Calculatrice d'équations polynomiales

Ce solveur d'équations polynomiales vous aidera à résoudre les équations polynomiales que vous fournissez, comme par exemple '3x^2 - 2/3 x + 1/4 = 0' , qui est une simple équation polynomiale Equation quadratique ou des équations polynomiales d'ordre supérieur telles que "x^5 - x^2 + 1 = 0", etc.

Si vous n'ajoutez pas le signe d'égalité "=" à l'expression fournie, la calculatrice y ajoutera automatiquement un " = 0" afin de la convertir en équation...

Une fois qu'une équation polynomiale valide a été fournie, vous pouvez cliquer sur le bouton "Calculer", et le calcul des solutions de l'équation vous sera présenté étape par étape.

Une équation polynomiale est un type d'équation algébrique, et l'un des types les plus simples, exclu du champ d'application de la loi Équations linéaires . Le fait que les équations polynomiales soient simples ne signifie pas qu'elles sont FACILES à résoudre, et en fait, elles prennent parfois beaucoup de temps à être résolues, si tant est qu'elles puissent l'être.

Comment résoudre un polynôme ?

Bien que les polynômes soient des expressions simples, la résolution de équations polynomiales peut s'avérer très compliqué, en particulier pour les degré polynomial supérieur à 2.

Pour les équations quadratiques, les solutions sont simplement trouvées à l'aide d'une formule quadratique. Bien sûr, vous pouvez penser qu'il est difficile de mémoriser les formules, mais au moins il y a une formule.

Pour les équations cubiques (degré 3) et quartiques (degré 4), il existe des équations très astucieuses à utiliser, mais elles ne sont en aucun cas faciles à utiliser ou à mémoriser. Pour les équations poly de degré 5 et plus, il n'y a pas de formule.

Cela ne signifie pas que nous ne pouvons pas trouver le racines polynomiales pour ces équations, mais nous n'avons pas de formule pour cela, et une formule n'existe pas (si vous êtes curieux, de telles conclusions ont été l'une des principales percées des mathématiques modernes à la fin du 18e siècle.

Étapes pour trouver les solutions d'une équation polynomiale

Il existe un certain nombre d'étapes systématiques que vous pouvez suivre pour avoir les meilleures chances de trouver les solutions d'une équation polynomiale, mais sachez que vous pouvez finir par ne pas trouver de solutions, en particulier pour les équations de degré supérieur.

• Étape 1 : Sachez qu'en théorie, il existe \(n\) solutions à une équation polynomiale de degré \(n\). Mais ces solutions peuvent être réelles ou complexes, et au-delà du degré 4, il n'y a pas de formule pour elles
• Étape 2 : Essayez de factoriser les termes du polynôme. Placez tous les termes d'un côté de l'équation et cherchez un moyen de factoriser l'expression polynomiale . En factorisant, vous pouvez essayer de trouver des solutions pour chaque facteur, réduisant ainsi le problème à des degrés inférieurs
• Étape 3 : Essayez d'abord de trouver des solutions rationnelles ou entières à l'aide de la fonction Théorème du zéro rationnel . Pour ce faire, il faut trouver les facteurs entiers du terme constant, les diviser par les facteurs du terme de tête (celui qui va avec la puissance la plus élevée)
• Étape 4 : À l'aide de ces candidats rationnels, vous les testez un par un (il peut y en avoir plusieurs), dans l'espoir de trouver des solutions. Si par hasard vous avez trouvé \(n\) solutions à une équation de degré \(n\), alors vous terminez
• Étape 5 : Si vous avez trouvé une ou plusieurs racines rationnelles, mais pas toutes, vous construisez une multiplication des termes \(x - \alpha\), où \(\alpha\) est une racine rationnelle trouvée. Multipliez ces termes, formez un polynôme, puis DIVISEZ le polynôme de l'équation originale par ce produit composé des termes \(x - \alpha\). Pour trouver les racines restantes, vous devez trouver les racines du résultat de la division (qui aura un degré inférieur à celui du polynôme d'origine).

