En savoir plus sur les dérivés trigonométriques
Utilisez cette calculatrice pour trouver des dérivées trigonométriques, que nous supposons dans ce cas être n'importe quelle fonction différentiable valide qui implique une ou plusieurs fonctions trigonométriques élémentaires.
Un exemple de fonction valide pour cette calculatrice est f(x) = sin(x)/x, ou f(x) = x*sin(x^3), juste pour donner un exemple.
Ensuite, lorsque vous avez déjà tapé la fonction correspondante, vous pouvez ensuite cliquer sur le bouton "Calculer", ainsi pour obtenir toutes les étapes du calcul de la dérivée qui vous sont présentées.
Les fonctions trigonométriques jouent un rôle crucial dans le calcul, ainsi que dans
calcul des dérivées
en général. En fin de compte, les fonctions plus complexes peuvent voir leurs dérivées réduites au calcul de la dérivée pour des fonctions trigonométriques plus simples.
Dérivés trigonométriques de base
L'idée d'utiliser des règles dérivées est de décomposer une fonction complexe et de la différencier en utilisant les dérivées de fonctions connues. Plus précisément, des fonctions trigonométriques simples comme le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente joueront un rôle important à cet égard.
Quelles sont les dérivées trigonométriques de base ?
-
Trig Dérivée 1 :
dxdsin(x)=cos(x)
-
Trig Dérivée 2 :
dxdcos(x)=−sin(x)
-
Trig Dérivée 3 :
dxdtan(x)=sec2(x)
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Trig Dérivée 4 :
dxdcot(x)=−csc2(x)
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Dérivée Trigonométrique 5 :
dxdsec(x)=sec(x)tan(x)
-
Dérivée Trigonométrique 6 :
dxdsec(x)=−csc(x)cot(x)
Ce sont les dérivés de base que vous devez connaître très, et éventuellement mémoriser afin d'utiliser
Règles relatives aux produits dérivés
pour calculer des dérivées plus compliquées
Les dérivées trigonométriques sont-elles en degrés ?
Non, les dérivées des fonctions trigonométriques sont dans
radians
, de sorte que les dérivées trigonométriques trouvées reflètent le fait que l'argument x est mesuré en radians.
Ainsi, par exemple, supposons que nous voulions calculer la dérivée de sin dans
degrés
, nous définissons donc f(y)=sin(y), où y est mesuré en degrés.
Maintenant, laissez x=180πy être l'angle équivalent en radians et en résolvant également pour y nous trouvons que y=π180x, donc en utilisant la règle de chaîne :
dydf(y)=dydf(y(x))dxdy=π180cos(y)
Donc, sur cette base, la dérivée du sinus en degrés est en fait un cosinus en degrés, mais multiplié par un facteur π180.
Comment trouve-t-on les dérivées en trigonométrie ?
Les dérivés trigonométriques sont trouvés par définition, en utilisant des identités trigonométriques de base. Par exemple, en utilisant le
formule du sinus de la somme
on peut dériver la dérivée de sin(x), en utilisant la définition de limite :
dxdsin(x)=h→0limhsin(x+h)−sin(x)
=h→0limhsin(x)cos(h)+cos(x)sin(h)−sin(x)
=h→0limhsin(x)(cos(h)−1)+cos(x)sin(h)
=h→0lim(hsin(x)(cos(h)−1)+hcos(x)sin(h))
=h→0lim(hsin(x)(cos(h)−1))+h→0lim(hcos(x)sin(h))
=sin(x)h→0lim(h(cos(h)−1))+cos(x)h→0lim(hcos(x)sin(h))
=sin(x)⋅0+cos(x)⋅1=cos(x)
Conseils et astuces
Le principal point à retenir pour vous est de toujours vous rappeler ce que
6 dérivés trigonométriques sont
, et les connaître par cœur, car vous les utiliserez en permanence, ainsi que les bases
règles de différenciation
.
