Mehr dazu dieser cosinussatz

Mit diesem Rechner können Sie ein Dreieck mithilfe des Kosinussatzes berechnen. Um dem Rechner das zu geben, was er braucht, müssen Sie zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen angeben.

Sobald gültige Angaben gemacht wurden, genügt ein Klick auf „Berechnen“ und schon werden die Berechnungsschritte angezeigt.

Was ist der kosinussatz?

Der Kosinussatz ist eine grundlegende trigonometrische Gleichung, mit der man die Längen von Seiten oder Winkeln in jedem Dreieck berechnen kann, nicht nur in rechtwinkligen Dreiecken. Er erweitert den Satz des Pythagoras auf alle Arten von Dreiecken, indem er den Kosinus eines seiner Winkel einbezieht.

Sie können den Kosinussatz als verallgemeinerten Satz des Pythagoras betrachten, der genau dieselbe Form annimmt, wenn der entsprechende Winkel 90 Grad beträgt, da der Kosinus von 90 Grad Null ist.

Die formel des kosinussatzes verstehen

Der Kosinussatz hat drei Hauptformeln, oder besser gesagt drei verschiedene Ausdrücke der Formel, die jeweils einer Seite des Dreiecks entsprechen:

• #XYZA
• #XYZA
• #XYZA

Hier sind \(a\), \(b\) und \(c\) die Seiten des Dreiecks und \(A\), \(B\) und \(C\) sind jeweils die diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel.

Beachten Sie, dass Sie möglicherweise eine Version des Kosinussatzes wie \(c^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos(C)\) gesehen haben, aber das ist eine Art unnötige Konstruktion für stumpfe Winkel. Es ist wirklich nicht notwendig, die Regel mit verschiedenen Fällen aufzuschlüsseln, wenn das Vorzeichen von \(cos(C)\) alle möglichen Fälle perfekt abdeckt.

Wie man den kosinussatz anwendet

Schritte zum berechnen einer seite

So ermitteln Sie die Länge einer Seite mithilfe des Kosinussatzes:

• Identifizieren Sie die bekannten Seiten und Winkel in Ihrem Dreieck. Sie benötigen zwei Seiten und den Winkel, den diese beiden Seiten bilden.
• Wählen Sie die Formel, die die Seite enthält, die Sie finden möchten. Die gewählte Formel hat die fehlende Seite auf der linken Seite
• Setzen Sie die bekannten Werte in die Formel ein.
• Lösen Sie die unbekannte Seite.

Wann wendet man den kosinussatz an?

Der Kosinussatz ist insbesondere in folgenden Fällen nützlich:

• Sie kennen zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel ( SAS ).
• Sie kennen alle drei Seiten und müssen einen Winkel finden ( SSS ).
• Das Dreieck ist kein rechtwinkliges Dreieck und Sie müssen eine Seite oder einen Winkel finden.

Beispiele für den kosinussatz in aktion

Hier sind einige praktische Beispiele, die Sie lösen könnten:

• Beispiel 1: Wenn \(a = 5\), \(b = 6\) und \(C = 60^\circ\), suchen Sie \(c\).
• Beispiel 2: Gegeben: \(a = 7\), \(b = 8\) und \(c = 9\), Winkel \(A\) ermitteln.

Beweis des kosinussatzes

Der Kosinussatz kann abgeleitet werden aus der Satz des Pythagoras indem man ein Dreieck betrachtet, dessen Höhe von einem seiner Eckpunkte aus bestimmt wird. Es ist komplexer als das, aber eine Skizze dafür ist:

• Konstruieren Sie ein rechtwinkliges Dreieck innerhalb des ursprünglichen Dreiecks.
• Wenden Sie den Satz des Pythagoras auf dieses kleinere Dreieck an.
• Bringen Sie den Kosinus des Winkels mit den Seiten des Dreiecks in Beziehung.

Vergleich des kosinussatzes mit dem satz des pythagoras

Während der Satz des Pythagoras nur für rechtwinklige Dreiecke gilt, gilt für den Kosinussatz:

• Funktioniert für alle Dreiecke.
• Beinhaltet die Cosinus eines Winkels , wodurch es vielseitiger wird.
• Kann zum Ermitteln von Winkeln und Seiten verwendet werden.

Verwenden des kosinussatz-rechners

Online-Rechner können den Vorgang vereinfachen, insbesondere unser Rechner, der die einzelnen Prozessschritte zeigt:

• Geben Sie die bekannten Werte in den Rechner ein.
• Wählen Sie die Seite oder den Winkel aus, die/den Sie suchen möchten.
• Der Rechner liefert das Ergebnis basierend auf der Formel des Kosinussatzes.

