Calcolatore del fattore polinomiale

Questo calcolatore di factoring con passaggi ti permetterà di trovare il fattore completamente un dato polinomio che fornisci, mostrando tutti i passaggi del processo.

Il polinomio che fornisci deve essere valido, qualcosa di semplice come p(x) = x^3 - x + 1, oppure può essere più complicato, con coefficienti che sono frazioni o qualsiasi espressione numerica valida.

Una volta fornito un polinomio valido, puoi procedere facendo clic sul pulsante "Calcola" e ti verrà fornita tutta l'esecuzione passo-passo del processo necessario per fattorizzare completamente il polinomio fornito, un processo che può essere abbastanza laborioso è fatto a mano, soprattutto quando il grado di polinomio è alto.

Non c'è assolutamente modo di sopravvalutare l'importanza di come saper fattorizzare i polinomi, poiché sono al centro di molte applicazioni in Algebra, Calcolo, Finanza e Ingegneria.

Come fattorizzare i polinomi?

Fatta eccezione per i polinomi quadratici, la fattorizzazione dei polinomi non è necessariamente facile e può potenzialmente portare difficoltà se eseguita a mano. Ci sono una serie di passaggi che dovresti seguire per migliorare le tue modifiche almeno trovando alcuni dei fattori

Passaggi del calcolatore del fattore

• Fase 1: Identifica l'espressione con cui stai lavorando, semplificala il più possibile e assicurati che sia un polinomio. Se non è un polinomio, allora non c'è un approccio definito da seguire
• Passo 2: Una volta che hai un polinomio semplificato, prendi nota del suo grado. Se è quadratico (grado 2), puoi usare il formula quadratica per trovare i suoi fattori
• Smusso 3: Se il grado del polinomio è 3 o superiore, controlla il coefficiente costante, se è zero, significa che puoi fattorizzare x e ridurre il grado del polinomio che rimane da scomporre
• Passaggio 4: Dopo aver completato il passaggio 4, è necessario verificare i candidati root semplici utilizzando il teorema dello zero razionale. Se trovi una radice razionale, questi sono fattori della forma (x - a) (dove a è una radice razionale), quindi dividi il polinomio per questi fattori, quindi riduci il grado del polinomio che devi fattorizzare
• Passaggio 5: Ripeti i passaggi precedenti fino a quando non hai una fattorizzazione completa o non puoi eseguire ulteriori riduzioni

C'è una cosa che, sebbene sia tecnica, deve essere menzionata: il factoring viene eseguito su a campo , che è un tipo di struttura algebrica. Normalmente, il campo che usiamo è il campo dei numeri reali.

Se usiamo il calcolatore dei fattori per il campo dei numeri reali, allora non tutti i fattori saranno nella forma \(x - a\), poiché potremmo anche avere fattori quadratici, che sono irriducibili nel campo reale. Ad esempio, \(x^2 + x + 10\) non può essere ridotto in fattori lineari reali, perché the Equazione quadrata \(x^2 + x + 10 = 0\) ha radici complesse.

Quindi nel passaggio 3, quando si ha a che fare con una funzione quadratica, il fattore può essere se stesso, se le sue radici sono complesse.

Fattori e radici

Il modo per utilizzare un processo di calcolo del factoring consiste essenzialmente nel tentare diversi tipi di factoring sfruttando determinate simmetrie o trovando radici. Trovare le simmetrie non è una cosa certa, in quanto dipende veramente da specifiche regolarità che si possono trovare, che non sono comuni a tutti i polinomi.

Il factoring mediante ispezione o raggruppamento è comunemente tentato, ma questi richiedono schemi specifici che non sono sempre presenti. Vale la pena ispezionare un polinomio per vedere se si può fare qualcosa di diretto, ma l'approccio della fattorizzazione trovando le radici è più sistematico e funzionerà in più casi rispetto ai metodi di ispezione.

Errori comuni da evitare

È fondamentale capire che il fattore di un polinomio è strettamente correlato alla ricerca della sua radice, che è tutta racchiusa nel teorema dei fattori . Quindi, sapere come fattorizzare si basa sulla tua capacità di sapere come trovare le radici di un polinomio.

Non ci sarà una formula, a meno che tu non abbia a che fare con una funzione quadratica. Per i gradi superiori, hai diverse alternative: puoi usare il processo sistematico descritto sopra, oppure puoi provare a indovinare e provare a fare il factoring mediante ispezione, o provare a usare altre alternative come fattorizzazione per raggruppamento .

