Équations d'algèbre

Il ne fait aucun doute que les équations sont l'un des principaux éléments auxquels il faut prêter attention en algèbre. Cette calculatrice vous permettra de résoudre une équation d'algèbre que vous fournirez, qu'elle soit linéaire ou non linéaire

Il vous suffit de taper ou de coller l'adresse suivante l'équation que vous voulez résoudre et cliquez sur le bouton "Solve" afin d'obtenir toutes les étapes de la solution présentée.

Une mise en garde s'impose d'emblée : toutes les équations d'algèbre ne seront pas faciles à résoudre, et certaines d'entre elles ne le seront pas du tout. Bien sûr, certains exemples faciles comme Équations linéaires ou équations quadratiques sont assez simples, mais c'est à peu près tout.

Tout ce qui n'entre pas dans ces catégories n'a pas de méthode standard ou directe pour être résolu. Cela ne signifie pas qu'il est IMPOSSIBLE de les résoudre, mais simplement qu'il n'existe pas de "feuille de route" à cet effet.

Qu'est-ce qu'une équation en algèbre ?

Une équation algébrique, également connue sous le nom d'équation algébrique, est un terme générique qui fait référence aux différents types d'équations mathématiques que l'on peut trouver lorsqu'on travaille avec l'algèbre.

Il peut s'agir d'équations linéaires triviales telles que

\[\displaystyle \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} = \frac{5}{6} \]

à des équations plus complexes telles que

\[\displaystyle \sin \left(\frac{1}{2} x^2 + x + 1 \right)= \frac{\sqrt{2}}{2} \]

à des équations qui ne peuvent être résolues par des méthodes élémentaires, telles que

\[\displaystyle x e^x = \sin x \]

Quelles sont les équations/formules de base de l'algèbre ?

Il y en a beaucoup, peut-être trop pour les citer :

• Étape 1 : Il existe différents types d'équations, telles que les équations linéaires, quadratiques et polynomiales
• Étape 2 : Outre les équations (qui ne sont satisfaites que par certaines valeurs de x), nous disposons de différentes identités algébriques, qui sont valables pour toutes les valeurs
• Étape 3 : Les identités de base en algèbre sont le développement binomial (a+b) ² = a ² + 2ab + b ² la différence des carrés : a ² - b ² = (a+b)(a-b), pour n'en citer que quelques-uns

La grande différence entre les équations d'algèbre et les identités est que les identités sont des expressions qui s'appliquent à toutes les valeurs que vous introduisez, alors que les équations ne s'appliquent qu'à quelques valeurs sélectionnées. En général, vous utiliserez les identités pour résoudre les équations.

Qu'est-ce qu'une équation de base en algèbre ?

Il existe de nombreux types d'équations en algèbre, dont la plus élémentaire est l'équation linéaire. Par exemple, pour une variable, l'équation équation linéaire est :

\[\displaystyle a x + b = c \]

Observez que le côté gauche correspond à \(ax + b\), qui est une fonction linéaire. Ce type de fonction a une forte interprétation géométrique, car elle est étroitement liée à une ligne géométrique, où \(a\) correspond à la ligne pente et \(b\) au Interception O .

Quelles sont les utilisations des équations d'algèbre ?

• Étape 1 : Les équations d'algèbre encapsulent la relation entre les variables. La résolution d'une équation conduit généralement à un point très singulier dans l'interaction des éléments
• Étape 2 : L'utilisation d'équations permet de quantifier les choses et de parler spécifiquement des variables
• Étape 3 : Les équations sont généralement la clé de grandes choses : points d'équilibre, points de gain maximal, points de moindre résistance, etc.

C'est pourquoi nous voulons avoir des équations. Un petit problème se pose : les équations peuvent être difficiles à résoudre. En utilisant un Résolveur d'équations avec étapes peut s'avérer crucial au moment d'aborder les équations plus difficiles que l'on trouvera inévitablement.

Quelle est l'équation la plus populaire en algèbre ?

Cela dépend de la personne qui pose la question. Pour certains, l'équation la plus populaire est la plus facile, qui est sans aucun doute l'équation linéaire. Mais si vous posez la question à un mathématicien, il vous dira autre chose.

Certains puristes vous diront que c'est la formule la plus populaire en algèbre :

\[\displaystyle e^{-i \pi} + 1 = 0 \]

parce qu'il utilise TOUS les symboles mathématiques les plus importants. Points de vue, hein ?

