Más sobre esta ley de los cosenos

Esta calculadora permite resolver un triángulo utilizando la ley de los cosenos. Para que la calculadora pueda hacer lo que necesita, es necesario proporcionar dos lados y el ángulo entre ellos.

Una vez proporcionada la información válida para comenzar, simplemente haga clic en “Calcular” y se mostrarán los pasos del cálculo.

¿qué es la ley de los cosenos?

La ley de los cosenos es una identidad trigonométrica fundamental que se utiliza para hallar las longitudes de los lados o ángulos de cualquier triángulo, no solo de los rectángulos. Extiende el teorema de Pitágoras a todos los tipos de triángulos al incorporar el coseno de uno de sus ángulos.

Puedes considerar la Ley de los Cosenos como un Teorema de Pitágoras generalizado, que toma exactamente la misma forma cuando el ángulo correspondiente es de 90 grados, porque el coseno de 90 grados es cero.

Comprensión de la fórmula de la ley de los cosenos

La Ley de los Cosenos tiene tres fórmulas principales, o mejor dicho tres expresiones diferentes de la fórmula, cada una correspondiente a un lado del triángulo:

• \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\)
• \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)\)
• \(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B)\)

Aquí, \(a\), \(b\) y \(c\) son los lados del triángulo, y \(A\), \(B\) y \(C\) son los ángulos opuestos a estos lados, respectivamente.

Tenga en cuenta que es posible que haya visto una versión de la Ley de los cosenos como \(c^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos(C)\), pero se trata de una especie de artilugio innecesario para los ángulos obtusos. En realidad, no es necesario desglosar la regla con diferentes casos, cuando el signo de \(cos(C)\) explica perfectamente todos los casos posibles.

Cómo utilizar la ley de los cosenos

Pasos para calcular un lado

Estos son los pasos para encontrar la longitud de un lado usando la Ley de Cosenos:

• Identifica los lados y ángulos conocidos de tu triángulo. Necesitas dos lados y el ángulo que forman esos dos lados.
• Elige la fórmula que incluya el lado que quieres encontrar. La fórmula elegida tendrá el lado que falta en el lado izquierdo
• Sustituya los valores conocidos en la fórmula.
• Resolver para el lado desconocido.

¿cuándo utilizar la ley de los cosenos?

La ley de los cosenos es particularmente útil cuando:

• Conoces dos lados y el ángulo incluido ( SAS ).
• Conoces los tres lados y necesitas encontrar un ángulo ( SSS ).
• El triángulo no es un triángulo rectángulo y necesitas encontrar un lado o un ángulo.

Ejemplos de la ley de los cosenos en acción

A continuación te dejamos algunos ejemplos prácticos que podrías resolver:

• Ejemplo 1: Si son \(a = 5\), \(b = 6\) y \(C = 60^\circ\), busque \(c\).
• Ejemplo 2: Dados \(a = 7\), \(b = 8\) y \(c = 9\), encuentre el ángulo \(A\).

Prueba de la ley de los cosenos

La Ley de los Cosenos se puede derivar de la Teorema de pitágoras Considerando un triángulo cuya altura se traza a partir de uno de sus vértices, es más complejo que esto, pero un esquema para ello es el siguiente:

• Construir un triángulo rectángulo dentro del triángulo original.
• Utilice el teorema de Pitágoras en este triángulo más pequeño.
• Relaciona el coseno del ángulo con los lados del triángulo.

Comparación de la ley de los cosenos con el teorema de pitágoras

Mientras que el teorema de Pitágoras se aplica sólo a triángulos rectángulos, la Ley de los Cosenos:

• Funciona para todos los triángulos.
• Incorpora el coseno de un ángulo , haciéndolo más versátil.
• Se puede utilizar para encontrar ángulos y lados.

