Differenzquotienten-rechner

Mit diesem Rechner können Sie einen Differenzenquotienten für jede gültige Funktion berechnen, die Sie angeben, wobei alle Schritte angezeigt werden. Stellen Sie sicher, dass Sie eine gültige Funktion angeben, die nicht zu Mehrdeutigkeiten führt, und setzen Sie die Klammern an die richtigen Stellen, um unbeabsichtigte Berechnungen zu vermeiden.

Zum Beispiel ist f(x) = sin 2 x - 2 zweideutig, denn Sie könnten sin(2) * x -2 oder sin(2x)-2 oder sin(2x-2) meinen, die alle unterschiedlich sind. Es kommt also darauf an, wo du die Klammern setzt. Wenn Sie keine Klammern setzen, wird das System f(x) = sin 2 x - 2 als f(x) = (sin(2))*x - 2 interpretieren, was wahrscheinlich nicht beabsichtigt war.

Wenn dann eine gültige Funktion angegeben wird, müssen Sie auf "Berechnen" klicken, um alle Schritte der Differenzquotientenberechnung angezeigt zu bekommen.

Differenzquotienten sind sehr wichtig, da sie eng mit den Berechnung von Derivaten und haben eine geometrische Interpretation als Steigung einer Sekantenlinie sowie eine Durchschnittliche Änderungsrate .

Formel für den differenzenquotienten

Der Differenzenquotient ist etwas, das man für eine bestimmte Funktion \(f(x)\) berechnen kann. Die Formel für den Differenzenquotienten lautet

\[ \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]

Sieht das ähnlich aus wie etwas, das Sie kennen? Natürlich, es sieht aus wie die Ableitungsformel, nur ohne den Grenzwert. Also, wenn berechnungsderivate sie berechnen zunächst einen Differenzenquotienten und nehmen dann einen Grenzwert, bei dem \(h\) gegen 0 geht.

Schritte zur berechnung von differenzquotienten

• Schritt 1: Bestimmen Sie eindeutig die Funktion f(x), mit der Sie arbeiten wollen. Stellen Sie sicher, dass die Funktion gültig definiert ist, bevor Sie fortfahren
• Schritt 2: Sobald man weiß, dass f(x) gültig ist, wertet man die Funktion für zwei allgemeine Werte x + h und x aus und berechnet die Differenz f(x+h) - f(x)
• Schritt 3: Dann dividieren Sie das Ergebnis durch h, so dass Sie (f(x+h)-f(x))/h erhalten, das ist der Differenzquotient
• Schritt 4: Vereinfachen Sie den oben gefundenen Ausdruck so weit wie möglich

Der Differenzenquotient wird in der Regel im Rahmen der Berechnung der Ableitung berechnet, aber nicht immer, denn oft wird er für die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion verwendet, wenn sich der Wert des Arguments von x nach x+h ändert.

Verwendung eines differenzquotientenrechners

Dieser Differenzenquotientenrechner zeigt Ihnen Schritt für Schritt, was nötig ist, um zum Endergebnis zu gelangen, von der Festlegung des Quotiententerms bis zur Vereinfachung des Endausdrucks.

Es ist zu beachten, dass es eine alternative Form gibt, die lautet

\[ \displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \]

aber Sie sehen natürlich, wenn Sie \(h = x-a\) definieren, haben Sie \(x = a+h\) und Sie landen in der ursprünglichen Form.

Wozu braucht man differenzquotienten?

Wie im vorigen Abschnitt erwähnt, sind Differenzenquotienten im Wesentlichen die vorbereitende Berechnung, die zur Differenzierung von Funktionen benötigt wird. Sie spielen also eine sehr wichtige Rolle.

Die Möglichkeit, den vereinfachten Differenzenquotienten zu erhalten, wird es auch ermöglichen, den Grenzwert zu finden, der eine Ableitung definiert, wenn die grundlegende Fähigkeitsregeln gelten nicht und wir sind gezwungen, die Ableitung von Hand zu berechnen.

Beispiel: berechnung des differenzenquotienten einer funktion

Finden Sie den Differenzquotienten von: \(f(x) = x^2 + 2x - 4\)

Lösung:

womit die Berechnung abgeschlossen ist.

Beispiel: differenzenquotient der quadratwurzel

Finden Sie den Differenzenquotienten von : \(f(x) = \sqrt x\)

Lösung: Durch einfaches Einsetzen der Werte von \(x+h\) und \(x\) in die Funktion erhalten wir

\[ \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \displaystyle \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt x}{h} \]

Rationalisieren:

\[ \displaystyle \frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt x)(\sqrt{x+h}+\sqrt x)}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt x)} \] \[ = \displaystyle \frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt x)} \] \[ = \displaystyle \frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt x)} \]

womit die Berechnung abgeschlossen ist.

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