Faktorisierung von trinomen

Mit diesem Rechner können Sie Trinome der Form \(ax^2+bx+c\) faktorisieren. Beachten Sie, dass es sich hierbei um eine ganz bestimmte Art von Trinomen handelt, die im Wesentlichen einem quadratischen Ausdruck entspricht.

Sobald Sie ein gültiges Trinom angegeben haben, müssen Sie nur noch auf die Schaltfläche "Berechnen" klicken, und Sie erhalten alle Berechnungsschritte.

Das Problem der Faktorisierung von Trinomen ist ein relativ einfaches Problem, das letztlich von unserer Fähigkeit abhängt quadratische Gleichungen lösen zumindest für die Art von Trinomen, mit denen wir es zu tun haben.

Was ist ein trinomial

Ein Trinom ist, wie das "tri" schon sagt, ein algebraischer Ausdruck mit drei Termen. Technisch gesehen ist etwas wie \(a+b+c\) ein Trinom, genau wie \(a\cdot b\cdot \ c\). In der Regel ist jedoch ein additives Trinom gemeint, so dass letzteres nicht in diese Kategorie fällt.

Wir meinen aber auch implizit, dass ein Trinom mit Polynomtermen der Form \(d x^k\) vorliegt. Die letzte Annahme, die wir machen werden, ist, dass die höchste Potenz um zwei größer ist, wir können einen Term herausfaktorieren, so dass die höchste Potenz 2 ist (dies ist immer möglich mit aufeinanderfolgenden Potenzen).

Die Trionomiale, mit denen wir es zu tun haben, lassen sich dann einfach auf die Klasse der Ausdrücke der Form

\[ a x^2 + bx^2 + c \]

In welchen schritten kann man trinome faktorisieren?

• Schritt 1: Identifizieren Sie das Trinom und vergewissern Sie sich, dass es die Anforderungen an ein Trinom im Sinne der obigen Definition erfüllt
• Schritt 2: Unter der Annahme, dass der höchste Grad 2 ist, hat der Term die Form \(a x^2 + bx^2 + c \), so dass die Koeffizienten a, b und c zu bestimmen sind
• Schritt 3: Lösen Sie die quadratische Gleichung \\(a x^2 + bx^2 + c = 0\\). Nehmen wir an, dass \(\alpha\) und \(\beta\) die Wurzeln sind, dann ist die Trinomialfaktorisierung \(a(x-\alpha)(x-\beta)\)
• Schritt 4: Wenn der höchste Grad größer als 2 ist, rechnen Sie die höchstmögliche Potenz aus und kehren Sie zu Schritt 2 zurück

Letztlich hängt die Lösung der Aufgabe, ein Trinom zu faktorisieren, von Ihrer Fähigkeit ab ausklammerung von Begriffen und Quadratische Gleichungen lösen .

Kann es einen gemeinsamen faktor von trinomen geben?

Ausgehend von unserer Definition der Trinome, die wir für dieses Verfahren akzeptieren wollen, können wir technisch gesehen einen gemeinsamen Faktor haben, der ausgeklammert werden kann. In diesem Rechner wird nämlich angenommen, dass das Trinom die Form \(a x^2 + bx + c\) hat, die im Allgemeinen keine gemeinsamen Faktoren hat.

Aber dann kann man argumentieren, dass \(a x^4 + bx^3 + cx^2\) ein Trinom ist, das gemeinsame Faktoren hat, und damit hätte man Recht.

Wenn wir einen gemeinsamen Faktor wie \(a x^4 + bx^3 + cx^2 = x^2 (a x^2 + bx + c) \) herausrechnen können, erhalten wir letztlich die Art von Trinom, die wir hier verwenden.

Sind trinomialfaktorisierung und polynomfaktorisierung dasselbe?

Genauer gesagt können wir sagen, dass wir ein Trinom erhalten und es faktorisieren, wir machen eine Polynom Factoring eines quadratischen Polynoms (ggf. nach Ausklammerung eines Terms).

Die Idee, die dahinter steckt, von Trinomen anstelle von Polynomen zu sprechen, besteht darin, den Schwerpunkt auf die spezifische Struktur des Ausdrucks zu legen, mit dem wir es zu tun haben, in dem wir 3 Terme haben, im Gegensatz zu einem allgemeinen Polynom, das mehr als 3 Terme haben kann.

Warum sollte ich diesen rechner verwenden und nicht meinen wissenschaftlichen rechner?

Einer der Hauptgründe dafür ist, dass dieser Factoring-Rechner mit Schritten Ihnen die relevante Arbeit zeigt, die getan werden muss, um zu den Lösungen zu gelangen, was bedeutet, dass Sie die Begründung dafür sehen, warum Sie das gefundene Ergebnis haben.

Im nächsten Abschnitt sehen Sie Beispiele für die Faktorisierung von Trinomen mit Antworten. In einem Fall wird die Formel für quadratische Gleichungen verwendet, in einem anderen wird ein kleiner Trick angewandt, um durch Gruppierung zu faktorisieren.

Beispiel einer trinomialfaktorisierung

Berücksichtigen Sie die folgenden Faktoren: \(\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x^3 - x^4\)

Lösung: Beachten Sie, dass wir \(x^2\) herausrechnen können, so dass dann

\[[\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x^3 - x^4 = x^2 \left(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}x - x^2\right)\]

und der quadratische Teil kann leicht als \(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}x - x^2 = \left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{3}\right)\) faktorisiert werden, was zu:

\[\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x^3 - x^4 = x^2 \left(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}x - x^2\right) = x^2 \left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{3}\right)\)\]

womit die Berechnung abgeschlossen ist.

Beispiel: faktor trinomial

Finden Sie die Faktorisierung für das folgende Trinom \( x^2 + 2x + 3 \).

Lösung: In diesem Beispiel zeigen wir, dass es nicht nur um die Formel der quadratischen Gleichung geht, sondern dass man je nach Struktur der Gleichung auch einige Abkürzungen nehmen kann. Wir können verwenden faktor durch Gruppierung in diesem Beispiel. Beachten Sie, dass

\[ x^2 + 2x + 3 = x^2 + 3x -x + 3 \]

und indem man die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme zusammenfasst, erhält man:

\[ x^2 + 2x + 3 = x^2 + 3x -x + 3 = x(x+3) - (x+3) \]

aber dieser letzte Term kann x + 3 herausrechnen, so dass wir erhalten:

\[ x^2 + 2x + 3 = x^2 + 3x -x + 3 = x(x+3) - (x+3) = (x-1)(x+3)\]

womit die Berechnung abgeschlossen ist.

Weitere nützliche quadratische rechner

quadratische Ausdrücke sind in der Algebra sehr wichtig, da sie die einfachste Abweichung von der Linearität darstellen, und sie werden in großem Umfang zur Modellierung verschiedener Arten von Phänomenen verwendet.

quadratische Funktionen haben spezifische Strukturen, die es sehr einfach machen, ihre Wurzeln zu finden und interessante geometrische Eigenschaften zu finden, wie z. B. die Scheitelpunkt der Parabel . Darüber hinaus ist die quadratische Formel die Suche nach den Wurzeln der quadratischen Gleichung ist eine der bekanntesten Gleichungen in der gesamten Algebra