Rechner für rationale gleichungen
Anweisungen: Verwenden Sie diesen Rechner für rationale Gleichungen, um die Lösung einer beliebigen rationalen Gleichung zu berechnen, wobei alle Schritte angezeigt werden. Bitte geben Sie die Gleichung, die Sie lösen möchten, in das unten stehende Feld ein.
Lösen rationaler gleichungen
Mit diesem Rechner mit Schritten können Sie auf einfache Weise rationale Gleichungen lösen. Das funktioniert so, dass Sie einfach eine rationale Gleichung in das Feld oben eingeben müssen. Diese Gleichung kann so einfach sein wie "x^(1/2) = x^(1/4)" oder komplizierter als das, wenn Sie es brauchen.
Wenn Sie mit dem Tippen oder Einfügen der gewünschten Gleichung fertig sind, können Sie auf die Schaltfläche "Lösen" klicken, die Folgendes bewirkt die Gleichung lösen und wird alle Schritte des Weges aufzeigen.
Rationale Gleichungen, wie auch andere Arten von nichtlinearen Gleichungen, sind im Allgemeinen schwer zu lösen, wenn man sie überhaupt lösen kann. Normalerweise sind nur bestimmte Rationale Gleichungen mit einigen Standardtricks, wie der Verwendung von Substitutionen, lassen sich Aufgaben mit bestimmten Strukturen explizit lösen.
Was ist eine rationale gleichung?
Eine rationale Gleichung ist eine Art von Gleichung, die in der Algebra vorkommt und bei der an einer bestimmten Stelle der Gleichung ein Quotient aus zwei Polynomen gebildet wird. Zum Beispiel
\[\displaystyle \frac{x}{x+1} + 4 = 1\]ist eine rationale Gleichung, wegen des Terms \(\frac{x}{x+1} \). Technisch gesehen sind alle Polynomgleichungen auch rationale Gleichungen, denn ein Polynom kann immer als sich selbst dividiert durch 1 betrachtet werden, und 1 ist ein Polynom der Ordnung 0 (eine Konstante).
Das oben ist eine schicke Art, dies auszudrücken \(P(x) = \frac{P(x)}{1}\).
Rationale gleichung formel
Es gibt keine spezielle Formel für eine rationale Gleichung, aber Sie sollten in der Lage sein, sie zu erkennen, wenn der Quotient zweier Nenner in einer Gleichung vorkommt. In Bezug auf eine Formel versuchen Sie, etwas zu identifizieren wie:
\[\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)} \]irgendwo in der Gleichung, um sie als rationale Gleichung zu klassifizieren.
Wie man rationale gleichungen löst
- Schritt 1: Vergewissern Sie sich zunächst, dass Sie es tatsächlich mit einer rationalen Gleichung zu tun haben. Eine andere Art von Gleichung erfordert sehr wahrscheinlich einen anderen Ansatz
- Schritt 2: Untersuche die Struktur und versuche herauszufinden, ob eine Substitution die Gleichung schnell in eine Polynomgleichung verwandelt
- Schritt 3: Wenn eine schnelle Substitution nicht möglich ist, müssen Sie den langen Weg gehen: Finden Sie gemeinsame Nenner auf beiden Seiten der Gleichung, und multiplizieren Sie diese Nenner miteinander. Dies führt direkt zu einer Polynomgleichung
Wenn Sie zum Beispiel diese rationale Gleichung \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 2\) lösen müssen, könnten Sie den längeren Weg gehen, um den gemeinsamen Nenner zu finden, der in diesem Fall \(x^2\) wäre, und Sie würden bei einer Polynomgleichung landen.
Man könnte aber auch die Substitution \(u = \frac{1}{x}\) vornehmen, dann wird die Gleichung zur Hilfsgleichung \(u + u^2 = 2\), die man sofort mit der Quadratische Gleichungsformel .
Beziehung zu rationalen ausdrücken
Rationale Ausdrücke und die vereinfachung des rationalen Ausdrucks ist eine entscheidende Aufgabe bei der Lösung von Gleichungen mit rationalen Ausdrücken.
Bevor Sie sich jedoch blindlings auf die Vereinfachung und Anwendung der Gleichung stürzen, sollten Sie prüfen, ob es nicht eine Substitution gibt, mit der sich die Dinge auf eine sehr einfache Hilfsgleichung reduzieren lassen.
So verwenden sie diesen rechner für rationale gleichungen mit schritten
Der Vorteil unseres Taschenrechners ist, dass er die Berechnung durchführt und Ihnen die einzelnen Schritte anzeigt, was sicherlich sehr nützlich sein kann. Die Hauptsache ist jedoch, dass nicht alle rationalen Gleichungen eine Lösung haben, die wir mit elementaren Methoden finden können.
Lösen von Gleichungen erfordert manchmal ein wenig Scharfsinn, aber mit unserem Rechner können Sie sich das Rätselraten sparen.
Beispiel: eine einfache rationale gleichung
Lösen Sie die folgende Gleichung: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 2\)
Lösung: Wir erhalten die folgende Gleichung
\[\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=2\]Wir verwenden die Substitution: \(u = \frac{1}{x}\), so dass die Gleichung wird:
\[u + u^2 = 2\]Diese quadratische Gleichung kann als \(u^2 + u - 2 = (u-1)(u+2) = 0\) ausgedrückt werden
was direkt zu den Lösungen \(u = 1, u = -2\) führt. Da wir aber wissen, dass \(u = \frac{1}{x}\), finden wir die folgende Lösung der ursprünglichen Gleichung:
\[x_1 = -\frac{1}{2} \] \[x_2 = 1 \]Daher führt die Lösung von \(x\) für die gegebene Gleichung zu den Lösungen \(x=-\frac{1}{2},\,\,x=1\).
Grafisch
Es folgt die grafische Darstellung der erhaltenen Lösungen:
Mehr gleichungsrechner
Die Meisten Gleichungs-Rechner werden bestimmte Strukturen ausnutzen, um zu versuchen, eine genaue Lösung zu finden, aber die Bemühungen werden nicht immer erfolgreich sein.
Aber letztendlich kann man generell nicht viel tun. Das einzige, was wir tun können, ist Lösung lineare Gleichungen und Polynomgleichungen lösen (bis zu einem gewissen Grad, nur quadratische Gleisungen sind wirklich einfach zu lösen).
Jede Strategie zum Lösen einer Gleichung hat also damit zu tun, dass man sie irgendwie umformt, indem man eine algebraische Reduktion in die wenigen Arten von Gleichungen, die wir tatsächlich lösen können. Und meistens können wir nur ein paar glückliche Substitutionen versuchen, wenn wir Glück haben.