Exemple : equations linéaires

Résolvez l'équation linéaire suivante : \(2x + 3y = \frac{1}{6}\)

Solution : Nous devons résoudre l'équation linéaire suivante :

\[2x+3y=\frac{1}{6}\]

L'équation linéaire a deux variables, qui sont \(x\) et \(x\), et l'objectif est donc de résoudre \(x\).

En plaçant \(y\) du côté gauche et \(x\) et la constante du côté droit, nous obtenons

\[\displaystyle 3y = -2x + \frac{1}{6}\]

Maintenant, en résolvant \(y\), en divisant les deux côtés de l'équation par \(3\), on obtient ce qui suit

\[\displaystyle y=-\frac{2}{3}x+\frac{\frac{1}{6}}{3}\]

et en simplifiant on obtient finalement ce qui suit

\[\displaystyle y=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{18}\]

Par conséquent, la résolution de \(x\) pour une équation linéaire donnée conduit à \(y=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{18}\).

Exemple : equations quadratiques

Résolvez l'équation quadratique suivante : \(2x^2 + \frac{5}{4}x - \frac{1}{6} = 0\)

Solution : Nous devons résoudre l'équation polynomiale suivante :

\[2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6}=0\]

L'équation que nous devons résoudre ne comporte qu'une seule variable, \(x\), et l'objectif est donc de la résoudre.

Observez que le degré du polynôme donné est \(\displaystyle deg(p) = 2\), son coefficient directeur est \(\displaystyle a_{2} = 2\) et son coefficient constant est \(\displaystyle a_0 = -\frac{1}{6}\).

Nous devons résoudre l'équation quadratique suivante \(\displaystyle 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6}=0\).

Utilisation de la formule quadratique

Pour une équation quadratique de la forme \(a x^2 + bx + c = 0\), les racines sont calculées à l'aide de la formule suivante :

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Dans ce cas, l'équation à résoudre est \(\displaystyle 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 0\), ce qui implique que les coefficients correspondants sont :

\[a = 2\] \[b = \frac{5}{4}\] \[c = -\frac{1}{6}\]

Tout d'abord, nous allons calculer le discriminant pour évaluer la nature des racines. Le discriminant est calculé comme suit :

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( \frac{5}{4}\right)^2 - 4 \cdot \left(2\right)\cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{139}{48}\]

Puisque dans ce cas le discriminant est \(\Delta = \displaystyle \frac{139}{48} > 0\), qui est positif, nous savons que l'équation a deux racines réelles différentes.

En introduisant ces valeurs dans la formule des racines, nous obtenons :

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\left(\frac{5}{4}\right)^2-4\left(2\right)\left(-\frac{1}{6}\right)}}{2\cdot 2} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\frac{139}{48}}}{4}\]

donc, nous trouvons que :

\[ {x}_1 = -\frac{\frac{5}{4}}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=\frac{-5}{4\cdot 4}-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=-\frac{5}{16}-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16} \] \[{x}_2 = -\frac{\frac{5}{4}}{4}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=\frac{-5}{4\cdot 4}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=-\frac{5}{16}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\]

Dans ce cas, l'équation quadratique \( \displaystyle 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 0 \), a deux racines réelles, donc :

\[\displaystyle 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 2 \left(x+\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\left(x-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\]

alors le polynôme original est factorisé en \(\displaystyle p(x) = 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 2 \left(x+\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\left(x-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right) \), ce qui complète la factorisation.

Conclusion : Par conséquent, la factorisation finale que nous obtenons est :

\[\displaystyle p(x) = 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 2 \left(x+\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\left(x-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\]

Les racines trouvées en utilisant le processus de factorisation sont \(-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\) et \(\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\) .

Par conséquent, la résolution de \(x\) pour l'équation polynomiale donnée conduit aux solutions \(x = \, \)\(-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\), \(\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\), en utilisant les méthodes de factorisation.

Autres calculatrices d'équations utiles calculatrices

Les équations linéaires sont de loin les plus faciles. Vous trouverez beaucoup plus de difficultés la résolution d'équations trigonométriques ou toute équation non linéaire qui n'est pas un Equation polynomiale même si les équations polynomiales peuvent encore être très difficiles à résoudre.

Vous apprendrez que les différents types d'équations suivent des règles différentes. Vous pouvez utiliser par exemple une calculatrice d'équations exponentielles de manière à exploiter les propriétés des exposants pour résoudre des équations spécifiques.

Il en va de même si vous essayez de résoudre une équation logarithmique où des structures spécifiques de la fonction logarithmique faciliteront le processus de résolution des équations.