Esempio: fattori polinomiali

Fattor completamente: \(p(x) = x^5 - 3x^4 + 3x^3 - 3x^2 + 2x\)

Soluzione: È stato fornito il seguente polinomio: \(\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x\), che deve essere completamente scomposto sui numeri reali.

Passaggio Iniziale: L'espressione polinomiale fornita è irriducibile, quindi non c'è nulla da semplificare. Possiamo procedere a fattorizzarlo.

Si osservi che il grado del polinomio dato è \(\displaystyle deg(p) = 5\), il suo coefficiente principale è \(\displaystyle a_{5} = 1\) e il suo coefficiente costante è \(\displaystyle a_0 = 0\).

Candidati Radici Razionali : Poiché il primo termine con un coefficiente diverso da zero in \(p(x)\) è \(x\), possiamo fattorizzare questo termine per ottenere

\[\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x \left(x^4-3x^3+3x^2-3x+2 \right) \]

ma il termine tra parentesi ha grado superiore a 2, quindi non esiste una formula elementare per fattorizzarlo. Dobbiamo verificare le possibili radici razionali.

Il compito successivo è trovare i numeri interi che dividono il coefficiente principale \(a_{4}\) e il coefficiente costante \(a_0\), che verranno utilizzati per costruire i nostri candidati come zeri dell'equazione polinomiale.

▹ I divisori di \(a_{4} = 1\) sono: \(\pm 1\).

▹ I divisori di \(a_0 = 2\) sono: \(\pm 1,\pm 2\).

Pertanto, dividendo ogni divisore del coefficiente costante \(a_0 = 2\) per ogni divisore del coefficiente principale \(a_{4} = 1\), troviamo il seguente elenco di candidati radici:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 1}\]

Ora, tutti i candidati devono essere testati per vedere se sono una soluzione. Quanto segue si ottiene testando ogni candidato:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^4-3\cdot \left(-1\right)^3+3\cdot \left(-1\right)^2-3\cdot \left(-1\right)+2 & = & \displaystyle 12 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^4-3\cdot 1^3+3\cdot 1^2-3\cdot 1+2 & = & \displaystyle 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle \left(-2\right)^4-3\cdot \left(-2\right)^3+3\cdot \left(-2\right)^2-3\cdot \left(-2\right)+2 & = & \displaystyle 60 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 2^4-3\cdot 2^3+3\cdot 2^2-3\cdot 2+2 & = & \displaystyle 0 \\\\ \end{array}\]

Divisione Polinomiale : Poiché non abbiamo abbastanza radici tra i candidati razionali, divideremo \(\displaystyle x^4-3x^3+3x^2-3x+2\) per il prodotto dei fattori derivati dalle radici razionali, che è \(\displaystyle \left(x-1\right)\left(x-2\right) \).

Fase 1: Il termine iniziale del dividendo \(\displaystyle p(x) = x^4-3x^3+3x^2-3x+2\) è \(\displaystyle x^4\), mentre il termine iniziale del divisore \(\displaystyle s(x) = x^2-3x+2\) è uguale a \(\displaystyle x^2\).

Allora, il termine che dobbiamo moltiplicare \(x^2\) per ottenere il termine iniziale del dividendo è \(\displaystyle \frac{ x^4}{ x^2} = x^2\), quindi aggiungiamo questo termine al quoziente. Inoltre, lo moltiplichiamo per il divisore per ottenere \(\displaystyle x^2 \cdot \left(x^2-3x+2\right) = x^4-3x^3+2x^2\), che dobbiamo sottrarre al dividendo:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rccccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle &&\\[0.3em] \hline x^2-3x+2\,) & \displaystyle x^4 & \displaystyle -3x^3 & \displaystyle +3x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^4 & \displaystyle +3x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \end{array}\]

Passo 2: In questo caso, il termine principale del resto corrente \(\displaystyle x^2-3x+2\) è \(\displaystyle x^2\), e sappiamo che il termine principale per il divisore è \(\displaystyle x^2\).

