Más sobre la ecuación de forma estándar de un círculo

Esta calculadora te permitirá calcular la forma estándar de la ecuación del círculo, mostrando todos los pasos. Debe proporcionar una expresión válida para el radio y las coordenadas del centro. Pueden ser cualquier expresión válida, con la única restricción de que el radio debe ser positivo.

Una vez que se proporcionen los datos válidos, debe hacer clic en el botón "Calcular" y se le mostrarán todos los pasos del proceso sobre cómo se coloca el círculo en forma estándar.

En términos generales, calcular la forma estándar es bastante sencillo cuando conoces el radio y el centro, como veremos en las siguientes secciones.

¿cuál es la forma estándar de un círculo?

Como sucede con frecuencia en matemáticas, los objetos matemáticos de uso común se pueden expresar de diferentes maneras. Por ejemplo, para las líneas tenemos el forma estándar de la línea y el forma de intersección de pendientes . Para los círculos sucede algo similar. Un círculo está en forma estándar si se expresa de la siguiente forma:

\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \]

En este caso, sabemos que \(r\) es el radio del círculo y \((x_0, y_0)\) es el centro del círculo.

¿cuáles son los pasos para encontrar la forma estándar del círculo?

• Paso 1: Identifique qué información tiene disponible. El proceso dependerá de si tienes el radio y el centro, o si tienes una ecuación en forma general
• Paso 2: Si tienes el radio r y el centro, todo lo que necesitas hacer es conectarlos a la ecuación: \(\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2\)
• Paso 3: Si tienes una ecuación general del círculo, llegas a la forma estándar realizando un completando el proceso cuadrado , para ambas variables x e y

Luego, se procederá a calcular el ecuación circular sujeto al tipo de información que tenga disponible. Lo más común es que se proporcione un radio y un centro, y este es el caso más fácil. Pero no es raro necesitar completar cuadrados de una ecuación general.

Dificultades para encontrar la ecuación estándar de un círculo

Como mencionamos antes, el caso fácil es cuando se proporcionan el radio y el centro, pero ese no es siempre el caso, ya que muchas veces comenzará con un ecuación cuadrática general y deberá completar los cuadrados para llegar a la ecuación estándar del círculo.

¿cómo pasar de la forma general a la estándar para un círculo?

• Paso 1: debe realizar un proceso de completar los cuadrados para cada una de las variables x e y. Comience agrupando términos con x y términos con y
• Paso 2: para cada variable, digamos x, identifica qué términos van con x^2 y los factoriza
• Paso 3: Fuerce la creación de un término como 2*"algo"*x, y la suma y resta de "algo" que encontró

Para más detalles, revisa esto completando la calculadora de cuadrados .

¿por qué se preocuparía por la forma estándar de un círculo?

La forma estándar le dirá todo lo que necesita saber sobre un círculo, porque puede ver visualmente, directamente desde la ecuación, cuál es el radio y cuál es el centro.

Esto es diferente al caso del ecuación expandida de un círculo , donde a primera vista no se puede decir nada sobre el radio o el centro.

Ejemplo: cálculo de la ecuación de forma estándar de un círculo

Obtenida la ecuación estándar de un círculo dado que su radio es r = 3/4 y está centrado en (2, 1).

Solución: Necesitamos encontrar la forma estándar de un círculo, donde el radio proporcionado es \(r = \displaystyle \frac{3}{4}\), y el centro proporcionado es \((\displaystyle 2, 1)\).

La ecuación del círculo en forma estándar tiene la siguiente estructura:

\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \]

donde \(x_0\) y \(y_0\) son las correspondientes coordenadas x e y del centro, y \(r\) es el radio. Por lo tanto, todo lo que tenemos que hacer para determinar completamente la forma estándar del círculo es identificar claramente el centro y el radio, e insertarlos en la fórmula anterior.

En este caso, de la información proporcionada ya sabemos que \(x_0 = \displaystyle 2\) y \(y_0 = \displaystyle 1\), y \(r = \frac{3}{4}\). Conectando esto obtenemos:

\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \]\[\Rightarrow \displaystyle \left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=\left(\frac{3}{4}\right)^2 \] \[\Rightarrow \displaystyle \left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=\frac{9}{16} \]

Esto concluye el cálculo. Hemos encontrado que la ecuación del círculo en forma estándar es \(\displaystyle \left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=\frac{9}{16} \)

Ejemplo: ecuación en forma estándar de un cálculo circular

Suponga que un círculo está centrado en el origen y su radio es 5/4. Encuentre la forma estándar de su ecuación

Solución: Necesitamos encontrar la forma estándar de un círculo, donde el radio proporcionado es \(r = \displaystyle \frac{5}{4}\), y el centro proporcionado es \((\displaystyle 0, 0)\).

La ecuación del círculo en forma estándar tiene la siguiente estructura:

\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \]

donde \(x_0\) y \(y_0\) son las correspondientes coordenadas x e y del centro, y \(r\) es el radio. Por lo tanto, todo lo que tenemos que hacer para determinar completamente la forma estándar del círculo es identificar claramente el centro y el radio, e insertarlos en la fórmula anterior.

En este caso, de la información proporcionada ya sabemos que \(x_0 = \displaystyle 0\) y \(y_0 = \displaystyle 0\), y \(r = \frac{5}{4}\). Conectando esto obtenemos:

\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \] \[\Rightarrow \displaystyle x^2+y^2=\left(\frac{5}{4}\right)^2 \] \[\Rightarrow \displaystyle x^2+y^2=\frac{25}{16} \]

Esto concluye el cálculo. Hemos encontrado que la ecuación del círculo en forma estándar es \(\displaystyle x^2+y^2=\frac{25}{16} \)

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