Cela semble difficile, et honnêtement, ça l'est. Il s'agit d'un processus lourd, qui nécessite très probablement de nombreux calculs. C'est pourquoi vous devriez utiliser un calculatrice d'équations qui vous indiquera les étapes, car vous gagnerez beaucoup de temps et vous minimiserez vos chances de faire une erreur dans le calcul.

Comment trouver l'équation d'un polynôme ?

Résoudre équations polynomiales n'est certainement pas une tâche triviale. Vous ne pourrez pas le faire en général, car il n'existe pas d'équation générale pour résoudre TOUS les polynômes. Nous savons, en vertu du théorème fondamental de l'algèbre, qu'il existe \(n\) solutions à une équation polynomiale de degré \(n\).

Comme son nom l'indique, ce résultat est un accomplissement majeur car il nous indique exactement LE NOMBRE de solutions que nous recherchons. Par exemple, si nous avons l'équation \(x^4 = x^6\), nous avons une équation de degré 6 (parce que c'est la puissance polynomiale la plus élevée que l'on puisse trouver). Par conséquent, en vertu du théorème fondamental de l'algèbre, nous SAVONS qu'il existe 6 solutions.

Cela peut s'avérer délicat car toutes les solutions ne sont pas réelles, certaines peuvent être complexes et d'autres peuvent être répétées. Si nous avons un polynôme de degré \(n\), alors nous savons qu'il y a \(n\) solutions, et une autre chose notable énoncée par ce théorème, est que la partie polynomiale peut être écrite sous la forme de

\[\displaystyle p(x) = (x - \alpha_1) (x - \alpha_2) (x - \alpha_3) \cdot\cdot\cdot (x - \alpha_n) \]

où \(\alpha_1\), ..., \(\alpha_n\) sont les solutions. Mais il peut arriver que toutes les solutions ne soient pas différentes. En fait, nous pourrions avoir quelque chose comme

\[ p = (x - \alpha)^n\]

indiquant que toutes les n solutions sont identiques.

Quelles sont les règles pour les polynômes ?

• Étape 1 : Les polynômes sont des combinaisons linéaires d'expressions de la forme \(x^k\)
• Étape 2 : Les polynômes qui nous intéressent sont ceux dont les termes sont \(x^k\), uniquement avec des entiers \(k\)
• Étape 3 : Les polynômes sont un type simple de fonctions qui peuvent être additionnées, soustraites, multipliées et divisées.

Observez que Opérations polynomiales ne sont pas fermés. Remarquez qu'en additionnant, soustrayant et multipliant des polynômes, le résultat sera toujours un polynôme. En revanche, lors de la division de polynômes, le résultat ne sera pas nécessairement un polynôme, bien que la division et le reste soient des polynômes. Vérifier la algorithme de division longue polynomiale .

Qu'est-ce qu'une équation polynomiale et comment la résoudre ?

Une équation polynomiale, en termes simples, est une équation mathématique dans laquelle les termes des côtés gauche et droit de l'équation sont des polynômes. En général, ces équations sont données avec une constante du côté droit, mais ce n'est pas toujours le cas.

Par exemple, \(x^2 + 3x = 2\) est une équation polynomiale, car les termes des deux côtés de l'équation sont des polynômes (la constante '2' est un polynôme d'ordre 0).

Mais \(x^2 + \sin(x) = 2x\) n'est PAS une équation polynomiale, car les termes du côté gauche ne sont pas des polynômes (en raison de la présence du terme \(\sin(x)\)).

Exemple : calculer les solutions d'équations polynomiales

Calculer la solution de : \(x^2 = x^4\)

Solution :

Nous devons résoudre l'équation polynomiale suivante :

\[x^2=x^4\]

L'équation que nous devons résoudre ne comporte qu'une seule variable, \(x\), et l'objectif est donc de la résoudre.

Observez que le degré du polynôme donné est \(\displaystyle deg(p) = 4\), son coefficient directeur est \(\displaystyle a_{4} = -1\) et son coefficient constant est \(\displaystyle a_0 = 0\).

