Instruções:
Use esta calculadora para calcular a aproximação linear para uma determinada função em um determinado ponto que você fornecer, mostrando todas as etapas. Por favor, digite a função e o ponto na caixa de formulário abaixo.
Calculadora de aproximação linear
Esse
calculadora de linearização
permitirá calcular a aproximação linear, também conhecida como
Linha tangente
para qualquer função válida dada, em um ponto válido dado.
Você precisa fornecer uma função válida como, por exemplo, f(x) = x*sin(x), ou f(x) = x^2 - 2x + 1, ou qualquer função válida que seja diferenciável e um ponto x0 onde a função está bem definida. Este ponto pode ser qualquer expressão numérica válida, como 1/3, por exemplo.
Depois de fornecer uma função e um ponto válidos, clique em "Calcular" e todos os cálculos serão mostrados para você.
Aproximação linear ou de primeira ordem procura uma aproximação da função dada por uma linha, em um dado ponto x0. Naturalmente, para curvas, uma aproximação linear será grosseira, embora a ideia principal seja que a aproximação seja precisa para pontos próximos a x0.
Aproximação linear
A ideia é encontrar uma reta que passe pelo ponto (x0,f(x0)) e "quase não toque" na função f(x). A definição matemática formal de 'mal tocando' é dada pela ideia de
Linha tangente
, para o qual precisamos
Calcular para derivada
da função.
De fato, a fórmula da aproximação linear no ponto x0 depende da derivada f′(x0), como segue
y=f(x0)+f′(x0)(x−x0)
Esse
fórmula de aproximação linear
essencialmente define o
equação de uma linha
que passa pelo ponto (x0,f(x0)), por isso é chamada de "aproximação linear", pois define uma função linear que coincide com f(x) no ponto x0, e é muito próxima de f(x) para valores de x que estão próximos de x0.
Etapas para encontrar a aproximação linear
Passo 1:
Você precisa ter uma dada função f(x) e um ponto x0. A função deve ser diferenciável em x0
Passo 2:
Calcule f(x0) e f'(x0), que são a função e a derivada da função f no ponto x0
Estágio 3:
Defina a aproximação linear como y = f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0), que é a fórmula de linearização apresentada acima
Esta linha, y=f(x0)+f′(x0)(x−x0) representa a aproximação de primeira ordem, também conhecida como aproximação linear local.
Link com linha tangente
Como você provavelmente já deve ter suspeitado, a aproximação linear é a mesma que a
Linha tangente
no ponto dado. Então, calcular a aproximação linear é exatamente o mesmo que calcular a reta tangente
Outro nome para o mesmo é aproximação de primeira ordem, ou aproximação de linha tangente, que também são nomes comumente usados em Cálculo.
Aproximação diferencial e linear
Outro conceito comum é o de diferencial, que está intimamente ligado ao de aproximação linear, sendo simplesmente uma derivação dele. De fato, a diferencial (ou diferença finita) é definida como Δy=y−f(x0). Então, com base na fórmula de aproximação de primeira ordem, a fórmula para o diferencial é
Δy=y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)=f′(x0)Δx
Isso naturalmente se parece exatamente com a fórmula de aproximação linear, exceto que o termo f(x0 é passado para a esquerda.
Exemplo: cálculo de aproximação de primeira ordem.
Considere o seguinte: f(x)=x2−2x+3, encontre sua aproximação de primeira ordem em x0=1.
Solução:
A função fornecida é f(x)=x2−2x+3, e precisamos encontrar a aproximação linear em torno do ponto x = 1. Então, primeiro precisamos da derivada.
