Risolvere equazioni quadratiche mediante fattorizzazione

Questa calcolatrice ti consente di fattorizzare un'equazione quadratica che fornisci, mostrando tutti i passaggi del processo. Tutto quello che devi fare è fornire un'equazione quadratica valida.

Un esempio di equazione quadratica valida è 2x² + 5x + 1 = 0. Puoi anche fornire un'equazione quadratica non completamente semplificata, come ad esempio x² - 3/4 x + 2 = 3x - 2x², e questa calcolatrice semplificalo per te.

Dopo aver fornito un'equazione quadratica valida, è necessario fare clic su "Calcola" e ti verranno mostrati tutti i passaggi del processo.

La fattorizzazione delle equazioni quadratiche è uno dei metodi per trovare le radici, ma è considerato un metodo piuttosto "ingenuo", poiché è un metodo "prova e prova", che funziona bene solo per radici intere e frazionarie.

Come si fa la fattorizzazione delle equazioni quadratiche?

Il processo è semplice, ma ha risultati potenziali limitati, perché funziona potenzialmente bene solo quando l'equazione quadratica ha radici molto semplici:

Quali sono i passaggi per risolvere le equazioni quadratiche mediante fattorizzazione?

• Passo 1: Identifica l'equazione quadratica che vuoi risolvere e semplifica nella sua forma ax² + bx + c = 0
• Passaggio 2: esaminare i coefficienti a e c. Se non sono interi, i tuoi cambiamenti di "indovinare" i fattori sono nulli
• Passo 3: Se i coefficienti a e c sono interi, trova i loro divisori interi a ₁ , un ₂ , ...., e C ₁ , c ₂ ,... ecc. Proverai a indovinare una soluzione dell'equazione verificando le frazioni della forma c _io /un _K
• Passaggio 4: trovare le radici r₁ e r₂ con questo metodo porterà a una fattorizzazione della forma ax² + bx + c = a(x - r₁)(x - r₂) = 0

Il limite di questo metodo è che potresti non essere in grado di indovinare le soluzioni, poiché le soluzioni potrebbero non essere razionali. In altre parole, non c'è un semplice formula per il factoring , segui piuttosto un processo di supposizione.

Ora, indipendentemente dai suoi limiti, la risoluzione di equazioni quadratiche con il factoring è una buona e rapida alternativa quando le radici dell'equazione sono molto semplici.

Perché dovrebbe preoccuparsi di fattorizzare le frazioni quadratiche?

Il factoring gioca un ruolo molto importante in diversi contesti e, in definitiva, la risoluzione di un'equazione quadratica generale si basa su un processo di factoring sofisticato ed elegante.

Spesso utilizzerai il factoring all'interno di un'equazione non necessariamente per risolvere l'equazione, ma piuttosto per raggruppare i termini.

Esempio: fattorizzazione di equazioni quadratiche

Risolvi la seguente equazione fattorizzando \(4x^2 + 4x + 1 = 0\)

Soluzione:

Dobbiamo cercare di risolvere la seguente equazione quadratica data \(\displaystyle 4x^2+4x+1=0\) mediante fattorizzazione.

In questo caso, abbiamo che l'equazione che dobbiamo cercare di fattorizzare è \(\displaystyle 4x^2+4x+1 = 0\), il che implica che i coefficienti corrispondenti sono:

\[a = 4\] \[b = 4\] \[c = 1\]

Ora, dobbiamo trovare i numeri interi che dividono \(a\) e \(c\), che saranno usati per costruire i nostri candidati come fattori.

I divisori di \(a = 4\) sono: \(\pm 1,\pm 2,\pm 4\).

I divisori di \(c = 1\) sono: \(\pm 1\).

