Calculadora diferencial

Esta calculadora permitirá que você calcule o diferencial de uma função que você fornecer, em um ponto que você fornecer, mostrando todas as etapas do processo.

A função fornecida pode ser qualquer função diferenciável válida como f(x) = x^2 + 2x ou f(x) = x^2*sin(x), apenas para mencionar dois exemplos.

Então, quando você tiver fornecido a função e o ponto para o cálculo diferencial, basta clicar em "Calcular" para obter todas as etapas do processo mostrado.

A ideia de Diferencial é estreitamente com o da linha tangente e Aproximação Linear , pois o diferencial está medindo com precisão a variação de y, ao longo do Linha tangente no ponto dado.

O que é um diferencial?

No cálculo diferencial, a ideia é que as derivadas fornecem informações sobre a taxa instantânea de variação de uma função em um determinado ponto.

O conceito de diferencial usa o taxa de variação determinado pela derivada em um dado ponto $x_0$ para aproximar o comportamento da função por sua Linha tangente .

A fórmula do diferencial é baseada na ideia de que

$$\displaystyle \Delta y \approx f'(x_0) \Delta x$$

onde $\Delta y = y - f(x_0)$ e $\Delta x = x - x_0$. Para a diferencial $dy$, definimos

$$\displaystyle dy = f'(x_0) dx$$

Essa definição (livre) é baseada na ideia de que a aproximação linear e a função se aproximam do mesmo comportamento quando $x$ está suficientemente próximo de $x_0$.

Etapas para calcular um diferencial

• Passo 1: Identifique a função f(x) e o ponto x0 no qual você deseja calcular a diferencial
• Passo 2: Calcule a derivada f'(x) e calcule-a em x0, para obter f'(x0). Simplifique, se necessário
• Passo 3: Use a fórmula $\displaystyle dy = f'(x_0) dx$

Às vezes, você encontrará o diferencial escrito como $\displaystyle \Delta y = f'(x_0) \Delta x = f'(x_0)(x-x_0)$, como uma forma de indicar que usará o diferencial para estimar mudanças em y, medido por $\Delta y$.

Calculadora diferencial dy

Usando um calculadora diferencial pode economizar tempo com o processo de cálculo da derivada. A ideia do diferencial sempre foi estranha, no sentido de que parece ser vagamente definida.

Embora exista uma maneira de definir diferenciais e suas operações formalmente (um assunto chamado Formas Diferenciais), a maioria dos matemáticos não vê uma razão para a existência de diferenciais, pois eles não fornecem nenhuma informação nova que a derivada ou a aproximação de primeira ordem não forneça.

Interpretação diferencial total

A aplicação e interpretação mais comum do diferencial é quando usado em sua expressão 'finita':

$$\displaystyle \Delta y = f'(x_0) \Delta x = f'(x_0)(x-x_0)$$

onde você está procurando estimar a variação em y, medida por $\Delta y$, da variação em x, medida por $\Delta x$ e a derivada no ponto.

Às vezes, esse $\Delta y$ é chamado de variação total ou diferencial completo .

Dicas e truques

Não se esqueça que a diferencial pode ser tomada como uma definição teórica, $\displaystyle dy = f'(x_0) dx$, que indica a variação infinitesimal em y causada por uma variação infinitesimal em x.

Também pode ser usado em sua forma diferencial total, na qual você tem

$$\displaystyle \Delta y \approx f'(x_0)(x-x_0)$$

que informa uma variação aproximada em y, quando para uma mudança em x (de $x_0$ para $x$).

O centro de todas as calculadoras algébricas começa com o poder dos números básicos das frações.

Exemplo: calculadora diferencial

Considere a função: $f(x) = x^2$. Encontre sua diferencial no ponto $x_0 = 1$.

Solução: No caso deste primeiro exemplo, trabalhamos com a função $\displaystyle f(x)=x^2$, para a qual precisamos calcular sua diferencial no ponto $x_0 = 1$.

