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Calculatrice de dérivée partielle

Instructions: Utilisez cette calculatrice de dérivée partielle pour trouver la dérivée d'une fonction de plus d'une variable que vous fournissez par rapport à une variable spécifique, en montrant toutes les étapes du processus. Veuillez saisir la fonction dont vous souhaitez calculer la dérivée dans le champ ci-dessous.

À propos de la dérivée partielle

Cette calculatrice vous permettra de calculer la dérivée partielle de toute fonction différentiable valide que vous fournissez, par rapport à une variable donnée.

La fonction que vous fournissez doit être accompagnée d'une définition de fonction, comme f(x, y) = x^3 + y^2. Si vous écrivez quelque chose comme xy+x^2, sans la définition complète, il sera supposé qu'une fonction de deux variables x et y est fournie.

Une fois que vous avez fourni une fonction différentiable valide et une variable valide, l'étape suivante consiste à cliquer sur le bouton "Calculer" pour que soient affichées toutes les étapes du processus, avec tous les résultats de l'opération règles dérivées utilisées , explicitement indiqué.

Produits Dérivés les dérivées partielles, et leur extension naturelle aux dérivées partielles à variables multiples, font partie des sujets d'étude les plus importants en mathématiques. En effet, elles traitent du taux de variation et du flux de nombreux modèles qui apparaissent fréquemment dans les applications.

Qu'est-ce qu'une dérivée partielle ?

En termes simples, une dérivée partielle consiste à effectuer la même chose qu'une différenciation régulière par rapport à une variable, en supposant que les autres variables sont constantes.

Si nous devions définir formellement une dérivée partielle, facilitons les choses et faisons-le pour une fonction de deux variables, $x$ et $y$. La dérivée partielle par rapport à $x$ au point $(x_0, y_0)$ est

\[\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h} \]

Ainsi, comme nous pouvons le voir, il s'agit essentiellement de la même définition de la dérivée régulière, sauf qu'il y a une autre variable, mais elle reste constante dans le processus de calcul.

De même, la dérivée partielle par rapport à $y$ au point $(x_0, y_0)$ est

\[\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + h) - f(x_0, y_0)}{h} \]

Le vecteur de toutes les dérivées partielles est appelé le gradient. Si vous avez besoin d'obtenir réellement toutes les dérivées partielles, vous pouvez utiliser ceci calculateur de gradient .

Étapes du calcul des dérivées partielles

Étape 1: Identifiez la fonction dont vous voulez calculer la dérivée partielle. Veillez à la simplifier d'abord
Étape 2: Observez que toutes les fonctions ne sont pas différentiables, vous devez donc vous assurer que la fonction concernée est réellement différentiable
Étape 3: Utilisez toutes les règles de dérivation appropriées à la fonction, et différencier la fonction comme vous le feriez normalement par rapport à la variable différentiable, et considérez toute autre variable comme constante

De cette façon, lorsque nous faisons la dérivée partielle par rapport à x pour quelque chose comme 'x^2+y^2', dans le processus de différenciation partielle par rapport à x, la variable y est traitée comme une constante. Nous obtenons donc

\[\frac{\partial (x^2+y^2)}{\partial x} = \frac{\partial (x^2)}{\partial x} + \frac{\partial (y^2)}{\partial x} = 2x \]

et dans ce cas $\frac{\partial (y^2)}{\partial x} = 0$ car on suppose que y est constant par rapport à x.

Pourquoi utiliser une calculatrice de dérivée partielle

Le calcul des dérivées partielles peut être un exercice relativement simple, mais cela ne signifie pas qu'il soit nécessairement facile. Il est important d'être très systématique au moment de l'application des Règles relatives aux produits dérivés .

L'utilisation d'une calculatrice de dérivée partielle avec étapes peut vous aider à vérifier au moins votre résultat et à voir exactement quelles sont les étapes correctes et quelles règles de dérivation doivent être utilisées.

En particulier dans les problèmes complexes, avec des expressions algébriques compliquées, une calculatrice peut s'avérer très utile.

Quelles sont les règles de dérivation pour les dérivées partielles ?

Elles sont exactement les mêmes que celles des dérivées ordinaires. Pour les dérivées partielles, nous avons la linéarité, la Règle Du Produit , la Règle De La Chaîne et le Quotient Rule . En général, vous finirez par utiliser une combinaison de toutes ces règles, pour les exemples de dérivés les plus complexes.

Qu'est-ce que la différenciation implicite ?

Il existe une situation où il y a plus d'une variable impliquée dans laquelle nous ne supposons pas par exemple que y change avec x, comme nous le faisons dans les dérivées partielles. Dans certains cas, lorsqu'il existe une équation reliant les variables, nous supposons qu'il existe une relation implicite entre y et x, et nous écrivons y = y(x).

C'est le contexte de différenciation implicite qui est une sorte d'hybride entre la différenciation partielle et la différenciation régulière.