Quindi, il termine che dobbiamo moltiplicare \(x^2\) per ottenere il termine principale del resto corrente è \(\displaystyle \frac{ x^2}{ x^2} = 1\), quindi aggiungiamo questo termine al quoziente. Inoltre, lo moltiplichiamo per il divisore per ottenere \(\displaystyle 1 \cdot \left(x^2-3x+2\right) = x^2-3x+2\), che dobbiamo sottrarre al promemoria corrente:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rccccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle +1&&\\[0.3em] \hline x^2-3x+2\,) & \displaystyle x^4 & \displaystyle -3x^3 & \displaystyle +3x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^4 & \displaystyle +3x^3 & \displaystyle -2x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x^2 & \displaystyle -3x & \displaystyle +2\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x^2 & \displaystyle +3x & \displaystyle -2\\[0.3em] \hline \displaystyle & & & & & 0\\[0.3em] \end{array}\]

Pertanto, il quoziente è \(\displaystyle q(x) = x^2+1\) e il resto è \(\displaystyle r(x) = 0\).

Quindi dopo aver diviso, siamo avanzati nella fattorizzazione con

\[\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x \left(x-1\right)\left(x-2\right) \left(x^2+1\right)\]

Ma ora, poiché il quoziente trovato \(\displaystyle x^2+1\) è quadratico, possiamo trovarne le radici per vedere se possiamo fattorizzarlo sul campo reale.

Dobbiamo risolvere la seguente equazione quadratica data \(\displaystyle x^2+1=0\).

Per un'equazione quadratica della forma \(a x^2 + bx + c = 0\), le radici vengono calcolate utilizzando la seguente formula:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

In questo caso, abbiamo che l'equazione che dobbiamo risolvere è \(\displaystyle x^2+1 = 0\), il che implica che i coefficienti corrispondenti sono:

\[a = 1\] \[b = 0\] \[c = 1\]

Innanzitutto, calcoleremo il discriminante per valutare la natura delle radici. La discriminante è calcolata come:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( 0\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(1\right) = -4\]

Poiché in questo caso otteniamo che il discriminante è \(\Delta = \displaystyle -4 < 0\), che è negativo, sappiamo che l'equazione data ha due diverse radici complesse coniugate.

Ora, inserendo questi valori nella formula per le radici otteniamo:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{\left(0\right)^2-4\left(1\right)\left(1\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{-4}}{2}\]

allora, troviamo che:

\[\displaystyle x_1 = \frac{0 - i \sqrt{4}}{2} = -i\] \[\displaystyle x_2 = \frac{0 + i \sqrt{4}}{2} = i\]

Quindi, dopo aver trovato le radici dell'ultima parte quadratica, troviamo due radici complesse, quindi non possiamo fattorizzare il termine \(x^2+1\) nel campo reale, quindi terminiamo il processo con \(\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x \left(x-1\right)\left(x-2\right) \left(x^2+1\right)\).

Conclusione : Pertanto, la fattorizzazione finale che otteniamo è:

\[\displaystyle p(x) = x^5-3x^4+3x^3-3x^2+2x = x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x^2+1\right)\]

Le radici trovate utilizzando il processo di fattorizzazione sono \(0\),\(1\),\(2\),\(-i\) e \(i\) .

Esempio: calcolo del fattore

Trova i fattori di quanto segue: \(p(x) = x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x\)

Soluzione: Ora dobbiamo fattorizzare: \(\displaystyle p(x) = x^4-2x^3-x^2+x\).

Passaggio Iniziale: L'espressione polinomiale fornita non può essere ridotta, quindi possiamo procedere direttamente alla fattorizzazione.

Candidati Radici Razionali : Poiché il primo termine con un coefficiente diverso da zero in \(p(x)\) è \(x\), possiamo fattorizzare questo termine per ottenere

\[\displaystyle p(x) = x^4-2x^3-x^2+x = x \left(x^3-2x^2-x+1 \right) \]

ma il termine tra parentesi ha grado superiore a 2, quindi non esiste una formula elementare per fattorizzarlo. Dobbiamo verificare le possibili radici razionali.

Il compito successivo è trovare i numeri interi che dividono il coefficiente principale \(a_{3}\) e il coefficiente costante \(a_0\), che verranno utilizzati per costruire i nostri candidati come zeri dell'equazione polinomiale.

▹ I divisori di \(a_{3} = 1\) sono: \(\pm 1\).

▹ I divisori di \(a_0 = 1\) sono: \(\pm 1\).

