Informazioni sulle funzioni quadratiche e su questa calcolatrice

Questa calcolatrice ti permetterà di semplificare e rappresentare graficamente qualsiasi funzione quadratica. Tutto ciò che serve per fornire una funzione quadratica valida in x.

Potrebbe essere qualcosa che è già semplificato come f(x) = 2x^2 + 3x +1, oppure potrebbe essere qualcosa che non è completamente semplificato, come , a condizione che sia un valore valido funzione quadratica

Una volta fornita una funzione quadratica valida, fare clic su "Calcola" per visualizzare i risultati.

Le funzioni quadratiche sono così importanti in matematica, e ci sono davvero tra le funzioni più comunemente usate nell'algebra di base. Le sue proprietà sono davvero intuitive dal punto di vista geometrico.

Cos'è una funzione quadratica?

Una funzione quadratica univariata è una funzione in cui la variabile appare con una potenza di 2, possibilmente moltiplicata per un coefficiente, più eventualmente termini di ordine inferiore. La formula quadratica è:

\[f(x) = a x^2 + b x + c \]

dove \(a\), \(b\) e \(c\) sono costanti e \(x\) è la variabile della funzione.

Graficamente, tutte le funzioni quadratiche sono parabole, che si aprono verso l'alto per a > 0, e si aprono verso il basso per a < 0. La parabola descritta dalla funzione \(f(x) = a x^2 + b x + c \) sarà simmetrica attorno alla retta verticale \(x_V = \displaystyle -\frac{b}{2a}\), che è chiamato il Asse di simmetria .

Passi per come risolvere una funzione quadratica

• Passaggio 1: identifica la funzione quadratica con cui vuoi lavorare e semplificala se necessario finché non l'hai nella forma \(f(x) = a x^2 + b x + c \)
• Passaggio 2: Il Equazione quadrata associato alla funzione quadratica data è \(f(x) = a x^2 + b x + c = 0\)
• Passaggio 3: questa equazione ha 2 radici in generale. Potrebbero essere radici reali o coniugate complesse. C'è un caso speciale con una sola vera radice, nel qual caso diciamo che le radici sono ripetuto
• Passaggio 4: puoi provare a trovare le radici indovinando, testando potenziali candidati razionali
• Passaggio 5: se le radici non possono essere facilmente trovate indovinando, puoi sempre usare il generale formula quadratica : \(x = \displaystyle \frac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)

I tipi di radici che otterrai dipendono molto dal calcolo del discriminante , che è \(\Delta = b^2 - 4ac\).

Infatti, per un discriminante positivo \(\Delta = b^2 - 4ac > 0\), ci saranno due radici reali. Graficamente, questo indica che la parabola attraversa l'asse x in due punti diversi

Quando il discriminante è zero, \(\Delta = b^2 - 4ac = 0\), ci sarà una vera radice. Graficamente, questo indica che la parabola tocca l'asse x in un solo punto

Per un discriminante negativo \(\Delta = b^2 - 4ac < 0\), ci saranno due radici complesse. Graficamente, questo indica che la parabola non attraversa l'asse x

Funzione quadratica in forma standard

Sebbene la forma quadratica generale sia \(f(x) = a x^2 + b x + c \), e di solito è sufficiente per conoscere tutto ciò di cui abbiamo bisogno sulle proprietà delle funzioni quadratiche, ci sono altre forme che sono comuni.

Abbiamo la funzione quadratica in forma standard, nota anche come Forma del vertice , quando è scritto come

\[f(x) = a(x-h)^2 + k \]

Ciò è particolarmente utile perché il punto (h, k) corrisponde al vertice.

Quali sono i passaggi per ottenere la forma standard di una funzione quadratica?

• Passaggio 1: identifica chiaramente la funzione quadratica che ti viene fornita
• Passo 2: Se non è già fornito in forma standard, semplificalo e mettilo prima nella forma generale \(f(x) = a x^2 + b x + c \)
• Passaggio 3: una volta che lo hai in forma generale, devi solo farlo completare il quadrato per raggiungere la forma standard della funzione quadratica

Il processo di completamento dei quadrati potrebbe essere laborioso ma ti condurrà sistematicamente alla forma standard del quadratico.

Perché le funzioni quadratiche sono così importanti?

Le funzioni quadratiche sono davvero cruciali, poiché svolgono un ruolo estremamente importante in una miriade di problemi applicativi, tra cui massimizzazione e minimizzazione.

Il centro di tutte le calcolatrici algebriche inizia con la potenza dei numeri di base delle frazioni.

Esempio: forma standard quadratica

Trova la forma standard per la seguente funzione quadratica: \(f(x) = 2x^2 + 2x - 1\)

Soluzione:

che conclude il calcolo.

Esempio: asse di simmetria

Trova l'asse di simmetria per: \(f(x) = \frac{1}{3} x^2 + \frac{5}{4}x - \frac{5}{6}\)

Soluzione:

che conclude il calcolo.

Esempio: forma quadratica e vertice

Trova il vertice della funzione quadratica \( f(x) = \left(\frac{2}{3}(x - 2)^2 + \frac{2}{5} \).

Soluzione:

che conclude il calcolo.

Altre calcolatrici quadratiche

C'è così tanto che puoi fare con le funzioni quadratiche. Puoi trovare il radici di un'equazione quadratica , puoi trova il vertice , e trova l'asse di simmetria. Una delle cose che rendono le funzioni quadratiche così attraenti sono le loro proprietà geometriche altamente intuitive.

Di rappresentare graficamente una funzione quadratica puoi dire molto anche sulle sue radici, vertice e asse di simmetria.