frac{1}{9} = \frac{91}{9}\) e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna 3.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & & \end{array}\]

Passaggio 7: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 3, otteniamo: \(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{91}{9}\right) = \frac{91}{27}\) e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna 3.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & & \end{array}\]

Passaggio 8: Ora sommando i valori nella colonna 4, otteniamo: \( 0+\frac{91}{27} = \frac{91}{27}\) e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna 4.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & \end{array}\]

Passaggio 9: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 4, otteniamo: \(\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{91}{27}\right) = \frac{91}{81}\) e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna 4.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & \end{array}\]

Passaggio 10: Ora sommando i valori nella colonna 5, otteniamo: \( -2+\frac{91}{81} = -\frac{71}{81}\) e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna 5.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & -\frac{71}{81}\end{array}\]

Passaggio 11: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 5, otteniamo: \(\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{71}{81}\right) = -\frac{71}{243}\) e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna 5.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81} & -\frac{71}{243}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & -\frac{71}{81}\end{array}\]

Passaggio 12: Sommando ora i valori nella colonna 6, otteniamo: \( -12-\frac{71}{243} = -\frac{2987}{243}\) e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna 6.

\[\begin{array}{c|ccccc}\frac{1}{3} & 1 & 0 & 10 & 0 & -2 & -12\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{91}{27} & \frac{91}{81} & -\frac{71}{243}\\[0.6em]\hline& 1 & \frac{1}{3} & \frac{91}{9} & \frac{91}{27} & -\frac{71}{81} & -\frac{2987}{243}\end{array}\]

che conclude questo calcolo, poiché siamo arrivati al risultato nella colonna finale, che contiene il resto.

Conclusione: Pertanto, concludiamo che per il dato dividendo \(\displaystyle p(x) = x^5+10x^3-2x-12\) e divisore \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{3}\), otteniamo che il resto è \(\displaystyle r(x) = -\frac{2987}{243}\), quindi concludiamo che \(\displaystyle p\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{2987}{243}\).

Esempio: applicazione della sostituzione sintetica

Il valore x = 1 è una radice del polinomio: \(p(x) = x^4 - x^3 + 4x + 3\)?

Soluzione: La sostituzione sintetica può essere applicata come nell'esempio precedente, ma nel caso di un valore semplice come x = 1, possiamo semplicemente inserire x = 1 e il calcolo è molto semplice:

\[p(1) = 1^4 - 1^3 + 4\cdot 1 + 3 = 1 - 1 + 4 + 3 = 7 \ne 0\]

quindi x = 1 non è una radice.

Esempio: sostituzioni più sintetiche

Valuta p(1/2) per \(p(x) = x^4 - 2x^3 + 4x + 3\).

Soluzione: Ora abbiamo \(\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3\), da valutare nel punto \(\displaystyle x = \frac{1}{2}\) mediante sostituzione sintetica.

Quindi usiamo la divisione sintetica di : \(\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3\), e il divisore \(\displaystyle s = x-\frac{1}{2}\), e l'obiettivo è trovare il resto.

Fase 1: Poiché il divisore ha grado 1, possiamo utilizzare il metodo della divisione sintetica. Risolvendo \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2} = 0\) troviamo direttamente che il numero da inserire nella casella di divisione è: \(\displaystyle \frac{1}{2}\).

\[\begin{array}{c|cccc} \frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline & & & & & & \end{array}\]

Passo 2: Ora passiamo direttamente il termine principale \(1\) alla riga del risultato:

\[\begin{array}{c|cccc} \frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3 \\[0.6em] & & & & & & \\[0.6em] \hline &1&&&& \end{array}\]

Smusso 3: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 1, troviamo: \(\frac{1}{2} \cdot \left(1\right) = \frac{1}{2}\) e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna 1.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & & \\[0.6em]\hline&1&&&&\end{array}\]

Passaggio 4: Sommando ora i valori nella colonna 2, troviamo: \( -2+\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}\) e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna 2.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & & \end{array}\]

Passaggio 5: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 2, troviamo: \(\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{3}{4}\) e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna 2.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & & \end{array}\]

Passaggio 6: Sommando ora i valori nella colonna 3, troviamo: \( 0-\frac{3}{4} = -\frac{3}{4}\) e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna 3.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & \\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \end{array}\]

Passaggio 7: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 3, troviamo: \(\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{3}{8}\) e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna 3.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \end{array}\]

Passaggio 8: Sommando ora i valori nella colonna 4, troviamo: \( 4-\frac{3}{8} = \frac{29}{8}\) e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna 4.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{29}{8}\end{array}\]

Passaggio 9: Moltiplicando il termine nella casella di divisione per il risultato nella colonna 4, troviamo: \(\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{29}{8}\right) = \frac{29}{16}\) e questo risultato viene inserito nella riga del risultato, colonna 4.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8} & \frac{29}{16}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{29}{8}\end{array}\]

Passaggio 10: Sommando ora i valori nella colonna 5, troviamo: \( 3+\frac{29}{16} = \frac{77}{16}\) e questo risultato viene inserito nella riga dei risultati, colonna 5.

\[\begin{array}{c|cccc}\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 4 & 3\\[0.6em]& 0 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{4} & -\frac{3}{8} & \frac{29}{16}\\[0.6em]\hline& 1 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{4} & \frac{29}{8} & \frac{77}{16}\end{array}\]

Conclusione: Pertanto, concludiamo che per il dato dividendo \(\displaystyle p(x) = x^4-2x^3+4x+3\) e divisore \(\displaystyle s(x) = x-\frac{1}{2}\), e otteniamo che il resto è uguale a \(\displaystyle r(x) = \frac{77}{16}\), quindi concludiamo che \(\displaystyle p\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{77}{16}\).

Altri calcolatori polinomiali

L'importanza del valutazioni polinomiali e i calcoli non possono essere sottovalutati. radici polinomiali sono incredibilmente versatili e compaiono in così tante applicazioni in fisica e ingegneria. .

In questo articolo abbiamo visto la chiara connessione con la sostituzione sintetica con entrambi Divisione sintetica e Divisione Lunga , che chiude il cerchio attraversato da Teorema Del Resto , che senza dubbio è un diretto predecessore del Teorema Fondamentale dell'Algebra.