Calculadora de aproximação linear


Instruções: Use esta calculadora para calcular a aproximação linear para uma determinada função em um determinado ponto que você fornecer, mostrando todas as etapas. Por favor, digite a função e o ponto na caixa de formulário abaixo.

Digite a função f(x)f(x) para a qual deseja a aproximação linear (Ex: f(x) = x*sin(x), etc.)

Insira o ponto x0x_0 para a aproximação linear (Ex: 2/3, etc.)

Calculadora de aproximação linear

Esse calculadora de linearização permitirá calcular a aproximação linear, também conhecida como Linha tangente para qualquer função válida dada, em um ponto válido dado.

Você precisa fornecer uma função válida como, por exemplo, f(x) = x*sin(x), ou f(x) = x^2 - 2x + 1, ou qualquer função válida que seja diferenciável e um ponto x0x_0 onde a função está bem definida. Este ponto pode ser qualquer expressão numérica válida, como 1/3, por exemplo.

Depois de fornecer uma função e um ponto válidos, clique em "Calcular" e todos os cálculos serão mostrados para você.

Aproximação linear ou de primeira ordem procura uma aproximação da função dada por uma linha, em um dado ponto x0x_0. Naturalmente, para curvas, uma aproximação linear será grosseira, embora a ideia principal seja que a aproximação seja precisa para pontos próximos a x0x_0.

Calculadora De Aproximação Linear

Aproximação linear

A ideia é encontrar uma reta que passe pelo ponto (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) e "quase não toque" na função f(x)f(x). A definição matemática formal de 'mal tocando' é dada pela ideia de Linha tangente , para o qual precisamos Calcular para derivada da função.

De fato, a fórmula da aproximação linear no ponto x0x_0 depende da derivada f(x0)f'(x_0), como segue

y=f(x0)+f(x0)(xx0)\displaystyle y = f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0)

Esse fórmula de aproximação linear essencialmente define o equação de uma linha que passa pelo ponto (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)), por isso é chamada de "aproximação linear", pois define uma função linear que coincide com f(x)f(x) no ponto x0x_0, e é muito próxima de f(x)f(x) para valores de xx que estão próximos de x0x_0.

Etapas para encontrar a aproximação linear

  • Passo 1: Você precisa ter uma dada função f(x) e um ponto x0. A função deve ser diferenciável em x0
  • Passo 2: Calcule f(x0) e f'(x0), que são a função e a derivada da função f no ponto x0
  • Estágio 3: Defina a aproximação linear como y = f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0), que é a fórmula de linearização apresentada acima

Esta linha, y=f(x0)+f(x0)(xx0)y = f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0) representa a aproximação de primeira ordem, também conhecida como aproximação linear local.

Link com linha tangente

Como você provavelmente já deve ter suspeitado, a aproximação linear é a mesma que a Linha tangente no ponto dado. Então, calcular a aproximação linear é exatamente o mesmo que calcular a reta tangente

Outro nome para o mesmo é aproximação de primeira ordem, ou aproximação de linha tangente, que também são nomes comumente usados em Cálculo.

Aproximação De Primeira Ordem

Aproximação diferencial e linear

Outro conceito comum é o de diferencial, que está intimamente ligado ao de aproximação linear, sendo simplesmente uma derivação dele. De fato, a diferencial (ou diferença finita) é definida como Δy=yf(x0)\Delta y = y - f(x_0). Então, com base na fórmula de aproximação de primeira ordem, a fórmula para o diferencial é

Δy=yf(x0)=f(x0)(xx0)=f(x0)Δx\displaystyle \Delta y = y - f(x_0) = f'(x_0) (x - x_0) = f'(x_0) \Delta x

Isso naturalmente se parece exatamente com a fórmula de aproximação linear, exceto que o termo f(x0f(x_0 é passado para a esquerda.

Linha Tangente

Exemplo: cálculo de aproximação de primeira ordem.

Considere o seguinte: f(x)=x22x+3f(x) = x^2 - 2x + 3, encontre sua aproximação de primeira ordem em x0=1x_0 = 1.

