Quadratische gleichungen berücksichtigen

Mit diesem Rechner können Sie eine Faktor -Zerlegung einer quadratischen Gleichung berechnen, die Sie bereitstellen.Sie müssen eine gültige quadratische Funktion bereitstellen, zum Beispiel 5/4 x^2 + 3x +1, aber Sie können auch eine quadratische Funktion bereitstellen, die nicht vollständig vereinfacht ist, z.5 + 1/4 x beispielsweise vorausgesetzt, dass die quadratische Gleichung gültig ist.

Natürlich, Quadratische Funktionen Berücksichten ist eng verwandt mit Quadratische Gleisungen Lösen und wir werden sehen, dass die Faktoren die Wurzeln zur quadratischen Gleichung leicht enthalten.

Tatsächlich ist das Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung in der Regel die häufigste Art, eine quadratische Funktion zu berücksichtigen.Die andere Methode besteht darin, die rationale Nullmethode zu verwenden.

Wie führt man eine quadratische faktorisierung durch?

Es gibt mindestens zwei systematische Ansätze zur Berücksichtigung quadratischer Gleichungen.Eine der häufigsten Möglichkeiten ist die Methode, die Wurzeln der quadratischen Gleichung zuerst zu finden:

• Schritt 1: Identifizieren Sie die angegebene quadratische Funktion und vereinfachen Sie sie bei Bedarf vollständig
• Schritt 2: Stellen Sie sicher, dass die Funktion in Form F (x) = AX² + BX + C
• Schritt 3: Verwenden Sie die quadratische Formel: << xyz >> um die Wurzeln zu finden << xyz >> und << xyz >>
• Schritt 4: Die Faktorisierung verwendet die quadratische Formel: f (x) = ax² + bx + c = a (x - x₁) (x -x₂)
• Schritt 5: Die obige Methode funktioniert, ob die Wurzeln real sind oder nicht

Mit anderen Worten, die Wurzeln der quadratischen Gleichungen erscheinen genau dort in monomialen Begriffen.

Wie führt man quadratische faktorisierung mit dem rationalen null?

Die rationale Null ist ein Satz, der es uns ermöglicht, eine Liste potenzieller rationaler Kandidaten zu finden, die Wurzeln der quadratischen Gleichung sein könnten, und daher könnten sie verwendet werden, um die Gleichung zu faktorisieren.

Was sind die schritte, die der rationale nullsatz?

• Schritt 1: Identifizieren Sie die angegebene quadratische Funktion und vereinfachen Sie sie bei Bedarf vollständig
• Schritt 2: Stellen Sie sicher, dass die Funktion in Form F (x) = AX² + BX + C
• Schritt 3: Finden Sie die Ganzzahl (positiv und negativ) Divisoren von C und A.Nehmen Sie dann jeden einzelnen Teil der C und teilen Sie ihn durch jeden einzelnen Teiler von a.Dies erstellt Ihre Liste rationaler Kandidaten
• Schritt 4: Gehen Sie jedes der Elemente in der obigen Liste durch und überprüfen Sie, ob sie Wurzeln der angegebenen quadratischen Gleichung sind oder nicht

Diese Methode funktioniert in den meisten Fällen, jedoch nur dann, wenn die entsprechend Quadratische Gleisung hat rationale Wurzeln.

Quadratisch durch factoring lösen

Wie wir oben gesehen haben, hängt die Lösung von Quadratik durch Factoring eng mit der Faktorierung des quadratischen und in der Tat ein äquivalenter Prozess.

Wenn wir es geschafft haben, eine quadratische Funktion zu faktorisieren, müssen wir uns einfach die monomialen Begriffe ansehen und die Wurzeln sofort erhalten..

Und umgekehrt, wenn wir die Wurzeln gefunden haben, wissen wir, dass die Faktorisierung einfach a (x - x₁) (x -x₂) ist.

Beispiel: faktorisierungsmethode beispiel

Faktorisieren Sie: \(f(x) = x^2 - 3x - 5\)

Lösung:

Wir erhalten den folgenden quadratischen Ausdruck: \(\displaystyle x^2-3x-5\).

In diesem Fall haben wir, dass die Gleichung, die wir versuchen müssen, um zu fördern, \(\displaystyle x^2-3x-5 = 0\) ist, was impliziert, dass entsprechende Koeffizienten sind:

\[a = 1\] \[b = -3\] \[c = -5\]

Jetzt müssen wir die Ganzzahl -Zahlen finden, die \(a\) und \(c\) teilen, mit denen unsere Kandidaten zu Faktoren konstruiert werden.

Die Trenner von \(a = 1\) sind: \(\pm 1\).

Die Trenner von \(c = -5\) sind: \(\pm 1,\pm 5\).

