Doppelter winkelformel-rechner

Mit diesem Rechner für doppelte Winkelformeln können Sie einen bestimmten Winkel im Bogenmaß angeben und erhalten alle trigonometriewerte des entsprechenden Doppelwinkels. Einfach ausgedrückt, ist dies ein Rechner, der Dinge wie sin(2x) in Bezug auf die trigonometrischen Werte für x berechnet.

Beachten Sie, dass der Winkel in Bogenmaß angegeben werden muss. Wenn Sie ihn in Grad haben, können Sie Folgendes verwenden grad zu Bogenmaß-Rechner um die Umwandlung vorzunehmen.

Interessant an den trigonometrischen Funktionen ist, dass es eine Möglichkeit gibt, den Wert der trigonometrischen Funktion des Doppelten eines gegebenen Winkels mit relativ einfachen Formeln zu berechnen, indem man die sogenannten Doppelwinkelformeln verwendet.

Wie lautet die formel für den doppelten winkel?

Angenommen, wir haben einen Winkel \(\theta\), der Gemessen in Radians , und \(2 \theta\) ist der Doppelwinkel. Dann werden die folgenden Formeln der Doppelwinkelidentitäten für den Doppelwinkel verwendet

\[\sin(2\theta) = 2\sin(\theta) \cos(\theta)\] \[\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)\] \[\tan(2\theta) = \displaystyle \frac{2\tan(\theta)}{1-\tan^2(\theta)}\]

Das Tolle an diesen Formeln ist, dass man, wenn man die trigonometrischen Werte für einen Winkel \(\theta\) kennt, die obigen Formeln verwenden kann, um die trigonometrischen Formeln für \(2\theta\) zu berechnen. Nehmen wir also an, Sie kennen die trigonometrischen Werte für 30 ^o kann man mit den obigen Formeln die trigonometrischen Werte für 60 berechnen ^o

Dies sind die Formeln, die diese Doppelter Winkel-Rechner zur Verfügung, sobald ein gültiger Winkel im Bogenmaß angegeben wird.

Beispiel für die verwendung von doppelwinkeln

Beispiel für eine Formel mit doppeltem Winkel: Wir wissen, dass \(\sin(45^o) = \sin(45^o) = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \). Berechnen wir \(\sin(90^o)\). Beachten Sie, dass \(90^o\) so der doppelte Winkel von \(45^o\), so dann, mit der obigen Formel

\[\sin(90^o) = \sin(2\cdot 45^o) = 2\sin(45^o) \cos(45^o) =\displaystyle 2 \cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{2}{4} = 1\]

Wofür verwenden sie den doppelwinkel?

Wir haben gesagt, dass der doppelte Winkel sehr nützlich für Berechnungen sein kann, aber eigentlich ist es eher ein theoretischer Nutzen für sie. Ich meine, trigonometrische Tabellen werden nicht mit Hilfe des Doppelwinkels ausgehend von einigen bemerkenswerten Winkeln berechnet, sondern mit Taylor-Approximation stattdessen.

Formeln für doppelte Winkel sind äußerst nützlich in Identitäten, die bestimmte Berechnungen trigonometrischer Integrale ermöglichen.

Eng verwandt und konzeptionell äquivalent können Sie diese halbwinkel formeln zur Berechnung der trigonometrischer Wert des halben Winkels \(\frac{\theta}{2}\) unter Berücksichtigung der trigonometrischen Werte von \(\theta\).

Beispiel für die berechnung eines doppelwinkels (einschließlich eines tangenten-doppelwinkels)

Frages : Verwenden Sie eine Doppelwinkelformel für Sinus, Kosinus und Tangens, für den ursprünglichen Winkel: \(\theta = \frac{\pi}{8}\).

Lösung: Das können Sie ganz einfach mit diesem Rechner für doppelte Winkelidentitäten tun. Gegeben ist der Winkel \(\theta = \frac{\pi{}}{8}\) im Bogenmaß. Die folgenden Doppelwinkelformeln werden verwendet, um die trigonometrischen Werte des entsprechenden Doppelwinkels \(2\theta\) zu finden.

Für Sinus:

\[ \begin{array}{ccl} \sin(2\theta) & = & \displaystyle \sin(2 \cdot \frac{\pi{}}{8}) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle 2 \sin(\frac{\pi{}}{8}) \cos(\frac{\pi{}}{8}) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle 2 \times 0.383 \times 0.924 \\\\ \\\\ & = & 1 \end{array}\]

Nun zum Kosinus:

\[ \begin{array}{ccl} \cos(2\theta) & = & \displaystyle \cos(2 \cdot \frac{\pi{}}{8}) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \cos^2(\frac{\pi{}}{8}) - \sin^2(\frac{\pi{}}{8}) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle 0.924^2 - 0.383^2 \\\\ \\\\ & = & \displaystyle 0.8538 - 0.1467 \\\\ \\\\ & = & 0.707 \end{array}\]

Nun zur Tangente:

\[ \begin{array}{ccl} \tan(2\theta) & = & \displaystyle \cos(2 \times \frac{\pi{}}{8}) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \frac{2 \tan(\frac{\pi{}}{8})}{1-\tan^2(\frac{\pi{}}{8})} \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \frac{2 \times 0.414}{1-0.1714} \\\\ \\\\ & = & 0.999 \end{array}\]

Ausgehend von dem angegebenen Winkel \(\theta = \frac{\pi{}}{8}\) im Bogenmaß lauten die entsprechenden Doppelwinkelausdrücke daher \(\sin(2\theta) = 1\), \(\cos(2\theta) = 0.707\) und \(\tan(2\theta) = 0.999\).