Pertanto, dividendo ogni divisore del coefficiente costante \(a_0 = 1\) per ogni divisore del coefficiente principale \(a_{3} = 1\), troviamo il seguente elenco di candidati radici:

\[\pm \frac{ 1}{ 1}\]

Ora, tutti i candidati devono essere testati per vedere se sono una soluzione. Quanto segue si ottiene testando ogni candidato:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^3-2\cdot \left(-1\right)^2-\left(-1\right)+1 & = & \displaystyle -1 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^3-2\cdot 1^2-1+1 & = & \displaystyle -1 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Ma poiché non abbiamo trovato alcuna radice razionale mediante ispezione, non possiamo continuare con la fattorizzazione utilizzando metodi elementari, quindi il processo si ferma qui.

Conclusione : Pertanto, in questo caso, otteniamo:

\[\displaystyle p(x) = x^4-2x^3-x^2+x = x\left(x^3-2x^2-x+1\right)\]

Pertanto, l'unica radice trovata utilizzando il processo di fattorizzazione è \(0\).

Esempio: calcolo del factoring

Fattorizzare completamente \( p(x) = x^3 - \frac{7}{2}x^2 + \frac{7}{2}x - 1\). Quali sono le radici di questo polinomio?

Soluzione: Per questo esempio, abbiamo \(\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1\), e useremo il processo di fattorizzazione come strumento per calcolarne le radici.

Passaggio Iniziale: L'espressione polinomiale fornita è irriducibile, quindi non c'è nulla da semplificare. Possiamo procedere a fattorizzarlo.

Dobbiamo prima cercare di trovare radici razionali semplici, cosa che si ottiene con l'aiuto del teorema della radice razionale.

Il compito successivo è trovare i numeri interi che dividono il coefficiente principale \(a_{3}\) e il coefficiente costante \(a_0\), che verranno utilizzati per costruire i nostri candidati come zeri dell'equazione polinomiale.

▹ I divisori interi di \(a_{3} = 1\) sono: \(\pm 1\).

▹ I divisori interi di \(a_0 = -1\) sono: \(\pm 1\).

Quindi, dividiamo ogni divisore del coefficiente costante \(a_0 = -1\) per ogni singolo divisore del coefficiente principale \(a_{3} = 1\), così possiamo trovare un elenco di candidati razionali come radici:

\[\pm \frac{ 1}{ 1}\]

Ora, tutti i candidati devono essere testati per vedere se sono una soluzione. Quanto segue si ottiene testando ogni candidato:

\[\begin{array}{ccccclcc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle \left(-1\right)^3-\frac{7}{2}\cdot \left(-1\right)^2+\frac{7}{2}\cdot \left(-1\right)-1 & = & \displaystyle -9 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1^3-\frac{7}{2}\cdot 1^2+\frac{7}{2}\cdot 1-1 & = & \displaystyle 0 \\\\ \end{array}\]

Processo Di Divisione Polinomiale : Non abbiamo abbastanza radici razionali dai candidati trovati con il Teorema Razionale Zero, quindi divideremo \(\displaystyle x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1\) per il prodotto di questi fattori razionali derivati dai candidati radice razionale, che porta a \(\displaystyle \left(x-1\right) \) .

Fase 1: Il termine iniziale del dividendo \(\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1\) è \(\displaystyle x^3\), mentre il termine iniziale del divisore \(\displaystyle s(x) = x-1\) è uguale a \(\displaystyle x\).

Allora, il termine che dobbiamo moltiplicare \(x\) per ottenere il termine iniziale del dividendo è \(\displaystyle \frac{ x^3}{ x} = x^2\), quindi aggiungiamo questo termine al quoziente. Inoltre, lo moltiplichiamo per il divisore per ottenere \(\displaystyle x^2 \cdot \left(x-1\right) = x^3-x^2\), che dobbiamo sottrarre al dividendo:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle & \displaystyle &\\[0.3em] \hline x-1\,) & \displaystyle x^3 & \displaystyle -\frac{7}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^3 & \displaystyle +x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{5}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \end{array}\]

Passo 2: Ora, il termine principale del resto corrente \(\displaystyle -\frac{5}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1\) è \(\displaystyle -\frac{5}{2}x^2\), e sappiamo che il termine principale per il divisore è \(\displaystyle x\).