Daher finden wir durch jeden Teiler von \(a = 1\) die folgende Liste von Kandidaten als Faktoren:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 5}{ 1}\]

Jetzt müssen alle Kandidaten getestet werden, um festzustellen, ob sie eine Lösung sind.Das Folgende erfolgt aus dem Testen der einzelnen Kandidaten:

\[\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 1 \left(-1\right)^2-3 \left(-1\right)-5 & = & \displaystyle -1 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1 \left(1\right)^2-3 \left(1\right)-5 & = & \displaystyle -7 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -5 &:&    & \displaystyle 1 \left(-5\right)^2-3 \left(-5\right)-5 & = & \displaystyle 35 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 5 &:&    & \displaystyle 1 \left(5\right)^2-3 \left(5\right)-5 & = & \displaystyle 5 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Keiner der Kandidaten ist also eine Wurzel, und daher erlaubt uns diese Methode nicht, die Faktoren zu finden.

Verwenden der quadratischen formel

Da wir die Wurzeln nicht mit den potenziellen rationalen Kandidaten finden konnten, verwenden wir nur die quadratische Formel.Das Folgende wird erhalten:

Für eine quadratische Gleichung der Form \(a x^2 + bx + c = 0\) werden die Wurzeln unter Verwendung der folgenden Formel berechnet:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

In diesem Fall haben wir, dass die Gleichung, die wir lösen müssen, \(\displaystyle x^2-3x-5 = 0\) ist, was impliziert, dass entsprechende Koeffizienten sind:

\[a = 1\] \[b = -3\] \[c = -5\] \[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( -3\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(-5\right) = 29\]

Da wir in diesem Fall die Diskriminanz erhalten, ist \(\Delta = \displaystyle 29 > 0\), was positiv ist, wir wissen, dass die Gleichung zwei verschiedene reale Wurzeln hat.

Stecken Sie diese Werte nun in die Formel für die Wurzeln, die wir erhalten:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{3 \pm \sqrt{\left(-3\right)^2-4\left(1\right)\left(-5\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}\]

Also finden wir das:

\[ x_1 = -\frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2} \] \[x_2 = \frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2}\]

Daher hat die gegebene Gleichung \(\displaystyle x^2-3x-5=0\) zwei verschiedene reale Wurzeln, nämlich \(x_1 = \displaystyle -\frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2}\) und \(x_2 = \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2}\).

Angesichts der Tatsache, dass es zwei reale Wurzeln gibt, kann die angegebene quadratische Funktion als faktorisiert werden

\[ \displaystyle x^2-3x-5 = \displaystyle \left(x+\frac{1}{2}\sqrt{29}-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{29}-\frac{3}{2}\right)\]

Beispiel: quadratische ausdrücke berücksichtigen

Berechnen Sie die Faktorisierung von: \( 3x^2 - 2x + 15\).Ist die Faktorisierung real?

Lösung:

Wir erhalten den folgenden quadratischen Ausdruck: \(\displaystyle 3x^2-2x+15\).

In diesem Fall haben wir, dass die Gleichung, die wir versuchen müssen, um zu fördern, \(\displaystyle 3x^2-2x+15 = 0\) ist, was impliziert, dass entsprechende Koeffizienten sind:

\[a = 3\] \[b = -2\] \[c = 15\]

Jetzt müssen wir die Ganzzahl -Zahlen finden, die \(a\) und \(c\) teilen, mit denen unsere Kandidaten zu Faktoren konstruiert werden.

Die Trenner von \(a = 3\) sind: \(\pm 1,\pm 3\).

Die Trenner von \(c = 15\) sind: \(\pm 1,\pm 3,\pm 5,\pm 15\).

Daher finden wir durch jeden Teiler von \(a = 3\) die folgende Liste von Kandidaten als Faktoren:

\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 3}{ 1},\pm \frac{ 3}{ 3},\pm \frac{ 5}{ 1},\pm \frac{ 5}{ 3},\pm \frac{ 15}{ 1},\pm \frac{ 15}{ 3}\]

Jetzt müssen alle Kandidaten getestet werden, um festzustellen, ob sie eine Lösung sind.Das Folgende erfolgt aus dem Testen der einzelnen Kandidaten:

\[\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 3 \left(-1\right)^2-2 \left(-1\right)+15 & = & \displaystyle 20 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 3 \left(1\right)^2-2 \left(1\right)+15 & = & \displaystyle 16 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 3 \left(-\frac{1}{3}\right)^2-2 \left(-\frac{1}{3}\right)+15 & = & \displaystyle 16 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 3 \left(\frac{1}{3}\right)^2-2 \left(\frac{1}{3}\right)+15 & = & \displaystyle \frac{44}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -3 &:&    & \displaystyle 3 \left(-3\right)^2-2 \left(-3\right)+15 & = & \displaystyle 48 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 3 &:&    & \displaystyle 3 \left(3\right)^2-2 \left(3\right)+15 & = & \displaystyle 36 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -5 &:&    & \displaystyle 3 \left(-5\right)^2-2 \left(-5\right)+15 & = & \displaystyle 100 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 5 &:&    & \displaystyle 3 \left(5\right)^2-2 \left(5\right)+15 & = & \displaystyle 80 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{5}{3} &:&    & \displaystyle 3 \left(-\frac{5}{3}\right)^2-2 \left(-\frac{5}{3}\right)+15 & = & \displaystyle \frac{80}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{5}{3} &:&    & \displaystyle 3 \left(\frac{5}{3}\right)^2-2 \left(\frac{5}{3}\right)+15 & = & \displaystyle 20 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -15 &:&    & \displaystyle 3 \left(-15\right)^2-2 \left(-15\right)+15 & = & \displaystyle 720 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 15 &:&    & \displaystyle 3 \left(15\right)^2-2 \left(15\right)+15 & = & \displaystyle 660 \ne 0 \\\\ \end{array}\]

Keiner der Kandidaten ist also eine Wurzel, und daher erlaubt uns diese Methode nicht, die Faktoren zu finden.