Was sind die regeln für den kosinussatz?

Zu den Regeln des Kosinussatzes zählen:

• Dies gilt für alle Dreiecke, nicht nur für rechtwinklige Dreiecke. Der Kosinussatz ist bei rechtwinkligen Dreiecken am einfachsten anzuwenden.
• Der Kosinus eines Winkels muss zwischen -1 und 1 liegen.
• Bei einem Winkel von 90 Grad vereinfacht sich die Formel zum Satz des Pythagoras, da der Cosinus-Anteil 0 wird.

Welche gleichung stellt den kosinussatz dar?

Es gibt nicht EINE Gleichung, die den Kosinussatz darstellt. Die Gleichung, die den Kosinussatz für Seite \(c\) darstellt, lautet:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\]

Andererseits lautet die Gleichung, die den Kosinussatz für die Seite \(b\) darstellt:

\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B)\]

und die Gleichung, die den Kosinussatz für Seite \(a\) darstellt, lautet:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)\]

Was ist der kosinussatz in einfachen worten?

Vereinfacht ausgedrückt besagt der Kosinussatz, dass das Quadrat einer Seite eines Dreiecks gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten minus dem doppelten Produkt dieser Seiten und dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels ist.

Wie hilft der kosinussatz beim lösen von dreiecken?

Mit dem Kosinussatz können Sie:

• Finden Sie eine beliebige Seite, wenn Sie zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel kennen, wie bei diesem Rechner.
• Bestimmen Sie einen beliebigen Winkel, wenn Sie alle drei Seiten kennen. Normalerweise berechnen Sie eine Seite, wenn Sie den Kosinussatz anwenden, aber Sie könnten definitiv auch den Winkel berechnen.
• Lösen Sie Winkel oder Seiten in nicht rechtwinkligen Dreiecken, bei denen der Satz des Pythagoras nicht gilt. Tatsächlich werden Sie ihn hauptsächlich in nicht rechtwinkligen Dreiecken verwenden.

Kann der kosinussatz auf jedes dreieck angewendet werden?

Ja, der Kosinussatz kann für jedes Dreieck verwendet werden, egal ob es spitz, rechtwinklig oder stumpf ist, was ihn zu einem vielseitigen Werkzeug in der Trigonometrie macht. Sie können Symmetrien haben oder ein ungleichseitiges Dreieck, der Kosinussatz gilt immer.

Manchmal reicht der Kosinussatz nicht aus, um ein Dreieck vollständig zu berechnen, und es ist vielleicht notwendig, den Sinussatz zu verwenden (denken Sie an die AAS-Dreieck Fall).

Was sind die drei formeln für den kosinussatz?

Die drei Formeln für den Kosinussatz lauten:

• #XYZA
• #XYZA
• #XYZA

Beachten Sie, dass diese Formeln darauf basieren, dass eine beliebige Seite als Gegenseite gewählt wird. Dies ist etwas anders, wenn Sie mit einem rechtwinkligen Dreieck arbeiten.

Weitere informationen mit verwandten rechnern

Verstehen der Kosinussatz kann durch die Untersuchung verwandter trigonometrischer Konzepte erheblich verbessert werden. Wenn Sie beispielsweise in Ihren Berechnungen mit Winkeln arbeiten, finden Sie möglicherweise die Formel Für Den Doppelten Winkel nützlich zum Vereinfachen von Ausdrücken oder Lösen von Gleichungen mit Winkeln.

Darüber hinaus können Sie visualisieren, wie sich der Kosinus über verschiedene Winkel verhält, mit unserem Cosinus-Grafik Rechner, der eine grafische Darstellung bietet, die zum Verständnis der Periodizität und Amplitude der Funktion beitragen kann.

Wenn man mit Dreiecken arbeitet, kann die Kenntnis der Seiten und Winkel oft zu komplexeren Berechnungen führen. Unsere Dreiecksrechner mit zwei Winkeln und einer Gegenseite kann Ihnen helfen, die verbleibenden Seiten und Winkel zu berechnen, was besonders nützlich ist, wenn Sie den Kosinussatz in realen Problemen anwenden. Darüber hinaus können Sie für eine breitere Palette trigonometrischer Berechnungen unsere Trigendrechner bietet eine umfassende Suite an Tools zur Handhabung verschiedener trigonometrischer Identitäten und Gleichungen.