Quindi, il termine che dobbiamo moltiplicare \(x\) per ottenere il termine principale del resto corrente è \(\displaystyle \frac{ -\frac{5}{2}x^2}{ x} = -\frac{5}{2}x\), quindi aggiungiamo questo termine al quoziente. Inoltre, lo moltiplichiamo per il divisore per ottenere \(\displaystyle -\frac{5}{2}x \cdot \left(x-1\right) = -\frac{5}{2}x^2+\frac{5}{2}x\), che dobbiamo sottrarre al promemoria corrente:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle &\\[0.3em] \hline x-1\,) & \displaystyle x^3 & \displaystyle -\frac{7}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^3 & \displaystyle +x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{5}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{5}{2}x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x & \displaystyle -1\\[0.3em] \end{array}\]

Smusso 3: Ora, il termine principale del resto corrente \(\displaystyle x-1\) è \(\displaystyle x\), e sappiamo che il termine principale per il divisore è \(\displaystyle x\).

Quindi, il termine che dobbiamo moltiplicare \(x\) per ottenere il termine principale del resto corrente è \(\displaystyle \frac{ x}{ x} = 1\), quindi aggiungiamo questo termine al quoziente. Inoltre, lo moltiplichiamo per il divisore per ottenere \(\displaystyle 1 \cdot \left(x-1\right) = x-1\), che dobbiamo sottrarre al promemoria corrente:

\[\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{rcccc} &\displaystyle x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle +1&\\[0.3em] \hline x-1\,) & \displaystyle x^3 & \displaystyle -\frac{7}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle -x^3 & \displaystyle +x^2 & \displaystyle & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle -\frac{5}{2}x^2 & \displaystyle +\frac{7}{2}x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle \frac{5}{2}x^2 & \displaystyle -\frac{5}{2}x & \displaystyle \\[0.3em] \hline \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle x & \displaystyle -1\\[0.3em] \displaystyle &\displaystyle & \displaystyle & \displaystyle -x & \displaystyle +1\\[0.3em] \hline \displaystyle & & & & 0\\[0.3em] \end{array}\]

Quindi, dal quoziente di divisione, concludiamo che \(\displaystyle q(x) = x^2-\frac{5}{2}x+1\), con resto di \(\displaystyle r(x) = 0\).

Quindi, otterremo:

\[\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1 = \left(x-1\right) \left(x^2-\frac{5}{2}x+1\right)\]

Ma l'equazione \(\displaystyle x^2-\frac{5}{2}x+1\) è quadratica, quindi le radici possono essere calcolate direttamente.

Quindi, dobbiamo calcolare il discriminante per conoscere la natura delle radici. La formula per la discriminante è:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( -\frac{5}{2}\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(1\right) = \frac{9}{4}\]

Ma vediamo che il discriminante è \(\Delta = \displaystyle \frac{9}{4} > 0\), che è positivo, e quindi concludiamo che l'equazione ha due radici reali diverse.

Ora inseriamo questi valori per ottenere:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{\frac{5}{2} \pm \sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^2-4\left(1\right)\left(1\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{\frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}}}{2}\]

allora, troviamo che:

\[ x_1 = \frac{\frac{5}{2}}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\frac{5}{2}}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{5}{4}-\frac{3}{4}=\frac{1}{2} \] \[x_2 = \frac{\frac{5}{2}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{\frac{5}{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{5}{4}+\frac{3}{4}=2\]

Con le soluzioni dell'equazione quadratica sopra, che ha due radici reali, scomponiamo ulteriormente il polinomio originale come: \(\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1 = \left(x-1\right) \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-2\right)\).

Conclusione : Quindi, in questo caso otteniamo una semplificazione completa :

\[\displaystyle p(x) = x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x-1 = \left(x-1\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-2\right)\]

Sulla base della suddetta fattorizzazione, le radici trovate sono: \(1\),\(\frac{1}{2}\) e \(2\) .

Altri calcolatori polinomiali

Ci sono molte cose che puoi fare con il polinomio, puoi rappresentarli graficamente , puoi analizzare il loro comportamento finale, ma quelli sono compiti accessori più semplici rispetto al compito principale che è Fattorizzazione di un polinomio e trovare le sue radici.

Il problema generale per i gradi superiori è complicato, e di solito ci riduciamo a funzioni quadratiche , e potenzialmente funzioni cubiche che hanno determinate simmetrie che consentono una facile fattorizzazione.