Intervalo de confianza para la respuesta media

El intervalo de confianza para la respuesta media en el contexto de una Regresión lineal corresponde al intervalo de confianza calculado para la respuesta media prevista \(\mu_{Y|X_0}\) para un valor dado \(X = X_0\).

Entonces, este intervalo de confianza nos da un conjunto creíble en el que esperamos encontrar la respuesta promedio \(Y\), para un valor predictor fijo \(X = X_0\)

¿cómo se calcula este intervalo de confianza?

Primero, necesitamos saber el error cuadrático medio (\(\hat{\sigma}^2\)), para el cual utilizamos la siguiente fórmula:

\[\hat{\sigma}^2 = \displaystyle \frac{SSE}{n-2}\]

El error cuadrático medio es un tipo de error estándar que le proporciona la variabilidad de la variable de respuesta para diferentes momentos que evalúa en \(X = X_0\), y se utiliza como base para el intervalo de confianza.

En otras palabras, este error estándar juega el mismo papel que el Desviación Estándar juega en el cálculo del intervalo de confianza para la media \(\mu\).

Fórmula para el intervalo de confianza fórmula para la respuesta media

Bien, ahora tenemos todo lo que necesitamos, así que vamos a la fórmula del intervalo de confianza: Con base en esta información, el intervalo de confianza \(1-\alpha)\times 100 \)% para la respuesta media \(\mu_{Y|X_0}\) viene dado por

\[CI = \displaystyle \left( \hat\mu_{Y|X_0} - t_{\alpha/2; n-2} \sqrt{ \hat{\sigma}^2 \left(\frac{1}{n} + \frac{\left(X_0 - \bar X\right)^2}{SS_{XX}}\right) }, \hat\mu_{Y|X_0} + t_{\alpha/2; n-2} \sqrt{ \hat{\sigma}^2 \left(\frac{1}{n} + \frac{\left(X_0 - \bar X\right)^2}{SS_{XX}}\right) } \right)\]

Como sucede con la mayoría de los intervalos de confianza (no todos, sin embargo), el intervalo es simétrico alrededor de un punto central, que en este caso es el valor real valor Y previsto para \(X = X_0\).

Este valor central del intervalo de confianza se encuentra simplemente introduciendo el valor de \(X = X_0\) en el modelo de regresión estimado.

Más calculadoras de regresión

Es importante destacar que aquí mostramos cómo calcular el intervalo de confianza de la respuesta media de la predicción de regresión. Si le interesa un intervalo de confianza para la predicción en sí, utilice este Calculadora de intervalos de predicción para predicciones de regresión .

Naturalmente, si estamos hablando de regresión, puedes comprobar esto Calculadora de regresión lineal para el caso de que tengas un predictor, o este Calculadora de regresión lineal múltiple cuando tienes muchos predictores.

Una aplicación interesante es el caso de la Regresión polinomial , en el que hay una variable dependiente Y y un predictor X, pero en realidad también utilizamos las potencias de X como predictores, por lo que técnicamente es una regresión múltiple.

El análisis de regresión es fundamental en estadística y su importancia es innegable. Es crucial garantizar la validez de los resultados de regresión, por lo que es muy recomendable analizar los residuos de regresión , ya que serán cruciales a la hora de evaluar si se cumplen los supuestos de regresión.