Calculadora sobre el uso de la ley de los cosenos

Las calculadoras en línea pueden simplificar el proceso, especialmente nuestra calculadora que muestra los pasos del proceso:

• Introduzca los valores conocidos en la calculadora.
• Seleccione el lado o ángulo que desea encontrar.
• La calculadora proporcionará el resultado basado en la fórmula de la Ley de Cosenos.

¿cuáles son las reglas de la ley de los cosenos?

Las reglas para la Ley de Cosenos incluyen:

• Se aplica a cualquier triángulo, no solo a los rectángulos. El caso de los triángulos rectángulos es el caso más simple de la Ley de los cosenos.
• El coseno de un ángulo debe estar entre -1 y 1.
• Cuando el ángulo es de 90 grados, la fórmula se simplifica al teorema de Pitágoras, porque la parte del coseno se convierte en 0.

¿qué ecuación representa la ley de los cosenos?

No existe UNA ecuación que represente la ley de los cosenos. La ecuación que representa la ley de los cosenos para el lado \(c\) es:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\]

Por otro lado, la ecuación que representa la Ley de Cosenos para el lado \(b\) es:

\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B)\]

y la ecuación que representa la Ley de Cosenos para el lado \(a\) es:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)\]

¿qué es la regla del coseno en términos simples?

En términos simples, la regla del coseno establece que el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de esos lados por el coseno del ángulo incluido.

¿cómo ayuda la ley de los cosenos a resolver triángulos?

La ley de los cosenos permite:

• Encuentra cualquier lado cuando conoces dos lados y el ángulo incluido, como en el caso de esta calculadora.
• Determina cualquier ángulo cuando conoces los tres lados. Por lo general, cuando se usa la ley del coseno, se calcula un lado, pero también se puede calcular el ángulo.
• Resuelve ángulos o lados en triángulos no rectángulos en los que no se aplica el teorema de Pitágoras. De hecho, los triángulos no rectángulos son el principal uso que encontrarás para él.

¿puede utilizarse la ley de los cosenos para cualquier triángulo?

Sí, la ley de los cosenos se puede utilizar para cualquier triángulo, ya sea agudo, rectángulo u obtuso, lo que la convierte en una herramienta versátil en trigonometría. Puede tener simetrías o hacer que sea un triángulo escaleno, la ley de los cosenos siempre se aplica.

A veces, la Ley de los Cosenos no es suficiente para calcular completamente un triángulo, y quizás sea necesario utilizar la Ley de los Senos (pensemos en el Triángulo AAS caso).

¿cuáles son las tres fórmulas para la ley de los cosenos?

Las tres fórmulas para la Ley de Cosenos son:

• \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\)
• \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)\)
• \(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B)\)

Ten en cuenta que estas fórmulas se basan en elegir cualquiera de los lados como lado opuesto. Esto es ligeramente diferente cuando trabajas con un triángulo rectángulo.

Explora más con calculadoras relacionadas

Entendiendo el ley de los cosenos Se puede mejorar mucho explorando conceptos trigonométricos relacionados. Por ejemplo, si trabajas con ángulos en tus cálculos, es posible que encuentres la Fórmula De Doble Ángulo útil para simplificar expresiones o resolver ecuaciones que involucran ángulos.

Además, se puede visualizar cómo se comporta el coseno en diferentes ángulos con nuestro Gráfico De Coseno calculadora, que proporciona una representación gráfica que puede ayudar a comprender la periodicidad y la amplitud de la función.

Cuando se trabaja con triángulos, conocer los lados y los ángulos a menudo puede llevar a cálculos más complejos Calculadora de triángulos con dos ángulos y un lado opuesto puede ayudarte a calcular los lados y ángulos restantes, lo que resulta particularmente útil al aplicar la Ley de los cosenos en problemas del mundo real. Además, para una gama más amplia de cálculos trigonométricos, nuestra Calculadora Trigonométrica ofrece un conjunto completo de herramientas para manejar diversas identidades y ecuaciones trigonométricas.