Solução: A função fornecida é f(x)=x22x+3\displaystyle f(x)=x^2-2x+3, e precisamos encontrar a aproximação linear em torno do ponto x = 1. Então, primeiro precisamos da derivada.

ddx(x22x+3) \displaystyle \frac{d}{dx}\left(x^2-2x+3\right)
By linearity: ddx(x22x+3)=ddx(x2)ddx(2x)+ddx(3)\frac{d}{dx}\left( x^2-2x+3 \right) = \frac{d}{dx}\left(x^2\right)-\frac{d}{dx}\left(2x\right)+\frac{d}{dx}\left(3\right), so plugging that in:
=   \displaystyle = \,\,
ddx(x2)ddx(2x)+ddx(3)\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x^2\right)-\frac{d}{dx}\left(2x\right)+\frac{d}{dx}\left(3\right)
The derivative of a constant is 0, so then:
=   \displaystyle = \,\,
ddx(x2)ddx(2x)\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x^2\right)-\frac{d}{dx}\left(2x\right)
Directly: ddx(2x)=2\frac{d}{dx}\left( 2x \right) = 2 and using the Power Rule for polynomial terms: ddx(x2)=2x\frac{d}{dx}\left( x^2 \right) = 2x
=   \displaystyle = \,\,
2x2\displaystyle 2x-2

Aproximação Linear : A equação da aproximação linear que procuramos no ponto x0=2x_0 = 2 é dada pela seguinte fórmula

y=y0+f(x0)(xx0)y = y_0 + f'(x_0)(x - x_0)

Observe que por definição y0=f(x0)\displaystyle y_0 = f(x_0), o que implica que precisamos plugar a função no ponto x0=2x_0 = 2 :

y0=f(x0)=f(2)=2222+3=3y_0 = f(x_0) = f\left(2\right) = 2^2-2\cdot 2+3 = 3

Fazemos o mesmo, mas agora para a derivada no ponto x0=2x_0 = 2, então

f(x0)=f(2)=222=2f'(x_0) = f'\left(2\right) = 2\cdot 2-2 = 2

Agora com isso, voltamos à fórmula de aproximação linear:

y=y0+f(x0)(xx0)y = y_0 + f'(x_0)(x - x_0) y=3+2(x2)=2x1\Rightarrow y = 3+2\left(x-2\right) = 2x-1

Conclusão : Concluímos que a aproximação linear para f(x)=x22x+3\displaystyle f(x)=x^2-2x+3 em x0=2x_0 = 2 é dada por:

y=2x1y = 2x-1

Graficamente:

Exemplo De Aproximação De Primeira Ordem

Exemplo: mais aproximação de primeira ordem

Para a função : f(x)=xsin(x)f(x) = x \sin(x) e o ponto x0=2x_0 = 2, encontre a aproximação de primeira ordem correspondente.

Solução: Neste caso, a função que precisamos trabalhar é: f(x)=xsin(x)\displaystyle f(x)=x\sin\left(x\right).

Agora calculamos sua derivada:

ddx(xsin(x)) \displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\sin\left(x\right)\right)
Using the Product Rule: ddx(xsin(x))=ddx(x)sin(x)+xddx(sin(x))\frac{d}{dx}\left( x\sin\left(x\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \sin\left(x\right)+x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)
=   \displaystyle = \,\,
ddx(x)sin(x)+xddx(sin(x))\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \sin\left(x\right)+x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)
Directly differentiating: ddx(sin(x))=cos(x)\frac{d}{dx}\left( \sin\left(x\right) \right) = \cos\left(x\right)
=   \displaystyle = \,\,
ddx(x)sin(x)+xcos(x)\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \sin\left(x\right)+x \cdot \cos\left(x\right)
Finally, simplifying
=   \displaystyle = \,\,
xcos(x)+sin(x)\displaystyle x\cos\left(x\right)+\sin\left(x\right)

Aproximação Linear : A equação da aproximação linear é:

y=y0+f(x0)(xx0)y = y_0 + f'(x_0)(x - x_0)

onde y0=f(x0)\displaystyle y_0 = f(x_0), então calculamos:

y0=f(x0)=f(2)=2sin(2)y_0 = f(x_0) = f\left(2\right) = 2\sin\left(2\right)

Para a derivada em x0=2x_0 = 2 descobrimos que:

f(x0)=f(2)=2cos(2)+sin(2)f'(x_0) = f'\left(2\right) = 2\cos\left(2\right)+\sin\left(2\right)

Agora estamos prontos para colocá-los de volta na fórmula de aproximação de primeira ordem:

y=y0+f(x0)(xx0)y = y_0 + f'(x_0)(x - x_0) y=2sin(2)+2cos(2)+sin(2)(x2)=2xcos(2)+xsin(2)4cos(2)\Rightarrow y = 2\sin\left(2\right)+2\cos\left(2\right)+\sin\left(2\right)\left(x-2\right) = 2x\cos\left(2\right)+x\sin\left(2\right)-4\cos\left(2\right)