dxd(x2−2x+3)
By linearity: dxd(x2−2x+3)=dxd(x2)−dxd(2x)+dxd(3), so plugging that in:
=
dxd(x2)−dxd(2x)+dxd(3)
The derivative of a constant is 0, so then:
=
dxd(x2)−dxd(2x)
Directly: dxd(2x)=2 and using the Power Rule for polynomial terms: dxd(x2)=2x
=
2x−2
Aproximação Linear
: A equação da aproximação linear que procuramos no ponto x0=2 é dada pela seguinte fórmula
y=y0+f′(x0)(x−x0)
Observe que por definição y0=f(x0), o que implica que precisamos plugar a função no ponto x0=2 :
y0=f(x0)=f(2)=22−2⋅2+3=3
Fazemos o mesmo, mas agora para a derivada no ponto x0=2, então
f′(x0)=f′(2)=2⋅2−2=2
Agora com isso, voltamos à fórmula de aproximação linear:
y=y0+f′(x0)(x−x0)⇒y=3+2(x−2)=2x−1
Conclusão
: Concluímos que a aproximação linear para f(x)=x2−2x+3 em x0=2 é dada por:
y=2x−1
Graficamente:
Exemplo: mais aproximação de primeira ordem
Para a função : f(x)=xsin(x) e o ponto x0=2, encontre a aproximação de primeira ordem correspondente.
Solução:
Neste caso, a função que precisamos trabalhar é: f(x)=xsin(x).
Agora calculamos sua derivada:
dxd(xsin(x))
Using the Product Rule: dxd(xsin(x))=dxd(x)⋅sin(x)+x⋅dxd(sin(x))
=
dxd(x)⋅sin(x)+x⋅dxd(sin(x))
Directly differentiating: dxd(sin(x))=cos(x)
=
dxd(x)⋅sin(x)+x⋅cos(x)
Finally, simplifying
=
xcos(x)+sin(x)
Aproximação Linear
: A equação da aproximação linear é:
y=y0+f′(x0)(x−x0)
onde y0=f(x0), então calculamos:
y0=f(x0)=f(2)=2sin(2)
Para a derivada em x0=2 descobrimos que:
f′(x0)=f′(2)=2cos(2)+sin(2)
Agora estamos prontos para colocá-los de volta na fórmula de aproximação de primeira ordem:
Conclusão
: Conclui-se que a aproximação linear de f(x)=xsin(x) no ponto dado x0=2 é calculada como:
y=2xcos(2)+xsin(2)−4cos(2)
Graficamente, obtemos o seguinte gráfico:
Exemplo: cálculo de aproximação linear
Calcule a aproximação de primeira ordem para f(x)=xsin(x) em x=4π.
Solução:
A seguinte função foi fornecida: f(x)=xsin(x), para a qual precisamos calcular sua derivada.
A função já veio simplificada, então podemos proceder diretamente ao cálculo de sua derivada:
dxd(xsin(x))
Using the Quotient Rule: dxd(xsin(x))=x2x⋅dxd(sin(x))−sin(x)⋅dxd(x)
=
x2x⋅dxd(sin(x))−sin(x)⋅dxd(x)
We know that dxd(x)=1
=
x2x⋅dxd(sin(x))−sin(x)
Directly differentiating: dxd(sin(x))=cos(x)
=
x2x⋅cos(x)−sin(x)
Therefore, we get
=
x2xcos(x)−sin(x)
Aproximação De Primeira Ordem
: A equação para a aproximação de primeira ordem correspondente para a função dada f(x)=xsin(x) no ponto dado x0=4π é dada pelo seguinte:
Conclusão
: Podemos concluir, portanto, que a aproximação de primeira ordem para a função dada f(x)=xsin(x) no ponto dado x0=4π é dada por
y=−212+π22x+π42−π282x
O seguinte é obtido graficamente:
Mais calculadoras de derivadas
Além disso
calculadora de linearização
, você pode encontrar muitos que fazem coisas diferentes com base em derivativos. A diferenciação é uma operação crucial em Cálculo, Física, Engenharia e Economia, com um amplo espectro de aplicações.
Existe também uma forma de conduzir uma aproximação linear para mais variáveis, isto é, por exemplo, para uma função \f(x, y)\), caso em que a fórmula de aproximação linear se torna f(x,y)=f(x0,y0)+∂x∂f(x0,y0)(x−x0)+∂y∂f(x0,y0)(y−y0), então neste caso, para encontrar a linearização, precisamos usar
derivadas parciais
.
Encontrar a linearização de uma função não é de longe a única coisa que você pode fazer com derivadas. A diferenciação é uma operação relativamente fácil com regras simples como a
Regra Do Produto
,
a regra do quociente
e a
Regra Da Cadeia
que torna o cálculo de derivativos uma operação relativamente simples.