Pertanto, dividendo ogni divisore di \(c = 1\) per ogni divisore di \(a = 4\), troviamo il seguente elenco di candidati come fattori:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 2},\pm \frac{ 1}{ 4}\]

Ora, tutti i candidati devono essere testati per vedere se sono una soluzione. Quanto segue si ottiene testando ogni candidato:

\[\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 4 \left(-1\right)^2+4 \left(-1\right)+1 & = & \displaystyle 1 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 4 \left(1\right)^2+4 \left(1\right)+1 & = & \displaystyle 9 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{2} &:&    & \displaystyle 4 \left(-\frac{1}{2}\right)^2+4 \left(-\frac{1}{2}\right)+1 & = & \displaystyle 0 = 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{2} &:&    & \displaystyle 4 \left(\frac{1}{2}\right)^2+4 \left(\frac{1}{2}\right)+1 & = & \displaystyle 4 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{4} &:&    & \displaystyle 4 \left(-\frac{1}{4}\right)^2+4 \left(-\frac{1}{4}\right)+1 & = & \displaystyle \frac{1}{4} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{4} &:&    & \displaystyle 4 \left(\frac{1}{4}\right)^2+4 \left(\frac{1}{4}\right)+1 & = & \displaystyle \frac{9}{4} \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Quindi, solo uno dei candidati, \(x = \displaystyle -\frac{1}{2}\) risulta essere una radice, quindi abbiamo che l'equazione quadratica data può essere fattorizzata come \( 4 \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 = 0\).

Esempio: risoluzione di equazioni di secondo grado mediante fattorizzazione

Risolvi la seguente equazione quadratica fattorizzando \(x^2 + 5x + 6 = 0\)

Soluzione: Dobbiamo cercare di fattorizzare \(\displaystyle x^2+5x+6 = 0\), quindi i coefficienti corrispondenti sono:

\[a = 1\] \[b = 5\] \[c = 6\]

Ora, dobbiamo trovare i numeri interi che dividono \(a\) e \(c\), che saranno usati per costruire i nostri candidati come fattori.

I divisori di \(a = 1\) sono: \(\pm 1\).

I divisori di \(c = 6\) sono: \(\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\).

Pertanto, dividendo ogni divisore di \(c = 6\) per ogni divisore di \(a = 1\), troviamo il seguente elenco di candidati come fattori:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 2}{ 1},\pm \frac{ 3}{ 1},\pm \frac{ 6}{ 1}\]

Ora, tutti i candidati devono essere testati per vedere se sono una soluzione. Quanto segue si ottiene testando ogni candidato:

\[\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 1 \left(-1\right)^2+5 \left(-1\right)+6 & = & \displaystyle 2 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1 \left(1\right)^2+5 \left(1\right)+6 & = & \displaystyle 12 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -2 &:&    & \displaystyle 1 \left(-2\right)^2+5 \left(-2\right)+6 & = & \displaystyle 0 = 0 \\\\ x & = & \displaystyle 2 &:&    & \displaystyle 1 \left(2\right)^2+5 \left(2\right)+6 & = & \displaystyle 20 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -3 &:&    & \displaystyle 1 \left(-3\right)^2+5 \left(-3\right)+6 & = & \displaystyle 0 = 0 \\\\ x & = & \displaystyle 3 &:&    & \displaystyle 1 \left(3\right)^2+5 \left(3\right)+6 & = & \displaystyle 30 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -6 &:&    & \displaystyle 1 \left(-6\right)^2+5 \left(-6\right)+6 & = & \displaystyle 12 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 6 &:&    & \displaystyle 1 \left(6\right)^2+5 \left(6\right)+6 & = & \displaystyle 72 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Quindi, due dei candidati risultano essere radici, \(x_1 = \displaystyle -2\) e \(x = \displaystyle -3\), quindi abbiamo trovato le nostre soluzioni, e possiamo fattorizzare l'equazione data come \( \displaystyle \left(x+2\right)\left(x+3\right) = 0\).

Altri utili calcolatori quadratici

Il formula quadratica è davvero uno dei più importanti nell'algebra di base e ha applicazioni in molti contesti. Potresti volerlo calcolare un'equazione quadratica , potresti volerlo esprimere in Forma del vertice , ci sono molte possibilità.

Ci sono molti elementi che sono tutti legati insieme, come il equazione quadratica discriminante , o il asse di simmetria di una parabola . Tutti questi elementi sono strettamente correlati e svolgono un ruolo importante insieme.