Puisque le premier terme avec un coefficient non nul dans \(p(x)\) est \(x^2\), nous pouvons factoriser ce terme pour obtenir :

\[\displaystyle p(x) = -x^4+x^2 = x^2 \left(\displaystyle -x^2+1 \right) \]

mais le terme entre parenthèses est de degré 2, et nous devons voir s'il peut être factorisé davantage.

Nous devons résoudre l'équation quadratique suivante \(\displaystyle -x^2+1=0\).

Pour une équation quadratique de la forme \(a x^2 + bx + c = 0\), les racines sont calculées à l'aide de la formule suivante :

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Dans ce cas, l'équation à résoudre est \(\displaystyle -x^2+1 = 0\), ce qui implique que les coefficients correspondants sont :

\[a = -1\] \[b = 0\] \[c = 1\]

Tout d'abord, nous allons calculer le discriminant pour évaluer la nature des racines. Le discriminant est calculé comme suit :

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( 0\right)^2 - 4 \cdot \left(-1\right)\cdot \left(1\right) = 4\]

Puisque dans ce cas le discriminant est \(\Delta = \displaystyle 4 > 0\), qui est positif, nous savons que l'équation a deux racines réelles différentes.

En introduisant ces valeurs dans la formule des racines, nous obtenons :

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{\left(0\right)^2-4\left(-1\right)\left(1\right)}}{2\cdot -1} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{4}}{-2}\]

donc, nous trouvons que :

\[ {x}_1 = \frac{0}{-2}-\frac{1}{-2}\sqrt{4}=\frac{0}{-2}-\left(-1\right)=1 \] \[{x}_2 = \frac{0}{-2}+\frac{1}{-2}\sqrt{4}=\frac{0}{-2}-1=-1\]

Dans ce cas, l'équation quadratique \( \displaystyle -x^2+1 = 0 \), a deux racines réelles, donc :

\[\displaystyle -x^2+1 = - \left(x-1\right)\left(x+1\right)\]

alors le polynôme original est factorisé en \(\displaystyle p(x) = -x^4+x^2 = - x^2 \left(x-1\right)\left(x+1\right) \), ce qui complète la factorisation.

Conclusion : Par conséquent, la factorisation finale que nous obtenons est :

\[\displaystyle p(x) = -x^4+x^2 = - x^2\left(x-1\right)\left(x+1\right)\]

Les racines trouvées en utilisant le processus de factorisation sont \(0\), \(1\), et \(-1\) .

Autres calculatrices d'équations utiles

Résolveurs d'équations sont très importantes en mathématiques, car les équations sont généralement le moyen d'exprimer l'association entre des quantités liées. La capacité à résoudre des équations permet de découvrir des points particuliers qui satisfont à une égalité spécifique.

Il est difficile d'obtenir des calculatrices générales, car les différentes structures d'équation requièrent des stratégies de résolution différentes. A calculatrice d'équations trigonométriques exploitera généralement la relation entre les différentes fonctions trigonométriques afin de trouver des solutions, de la même manière que la fonction équations exponentielles et équations logarithmiques auront leurs propres approches, basées sur les propriétés clés des exposants et des logarithmes, respectivement. .

La plupart des problèmes d'algèbre peuvent être représentés, de sorte qu'en résolvant les équations, nous trouvons la clé de ces problèmes d'algèbre, ces points spéciaux qui satisfont des propriétés spécifiques intéressantes.

En général, il n'est pas facile de résoudre des équations. Vous pouvez suivre certaines stratégies utiles, comme réarranger les équations, factoriser ou simplifier les expressions . Mais en fin de compte, chaque type d'équation vous donnera un type de structure qui vous dévoilera le chemin vers la solution

Par exemple, pour les équations radicales, vous devez certainement résoudre le terme qui a une racine, et utiliser une puissance pour éliminer la racine, ce qui transforme l'équation en une équation polynomiale. Mais cette méthode, qui fonctionne parfaitement pour une équation de radicaux, peut ne pas fonctionner pour une équation trigonométrique, par exemple.