De même, vous pouvez utiliser les identités trigonométriques et la définition de la fonction inverse pour trouver les dérivés trigonométriques inverses les plus courants.
Exemple : calcul de la dérivée trig
Considérez la fonction suivante : f(x)=sin2(x)+x1. Trouver sa dérivée
Solution:
Les dérivés trigonométriques impliquent une fonction trigonométrique qui doit être différenciée. Considérez la fonction f(x)=sin(x)2+x1, qui contient une fonction sinusoïdale, elle est donc qualifiée de dérivée trigonométrique.
dxd(sin(x)2+x1)
By using the linearity property, we know
dxd(sin(x)2+x1)=dxd(sin(x)2)+dxd(x1), so plugging that in:
dxd(sin(x)2)+dxd(x1)
Using the Power Rule for a polynomial term with negative exponent:
dxd(x1)=−x21 and in this case we can use the Power Rule for a constant exponent:
dxd(sin(x)2)=2sin(x)⋅dxd(sin(x))
2sin(x)⋅dxd(sin(x))−x21
Directly differentiating:
dxd(sin(x))=cos(x)
2sin(x)⋅cos(x)−x21
2sin(x)cos(x)+x2−1
Directly expanding and simplifying
x22x2cos(x)sin(x)−1
Résultats
: Pour cet exemple, on trouve que la dérivée est :
f′(x)=x22x2cos(x)sin(x)−1
Il est très utile de représenter la fonction et sa dérivée sur un graphique. Voir ci-dessous:
Exemple de dérivée d'une fonction trigonométrique
Considérez la fonction trigonométrique suivante : f(x)=sin(x)+xcos(x), trouvez sa dérivée.
Solution:
Maintenant, nous devons travailler avec la dérivée de la fonction trigonométrique suivante f(x)=sin(x)+xcos(x).
dxd(xcos(x)+sin(x))
By linearity, we know
dxd(xcos(x)+sin(x))=dxd(xcos(x))+dxd(sin(x)), so plugging that in:
dxd(xcos(x))+dxd(sin(x))
Directly differentiating:
dxd(sin(x))=cos(x) and we can use the Product Rule:
dxd(xcos(x))=dxd(x)⋅cos(x)+x⋅dxd(cos(x))
dxd(x)⋅cos(x)+x⋅dxd(cos(x))+cos(x)
By applying direct differentiation:
dxd(cos(x))=−sin(x)
dxd(x)⋅cos(x)+x(−sin(x))+cos(x)
x⋅(−sin(x))+cos(x)+cos(x)
We group together the terms that are multiplying
cos(x) and then simplifying
1+1=2
x⋅(−sin(x))+2cos(x)
By reorganizing the terms:
−xsin(x)+2cos(x)
Conclusion Finale
: Nous concluons que la dérivée est donnée par :
f′(x)=−xsin(x)+2cos(x)
Le tracé suivant est obtenu :
Exemple : dérivées trigonométriques et différenciation implicite
Trouvez dxdy pour sin(x)+cos(y)=1.
Solution:
Nous devons utiliser
différenciation implicite
, nous différencions donc les deux côtés et utilisons le
Règle De La Chaîne
:
dxdy(sin(x)+cos(y))=dxdy(1)
⇒cos(x)−sin(y)y′=0
⇒sin(y)y′=cos(x)
⇒y′=sin(y)cos(x)
ce qui conclut le calcul.
Autres calculatrices dérivées utiles
trouver la dérivée
des fonctions simples et élémentaires est la pierre angulaire du processus de recherche des dérivées de fonctions plus compliquées, via l'utilisation de la méthode bien connue
règles de différenciation
.
Dans ce contexte, de base
fonctions trigonométriques
peuvent être considérées comme des fonctions élémentaires dont la dérivée peut être calculée à l'aide de bornes, via sa définition même. Parmi les fonctions élémentaires les plus utiles, nous avons
polynômes
et les fonctions rationnelles.