Et il y a vraiment une chose que l'on ne peut pas exagérer : Les dérivées partielles sont véritablement l'un des principaux outils utilisés en ingénierie, en physique et en économie.

Exemple : calcul de la dérivée partielle

Calculez la dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial y}$ pour : $f(x,y) = \sin(xy)$

Solution:

ce qui conclut le calcul.

Exemple : différenciation partielle

Calculez la dérivée partielle par rapport à $x$ de : $f(x, y) = x^2 + y^2$

Solution: La fonction qui est fournie est : $\displaystyle f(x,y)=x^2+y^2$, pour laquelle nous devons calculer sa dérivée partielle par rapport à la variable $x$.

La fonction ne nécessite pas de simplification supplémentaire, nous pouvons donc procéder directement au calcul de sa dérivée partielle :

$ \displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+y^2\right)$

By linearity, we know $\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2+y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)$, so plugging that in:

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)$

The derivative of a constant with respect to $x$ is 0, so then:

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)$

Using the Power Rule for polynomial terms: $\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2 \right) = 2x$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle 2x$

Exemple : un autre exemple de dérivée partielle

Considérons la fonction $f(x, y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$, trouvons ses dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$.

Solution: Dans ce cas, la fonction est : $\displaystyle f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$, pour laquelle nous devons calculer ses dérivées partielles .

La fonction est déjà simplifiée, nous pouvons donc procéder directement :

$ \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{xy}{x^2+y^2}\right)$

Directly applying Quotient Rule: $\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{xy}{x^2+y^2} \right) = \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}$

The linearity property indicates that $\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2+y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)$, so plugging that in:

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}$

But we know that the derivative of a constant with respect to $x$ is equal to 0, so then we get that:

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}$

Applying the Power Rule for polynomial terms: $\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2 \right) = 2x$ and directly we get: $\frac{\partial }{\partial x}\left( xy \right) = y$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot y-xy\left(2x\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}$

and consequently

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{y\left(x^2+y^2\right)-xy\cdot 2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}$

We can put the integers together and then we can group the terms with $x$ in the term $\left(-1\right)xy\cdot 2x$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{y\left(x^2+y^2\right)+2\cdot \left(-1\right)x^2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}$

Simplifying: $\displaystyle 2\times(-1) = -2$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{y\left(x^2+y^2\right)-2x^2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}$

Observe the following: $y \cdot (x^2+y^2) = yx^2+yy^2 = x^2y+y^3$, by using the distributive property on each term of the expression on the left, with respect to the terms on the right

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{x^2y+y^3-2x^2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}$

Hence, we find

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{-\left(x+y\right)\left(x-y\right)y}{\left(x^2+y^2\right)^2}$

Maintenant, d'un autre côté :

$ \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{xy}{x^2+y^2}\right)$

Using the Quotient Rule: $\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{xy}{x^2+y^2} \right) = \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}$

By linearity, we know $\frac{\partial }{\partial y}\left( x^2+y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)$, so plugging that in:

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}$

Since the derivative of a constant with respect to $y$ is 0, we find that:

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}$

Using the Power Rule for polynomial terms: $\frac{\partial }{\partial y}\left( y^2 \right) = 2y$ and directly we get: $\frac{\partial }{\partial y}\left( xy \right) = x$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot x-xy\left(2y\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}$

and then we find

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{x\left(x^2+y^2\right)-xy\cdot 2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}$

Putting together the numerical values and grouping the terms with $y$ in the term $\left(-1\right)xy\cdot 2y$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{x\left(x^2+y^2\right)+2\cdot \left(-1\right)y^2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}$

Reducing integers that can be multiplied: $\displaystyle 2\times(-1) = -2$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{x\left(x^2+y^2\right)-2y^2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}$

We find that $(x) \cdot (x^2+y^2) = xx^2+xy^2 = x^3+xy^2$, due to the fact that we can use the distributive property on each term of the expression on the left, with respect to the terms on the right

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{x^3+xy^2-2y^2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}$

Reorganizing/simplifying/expanding the expression

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)x}{\left(x^2+y^2\right)^2}$

Autres calculatrices de calcul

Le concept de dérivée est au centre du calcul, et l'utilisation d'une dérivation est un élément essentiel de l'équation calculatrice de dérivées peut vous aider grandement dans de nombreuses applications de Calcul, y compris l'optimisation, l'une des plus importantes.

L'idée de la dérivée s'étend naturellement au cas de la fonction avec de nombreuses variables, où un Calculatrice de dérivée partielle fera la même chose qu'une dérivée normale, mais maintenant une seule variable est supposée varier, alors que les autres variables sont considérées comme fixes .

Souvent, vous êtes savoir que $y$ dépend de $x$, mais pas explicitement mais plutôt implicitement, par le biais d'une équation de liaison, dans ce cas vous pouvez utiliser différenciation implicite d'utiliser les règles des dérivées pour obtenir une expression pour laquelle on peut ensuite résoudre la dérivée $\frac{d f}{d x}$ .