Factorizar trinomios

Esta calculadora te permitirá factorizar trinomios de la forma \(ax^2+bx+c\). Observe que este es un tipo de trinomio muy específico que esencialmente corresponde a una expresión cuadrática.

Una vez que haya proporcionado un trinomio válido, deberá hacer clic en , todo lo que necesita hacer es hacer clic en el botón "Calcular" y se le proporcionarán todos los pasos de los cálculos.

El problema de factorizar trinomios es un problema relativamente simple que, en última instancia, depende de nuestra capacidad de resolver ecuaciones cuadráticas , al menos para el tipo de trinomios que estamos tratando.

¿qué es un trinomio?

Un trinomio, como indica la parte "tri", es una expresión algebraica con tres términos. Técnicamente, algo como \(a+b+c\) es un trinomio, al igual que \(a\cdot b\cdot \ c\). Pero suele darse el caso de que nos referimos a un trinomio aditivo, por lo que este último no entraría en la categoría.

Pero además, implícitamente queremos decir que un trinomio tiene términos polinomiales de la forma \(d x^k\). La última suposición que haremos es que la potencia más alta es mayor en dos, podemos factorizar un término para que la potencia más alta sea 2 (esto siempre es posible con potencias secuenciales).

Entonces, los trionomios que estamos tratando se reducen simplemente a la clase de expresiones de la forma

\[ a x^2 + bx^2 + c \]

¿cuáles son los pasos para factorizar trinomios?

• Paso 1: Identifique el trinomio y asegúrese de que cumpla con los requisitos para ser un trinomio en el sentido de la definición anterior
• Paso 2: Suponiendo que el grado más alto es 2, el término tiene la forma \(a x^2 + bx^2 + c \), entonces identifica los coeficientes a, b y c
• Paso 3: Resuelve la ecuación cuadrática \\(a x^2 + bx^2 + c = 0\\). Supongamos que \(\alpha\) y \(\beta\) son las raíces, entonces la factorización del trinomio es \(a(x-\alpha)(x-\beta)\)
• Etapa 4: Si el grado más alto es mayor que 2, factoriza la potencia más alta que puedas y regresa al Paso 2

En última instancia, la solución a la tarea de factorizar un trinomio depende de tu capacidad de factorizar términos y resolver ecuaciones cuadráticas .

¿podemos tener factor común de trinomios?

Según nuestra definición de los trinomios que queremos aceptar para este procedimiento, técnicamente sí, podemos tener un factor común, que se puede factorizar. De hecho, en esta calculadora se supone que el trinomio tiene la forma \(a x^2 + bx + c\), que en general no tiene factores comunes.

Pero entonces, puedes argumentar que \(a x^4 + bx^3 + cx^2\) es un trinomio que tiene factores comunes, y estarías en lo cierto al decirlo.

Lo que sucede es que si podemos factorizar un factor común como \(a x^4 + bx^3 + cx^2 = x^2 (a x^2 + bx + c) \), finalmente terminamos con el tipo de trinomio más básico que estamos usando aquí.

¿son iguales la factorización trinomial y la factorización polinomial?

Más precisamente, podemos decir que obtenemos un trinomio y lo factorizamos, estamos haciendo un factorización de polinomios de un polinomio cuadrático (después de factorizar un término si es necesario).

La idea detrás de hablar de trinomios en lugar de polinomios es hacer énfasis en la estructura específica de la expresión que estamos tratando, en la que tenemos 3 términos, a diferencia de un polinomio general que puede tener más de 3 términos.

¿por qué utilizar esta calculadora y no mi calculadora científica?

Una de las razones principales es que esta calculadora de factorización con pasos le mostrará el trabajo relevante que debe realizarse para llegar a las soluciones, lo que significa que verá la justificación de POR QUÉ encontró el resultado.

En la siguiente sección verás ejemplos de factorización de trinomios con respuestas, uno de ellos usando la fórmula de ecuación cuadrática y otro usando un truco sencillo para factorizar agrupando.

Ejemplo de factorización de trinomios

Factoriza lo siguiente: \(\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x^3 - x^4\)

Solución: Observe que podemos factorizar \(x^2\), entonces

\[[\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x^3 - x^4 = x^2 \left(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}x - x^2\right)\]

y la parte cuadrática se puede factorizar fácilmente como \(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}x - x^2 = \left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{3}\right)\), lo que lleva a:

\[\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x^3 - x^4 = x^2 \left(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}x - x^2\right) = x^2 \left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{3}\right)\)\]

que concluye el cálculo.

Ejemplo: factor trinomio

Encuentra la factorización del siguiente trinomio \( x^2 + 2x + 3 \).

Solución: En este ejemplo, mostramos que no se trata solo de la fórmula de la ecuación cuadrática y, a veces, puedes tomar algunos atajos, dependiendo de la estructura de la ecuación. Nosotros podemos usar factorizar por agrupación en este ejemplo. Darse cuenta de

\[ x^2 + 2x + 3 = x^2 + 3x -x + 3 \]

y agrupando los dos primeros términos y los 2 últimos términos obtenemos:

\[ x^2 + 2x + 3 = x^2 + 3x -x + 3 = x(x+3) - (x+3) \]

pero este último término puede factorizar x + 3, por lo que obtenemos:

\[ x^2 + 2x + 3 = x^2 + 3x -x + 3 = x(x+3) - (x+3) = (x-1)(x+3)\]

que concluye el cálculo.

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