A propos de la calculatrice d'équations trigonométriques

Cette calculatrice vous permettra de résoudre des équations trigonométriques, en vous montrant toutes les étapes du processus. Tout ce que vous avez à faire est de fournir une équation trigonométrique valide, avec une inconnue (x). Il peut s'agir de quelque chose de simple comme "sin(x) = 1/2", ou de quelque chose de plus complexe comme "sin^2(x) = cos(x) + tan(x)".

Une fois que vous avez saisi votre équation, il vous suffit de cliquer sur "Solve" pour obtenir tous les détails du processus de recherche des solutions, si des solutions peuvent être trouvées.

Les propriétés et les règles trigonométriques permettent presque toujours de réduire la plupart des équations trigonométriques en équations plus simples. Ce type d'équation permet donc souvent de trouver des solutions, mais peut parfois s'avérer extrêmement lourd.

Qu'est-ce qu'une équation trigonométrique ?

Une équation trigonométrique, dans les termes les plus simples possibles, est une équation mathématique où l'inconnue x se trouve à l'intérieur d'une expression trigonométrique.

Par exemple, l'expression suivante est une équation trigonométrique :

\[\displaystyle \sin(x) = 1\]

Pourquoi ? Tout simplement parce que x apparaît à l'intérieur de l'expression trigonométrique sine. Ou par exemple :

\[\displaystyle \tan(x) = x\]

Ces deux équations sont des équations trigonométriques, mais la différence entre les deux est que pour la première, x apparaît UNIQUEMENT à l'intérieur du sinus, alors que dans la seconde, x apparaît à l'intérieur d'une fonction trigonométrique (tangente), mais il apparaît également à l'extérieur. Cela rend généralement la résolution de l'équation difficile (voire impossible).

Comment résoudre les équations trigonométriques

L'une des principales règles de trigonométrie que vous devez utiliser est la capacité d'exprimer toutes les fonctions trigonométriques en termes de n'importe quelle fonction trigonométrique fixe. Par exemple, nous pouvons écrire le cosinus en termes de sinus :

\[\displaystyle \cos(x) = \pm \sqrt{1 - \sin^2 x} \]

Substitutions trigonométriques

Dans ce cas, il faut utiliser les identités trigonométriques et les substitutions. Par exemple, supposons que vous souhaitiez résoudre le problème suivant :

\[\displaystyle \sin x = \cos x \]

Nous savons donc qu'il s'agit d'une équation de trigonométrie et que nous pouvons écrire le cosinus en termes de sinus, ce que nous faisons :

\[\displaystyle \sin x = \pm \sqrt{1 - \sin^2 x} \]

Et maintenant ? Eh bien, nous pouvons utiliser la substitution : \(u = \sin x\), de sorte que l'équation ci-dessus devient :

\[\displaystyle u = \pm \sqrt{1 - u} \]

qui est un équation rationnelle qui, à l'aide d'un simple manipulation algébrique signifie que nous devons résoudre une équation polynomiale afin de résoudre l'équation trigonométrique originale.

Application de la trigonométrie

Les cercles et toutes leurs symétries sont très importants dans la vie réelle, et la trigonométrie est le langage qui nous permet de quantifier les cercles et leurs relations. La résolution des équations trigonométriques est au cœur des mathématiques.

Pourquoi résoudre des équations trigonométriques ?

Les équations trigonométriques sont très utiles dans la pratique, en particulier dans le domaine de l'ingénierie. Des propriétés notables telles que la Période et fréquence ouvrent un large éventail d'applications.

Les structures circulaires jouent un rôle crucial dans tout ce qui est mécanique et que nous utilisons aujourd'hui. Les cercles sont synonymes de trigonométrie, et les équations trigonométriques en sont le centre.

Exemple : résolution d'équations trigonométriques simples

Résoudre : \(\sin(x) = \frac{1}{2}\)

Solution :

Nous devons résoudre l'équation trigonométrique suivante :

\[\sin\left(x\right)=\frac{1}{2}\]

On obtient le résultat suivant :

Par application directe des propriétés de la fonction trigonométrique inverse \( \arcsin(\cdot)\), ainsi que des propriétés de la fonction trigonométrique \( \sin\left(x\right)\), on obtient que

\[x_1=\frac{5}{6}\pi{}+2\pi{}K_1 \text{ , for } K_1 \text{ an arbitrary integer constant}\] \[ = ... \, -\frac{7}{6}\pi{}, \, \,\, \frac{5}{6}\pi{}, \,\, \, \frac{17}{6}\pi{}, \, \, \, \frac{29}{6}\pi{} \, ...\]
\[x_2=\frac{1}{6}\pi{}+2\pi{}K_2 \text{ , for } K_2 \text{ an arbitrary integer constant}\] \[ = ... \, -\frac{11}{6}\pi{}, \, \,\, \frac{1}{6}\pi{}, \,\, \, \frac{13}{6}\pi{}, \, \, \, \frac{25}{6}\pi{} \, ...\]

Par conséquent, la résolution de \(x\) pour l'équation donnée conduit aux solutions \(x=\frac{5}{6}\pi{}+2\pi{}K_1,\,\,x=\frac{1}{6}\pi{}+2\pi{}K_2\), pour \(K_1, K_2\) constantes entières arbitraires.

Plus de calculatrices d'équations

Notre Site équation trigonométrique avec étapes vous sera utile pour traiter des équations ayant une structure spécifique. Si vous n'êtes pas sûr du type d'équation auquel vous avez affaire, vous pouvez utiliser notre outil général solveur d'équation qui déterminera la structure de l'équation donnée et trouvera une approche appropriée.

La principale difficulté liée à la résolution d'équations qui ne sont pas équation linéaire ou Equation polynomiale est qu'il n'y a pas d'itinéraire précis à suivre et qu'il n'y a pas de garantie de trouver des solutions.

En général, la stratégie consiste à simplifier les expressions autant que possible, et après cela, c'est généralement le néant, où vous devez essayer tout ce qui vous semble approprié.

Naturellement, l'idée est d'essayer de réduire l'équation à une équation plus simple, en utilisant une sorte de substitution et un processus en plusieurs étapes, où vous trouvez d'abord des solutions d'une solution auxiliaire, qui vous donne des CANDIDATS à l'équation originale. Vous souhaitez résoudre une équation linéaire ou même un Equation quadratique mais peut-être que la réduction que vous obtiendrez sera un peu moins généreuse.