Verwenden der quadratischen formel

Da wir die Wurzeln nicht mit den potenziellen rationalen Kandidaten finden konnten, verwenden wir nur die quadratische Formel.Das Folgende wird erhalten:

Für eine quadratische Gleichung der Form \(a x^2 + bx + c = 0\) werden die Wurzeln unter Verwendung der folgenden Formel berechnet:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

In diesem Fall haben wir, dass die Gleichung, die wir lösen müssen, \(\displaystyle 3x^2-2x+15 = 0\) ist, was impliziert, dass entsprechende Koeffizienten sind:

\[a = 3\] \[b = -2\] \[c = 15\] \[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( -2\right)^2 - 4 \cdot \left(3\right)\cdot \left(15\right) = -176\]

Da wir in diesem Fall die Diskriminanz erhalten, ist \(\Delta = \displaystyle -176 < 0\), was negativ ist, wir wissen, dass die gegebene Gleichung zwei verschiedene konjugierte Komplexwurzeln hat.

Stecken Sie diese Werte nun in die Formel für die Wurzeln, die wir erhalten:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{\left(-2\right)^2-4\left(3\right)\left(15\right)}}{2\cdot 3} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{-176}}{6}\]

Also finden wir das:

\[\displaystyle x_1 = \frac{2 - i \sqrt{176}}{6} = \frac{1}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{11}\] \[\displaystyle x_2 = \frac{2 + i \sqrt{176}}{6} = \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{11}\]

Daher hat die gegebene Gleichung \(\displaystyle 3x^2-2x+15=0\) zwei verschiedene konjugierte komplexe Wurzeln, die \(x_1 = \displaystyle \frac{1}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{11}\) und \(x_2 = \displaystyle \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{11}\) sind.

Angesichts der Tatsache, dass es zwei komplexe Wurzeln gibt, hat die angegebene quadratische Funktion die folgende komplexe Faktorisierung:

\[ \displaystyle 3x^2-2x+15 = \displaystyle 3 \left(x-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{11}\right)\left(x-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{11}\right)\]

Beispiel: so lösen sie quadratische gleichungen

Lösen Sie die folgende quadratische Gleichung durch Faktorisierung: \( x^2 +3x +\frac{9}{4} = 0 \).

Lösung:

Wir erhalten den folgenden quadratischen Ausdruck: \(\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4}\).

In diesem Fall haben wir, dass die Gleichung, die wir versuchen müssen, um zu fördern, \(\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4} = 0\) ist, was impliziert, dass entsprechende Koeffizienten sind:

\[a = 1\] \[b = 3\] \[c = \frac{9}{4}\]

Jetzt müssen wir die Ganzzahl -Zahlen finden, die \(a\) und \(c\) teilen, mit denen unsere Kandidaten zu Faktoren konstruiert werden.

Die Trenner von \(a = 1\) sind: \(\pm 1\).

Der Koeffizient \(c = \frac{9}{4}\) hat keine ganzzahligen Teiler.

Daher können wir diese Methode nicht verwenden, um Faktoren zu finden.

Verwenden der quadratischen formel

Da wir die Wurzeln nicht mit den potenziellen rationalen Kandidaten finden konnten, verwenden wir nur die quadratische Formel.Das Folgende wird erhalten:

Für eine quadratische Gleichung der Form \(a x^2 + bx + c = 0\) werden die Wurzeln unter Verwendung der folgenden Formel berechnet:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

In diesem Fall haben wir, dass die Gleichung, die wir lösen müssen, \(\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4} = 0\) ist, was impliziert, dass entsprechende Koeffizienten sind:

\[a = 1\] \[b = 3\] \[c = \frac{9}{4}\] \[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( 3\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(\frac{9}{4}\right) = 0\]

Da wir in diesem Fall die Diskriminanz erhalten, ist \(\Delta = \displaystyle 0 = 0\), was Null ist, wir wissen, dass die Gleichung nur eine echte Wurzel hat.

Stecken Sie diese Werte nun in die Formel für die Wurzeln, die wir erhalten:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{-3 \pm \sqrt{\left(3\right)^2-4\left(1\right)\left(\frac{9}{4}\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{-3 \pm \sqrt{0}}{2}\]

Also finden wir das:

\[x = -\frac{3}{2}\]

Daher hat die gegebene Gleichung \(\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4}=0\) nur eine echte Wurzel, nämlich \(x = \displaystyle -\frac{3}{2}\).

Da es daher nur eine reale Wurzel gibt, kann die quadratische Funktion als quadratische Funktion berücksichtigt werden

\[ \displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4} = \displaystyle \left(x+\frac{3}{2}\right)^2\]

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