Fattorizza per raggruppamento
Il fattore per raggruppamento è un ottimo modo per fattorizzare un'espressione, senza la necessità di risolvere un'equazione polinomiale, che potrebbe essere difficile da risolvere.
L'unico problema del factoring per raggruppamento è che non esiste una ricetta o una strategia che ti darà il raggruppamento corretto di cui hai bisogno. O peggio ancora, potrebbe non esserci un modo chiaro di raggruppare per condurre una fattorizzazione.
In questo tutorial ci concentreremo sui casi speciali in cui il raggruppamento aiuterà a fattorizzare un'espressione algebrica, anche se la verità è che non è sempre possibile farlo. Per un trattamento più generale, dai un'occhiata a questo tutorial su vieni fattorizzare .
Le condizioni richieste per il factoring per raggruppamento
Ecco come funziona il factoring per raggruppamento:
Dobbiamo cercare alcuni suggerimenti per utilizzare questo tipo di factoring. Per cominciare, ci aspetteremo di avere un'espressione algebrica con un numero pari di termini maggiore di 2 (quindi 4, 6, ecc.), Quindi proveremo a raggruppare.
Come abbiamo detto, non ci sono regole fisse e devi giocarci a orecchio, seguendo questi due passaggi.
Passo 1:
Raggruppa il primo e il secondo termine, il terzo e il quarto termine e così via.
Passo 2:
Ora, prova a fattorizzare tutte le coppie che hai raggruppato nel passaggio 1. Osserva che potrebbe esserci più di un modo per fattorizzare.
Passaggio 3:
Verifica se i fattori che hai ottenuto nel passaggio 2 sono tutti uguali, nel qual caso puoi calcolarlo.
Passaggio 4:
Se i passaggi precedenti non funzionano, prova il trucco di "aggiungere zero": a volte, le cose funzioneranno se aggiungi qualcosa e lo sottrai anche dall'espressione.
Aggiungendo e sottraendo lo stesso termine, l'effetto netto è lo stesso dell'aggiunta (ovvero, lasciando l'espressione uguale a prima)
ESEMPIO 1
Fattorizzare utilizzando il metodo Fattorizza raggruppando il seguente polinomio
\[6x^3 + 3x^2 - 4x -2\]RISPOSTA:
Dobbiamo utilizzare i passaggi che abbiamo definito sopra. Nota che questi passaggi non sono scolpiti nella pietra, ma sono un'utile guida da seguire:
Passo 1: Raggruppiamo il primo e il secondo termine e anche il terzo e il quarto termine in modo da ottenere
\[6x^3 + 3x^2 - 4x -2 = (6x^3 + 3x^2) - (4x + 2)\]
Passo 2: Il termine \(6x^3 + 3x^2\) viene scomposto come \(6x^3 + 3x^2 = 3x^2(2x+1)\) e il termine \(4x + 2\) viene scomposto come \(4x + 2 = 2(2x+1)\), quindi otteniamo:
\[6x^3 + 3x^2 - 4x -2 = (6x^3 + 3x^2) - (4x + 2) = 3x^2(2x+1) - 2(2x+1) \]
Passaggio 3: Ora possiamo vedere come i due gruppi che abbiamo scomposto abbiano un fattore comune, che è \(2x+1\), che può essere scomposto dalla proprietà distributiva. Pertanto, si ottiene quanto segue:
\[6x^3 + 3x^2 - 4x -2 = (3x^2-2)(2x+1)\]
che conclude il processo di factoring.
ESEMPIO 2
Risolvi la seguente equazione: \(x^3 -6x^2 + 11x - 6 = 0\):
RISPOSTA:
Poiché non sappiamo realmente (sebbene sia possibile) come trovare la soluzione di quell'equazione cubica, dobbiamo usare di nuovo i passaggi per trovare la fattorizzazione raggruppando \(x^3 -6x^2 + 11x - 6 \) se possibile:
Passo 1: Raggruppiamo il primo e il secondo termine e anche il terzo e il quarto termine in modo da ottenere
\[x^3 -6x^2 + 11x - 6 = (x^3 -6x^2) + (11x - 6) \]
Passo 2: Il termine \(x^3 -6x^2\) viene scomposto come \(x^3 -6x^2 = x^2(x-6)\) e il termine \(11x - 6\) viene scomposto come \(11x - 6= 11(x - 6/11)\), quindi otteniamo:
\[x^3 -6x^2 + 11x - 6 = (x^3 -6x^2) + (11x - 6) = x^2(x-6) + 11(x - 6/11) \]
Passaggio 3: In questo caso, non esiste un fattore comune, quindi il metodo non ha funzionato fino a questo punto.