A função já veio simplificada, então podemos proceder diretamente ao cálculo de sua derivada:

Diferencial : A fórmula da diferencial para a função $\displaystyle f(x)=x^2$ no ponto $x_0 = 1$ é:

$$dy = f'(x_0)(x - x_0)$$

Definimos $\displaystyle y_0 = f(x_0)$, então inserir o valor do ponto $x_0 = 1$ na função leva a:

$$y_0 = f(x_0) = f\left(1\right) = 1^2 = 1$$

Além disso, inserir o valor do ponto $x_0 = 1$ na derivada calculada leva a:

$$f'(x_0) = f'\left(1\right) = 2\cdot 1 = 2$$

Então, agora inserimos esse valor na fórmula diferencial para obter:

$$dy = f'(x_0)(x - x_0)$$$$\Rightarrow dy = 2\left(x-1\right)$$$$\Rightarrow dy = 2x-2$$

Conclusão : Portanto, descobrimos que a diferencial para a função $\displaystyle f(x)=x^2$ no ponto $x_0 = 1$ é:

$$dy = 2x-2$$

Exemplo: cálculo diferencial

Para a função dada: $f(x) = x^3 + 3x^2 - 2$, encontre a diferencial no ponto $x_0 = 2$.

Solução: Agora, a função para a qual precisamos encontrar a diferencial é $\displaystyle f(x)=x^3+3x^2-2$,

Cálculo Diferencial : Usamos a seguinte fórmula para o diferencial que precisamos construir para a função dada $\displaystyle f(x)=x^3+3x^2-2$, no ponto dado $x_0 = \frac{1}{2}$ é:

$$dy = f'(x_0)(x - x_0)$$

Observe que $\displaystyle y_0 = f(x_0)$, o que significa que avaliando a função em $x_0 = \frac{1}{2}$ encontramos:

$$y_0 = f(x_0) = f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^3+3\left(\frac{1}{2}\right)^2-2 = -\frac{9}{8}$$

Então, obtemos a derivada no ponto $x_0 = \frac{1}{2}$:

$$f'(x_0) = f'\left(\frac{1}{2}\right) = 3\left(\frac{1}{2}\right)^2+6\cdot \frac{1}{2} = \frac{15}{4}$$

Assim, obtemos o seguinte

$$dy = f'(x_0)(x - x_0)$$$$\Rightarrow dy = \left(\frac{15}{4}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)$$$$\Rightarrow dy = \frac{15}{4}x-\frac{15}{8}$$

Conclusão : A conclusão final é que o diferencial que procuramos é dado por:

$$dy = \frac{15}{4}x-\frac{15}{8}$$

Exemplo diferencial

Temos a função: $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$. Encontre sua diferencial no ponto $x_0 = \frac{\pi}{2}$.

Solução:

A seguinte função foi fornecida: $\displaystyle f(x)=\frac{\sin\left(x\right)}{x}$, para a qual precisamos calcular seu diferencial no ponto $x_0 = \frac{\pi}{2}$.

A função já veio simplificada, então podemos proceder diretamente ao cálculo de sua derivada:

Cálculo : Agora é hora de encontrar o diferencial associado a $\displaystyle f(x)=\frac{\sin\left(x\right)}{x}$, para o ponto dado $x_0 = \frac{\pi}{2}$. A fórmula utilizada é:

$$dy = f'(x_0)(x - x_0)$$

Colocamos o valor do ponto $x_0 = \frac{\pi}{2}$ na derivada calculada, o que leva a:

$$f'(x_0) = f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\cos\left(\frac{\pi{}}{2}\right)}{\frac{\pi{}}{2}}-\frac{\sin\left(\frac{\pi{}}{2}\right)}{\left(\frac{\pi{}}{2}\right)^2} = -\frac{4}{\pi{}^2}$$

Portanto, usando a fórmula diferencial:

$$dy = f'(x_0)(x - x_0)$$$$\Rightarrow dy = \left(-\frac{4}{\pi{}^2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\pi{}\right)$$$$\Rightarrow dy = \frac{2}{\pi{}}-\frac{4x}{\pi{}^2}$$

Conclusão : O diferencial correspondente é:

$$dy = \frac{2}{\pi{}}-\frac{4x}{\pi{}^2}$$

Outras calculadoras de diferenciação

Encontrando derivadas é sem dúvida um elemento-chave em Cálculo. Os derivativos fornecem as informações necessárias para entender o taxa de variação de funções. como aqueles têm uma conexão íntima.

Felizmente, encontrar derivadas é um processo sistemático (não necessariamente fácil) se você seguir regras de diferenciação . As regras mais usadas são as Regra Do Produto , Regra Do Quociente e Regra Da Cadeia .

Linear ou aproximações de primeira ordem tenta conceitualmente aproximar uma função por uma linha, pelo menos localmente, e pode dizer muito sobre o comportamento de uma função próximo a um determinado ponto.