Passaggio 4: Aggiungiamo \(0 = 2x - 2x\) e aggiungiamo \(0 = 3x^2 - 3x^2\) che non influenzerà l'espressione (stiamo aggiungendo zeri), quindi otteniamo:
\[ x^3 -6x^2 + 11x - 6 = x^3 -6x^2 + 11x - 6 + 2x - 2x + 3x^2 - 3x^2\] \[ = x^3 - 3x^2 -3x^2 + 9x +2x- 6 \] \[= (x^3 - 3x^2) -(3x^2 - 9x) +(2x- 6) \] \[= x^2(x - 3) -3x(x-3) +2(x- 3) \]
e ora abbiamo il fattore comune, \(x-3\) che stavamo cercando. Infine, fattorizzando \(x-3\) otteniamo
\[\Large x^3 -6x^2 + 11x - 6 = (x^2-3x +2)(x- 3)\]Quindi, per risolvere l'equazione originale, possiamo anche risolvere \((x^2-3x +2)(x- 3) = 0\) che significa che \(x^2-3x +2 = 0\) o \(x - 3\) = 0.
Dalla seconda equazione abbiamo l'unica soluzione è \(x = 3\). Dalla prima equazione dobbiamo risolvere:
\[ x^2-3x +2 = 0 \Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] \[ \Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(2)}}{2(1)}\] \[ \Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2}\] \[ \Rightarrow x = \frac{3 \pm 1}{2}\]il che implica che le altre soluzioni sono \(x = (3-1)/2 = 1\) e \(x = (3+1)/2 = 2\).
Perché factoring per raggruppamento?
Ricordiamo che la fattorizzazione è sempre una buona cosa per risolvere un'equazione, perché quando una moltiplicazione di più fattori è uguale a zero, allora le soluzioni dell'equazione si trovano ponendo ogni fattore uguale a zero.
Ad esempio, supponi di voler risolvere l'equazione \(x^3 + x^2 + 2x + 2 = 0\). Scommetto che non saresti all'oscuro se avessi bisogno di risolverlo usando mezzi algebrici.
Perché? Perché questa è un'equazione cubica e risolvere un'equazione cubica è difficile. C'è una formula, ma non è facile. Quali alternative abbiamo?
Bene, possiamo fattorizzare raggruppando, se possibile. Vedremo che in questo caso è davvero possibile. Seguiremo i passaggi che sono stati delineati sopra:
Passo 1: Raggruppare il primo e il secondo termine e anche il terzo e il quarto termine porta a:
\[(x^3 + x^2) + (2x + 2) = 0\]
Passo 2: Il termine \(x^3 + x^2\) viene scomposto come \(x^3 + x^2 = x^2(x+1)\) e il termine \(2x + 2\) viene scomposto come \(2x + 2 = 2(x+1)\), quindi otteniamo:
\[x^2(x + 1) + 2(x + 1) = 0\]
Passaggio 3: Ora vediamo che i due gruppi che abbiamo scomposto hanno un fattore comune, che è \(x+1\), che può essere scomposto dalla proprietà distributiva, quindi otteniamo:
\[(x^2+2)(x + 1)= 0\]
Pertanto, ciò che abbiamo scoperto è che l'espressione cubica originale è stata scomposta come:
\[x^3 + x^2 + 2x + 2 = (x^2+2)(x + 1) = 0\]In questo modo, possiamo risolvere facilmente l'equazione, impostando \(x^2 + 2 = 0\) o \(x + 1 = 0\). Si noti che poiché \(x^2\) è sempre non negativo otteniamo che \(x^2 + 2 \ge 2\) e non può mai essere zero (almeno per \(x\) reale).
Pertanto l'unica soluzione è \(x = -1\).
Quindi è arrivato gratuitamente, utilizzando il fattore raggruppando. Altrimenti, avremmo dovuto usare una formula di radice cubica ingombrante, o avresti usato il metodo di "indovinare le radici", che siamo onesti, non è davvero un metodo.