Conclusão : Conclui-se que a aproximação linear de f(x)=xsin(x)\displaystyle f(x)=x\sin\left(x\right) no ponto dado x0=2x_0 = 2 é calculada como:

y=2xcos(2)+xsin(2)4cos(2)y = 2x\cos\left(2\right)+x\sin\left(2\right)-4\cos\left(2\right)

Graficamente, obtemos o seguinte gráfico:

Exemplo De Aproximação De Primeira Ordem

Exemplo: cálculo de aproximação linear

Calcule a aproximação de primeira ordem para f(x)=sin(x)x f(x) = \frac{\sin(x)}{x} em x=π4x = \frac{\pi}{4}.

Solução: A seguinte função foi fornecida: f(x)=sin(x)x\displaystyle f(x)=\frac{\sin\left(x\right)}{x}, para a qual precisamos calcular sua derivada.

A função já veio simplificada, então podemos proceder diretamente ao cálculo de sua derivada:

ddx(sin(x)x) \displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin\left(x\right)}{x}\right)
Using the Quotient Rule: ddx(sin(x)x)=xddx(sin(x))sin(x)ddx(x)x2\frac{d}{dx}\left( \frac{\sin\left(x\right)}{x} \right) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)-\sin\left(x\right)\cdot \frac{d}{dx}\left(x\right)}{x^2}
=   \displaystyle = \,\,
xddx(sin(x))sin(x)ddx(x)x2\displaystyle \frac{x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)-\sin\left(x\right)\cdot \frac{d}{dx}\left(x\right)}{x^2}
We know that ddx(x)=1\frac{d}{dx}\left(x\right) = 1
=   \displaystyle = \,\,
xddx(sin(x))sin(x)x2\displaystyle \frac{x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)-\sin\left(x\right)}{x^2}
Directly differentiating: ddx(sin(x))=cos(x)\frac{d}{dx}\left( \sin\left(x\right) \right) = \cos\left(x\right)
=   \displaystyle = \,\,
xcos(x)sin(x)x2\displaystyle \frac{x \cdot \cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)}{x^2}
Therefore, we get
=   \displaystyle = \,\,
xcos(x)sin(x)x2\displaystyle \frac{x\cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)}{x^2}

Aproximação De Primeira Ordem : A equação para a aproximação de primeira ordem correspondente para a função dada f(x)=sin(x)x\displaystyle f(x)=\frac{\sin\left(x\right)}{x} no ponto dado x0=π4x_0 = \frac{\pi}{4} é dada pelo seguinte:

y=y0+f(x0)(xx0)y = y_0 + f'(x_0)(x - x_0)

Conectando os valores correspondentes:

y0=f(x0)=f(π4)=sin(π4)π4=22πy_0 = f(x_0) = f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi{}}{4}\right)}{\frac{\pi{}}{4}} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi{}} f(x0)=f(π4)=cos(π4)π4sin(π4)(π4)2=22π82π2f'(x_0) = f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\cos\left(\frac{\pi{}}{4}\right)}{\frac{\pi{}}{4}}-\frac{\sin\left(\frac{\pi{}}{4}\right)}{\left(\frac{\pi{}}{4}\right)^2} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi{}}-\frac{8\sqrt{2}}{\pi{}^2}

Então agora podemos colocar isso na fórmula:

y=y0+f(x0)(xx0)y = y_0 + f'(x_0)(x - x_0) y=22π+22π82π2(x14π)=122+22xπ+42π82xπ2\Rightarrow y = \frac{2\sqrt{2}}{\pi{}}+\frac{2\sqrt{2}}{\pi{}}-\frac{8\sqrt{2}}{\pi{}^2}\left(x-\frac{1}{4}\pi{}\right) = -\frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{2\sqrt{2}x}{\pi{}}+\frac{4\sqrt{2}}{\pi{}}-\frac{8\sqrt{2}x}{\pi{}^2}

Conclusão : Podemos concluir, portanto, que a aproximação de primeira ordem para a função dada f(x)=sin(x)x\displaystyle f(x)=\frac{\sin\left(x\right)}{x} no ponto dado x0=π4x_0 = \frac{\pi}{4} é dada por

y=122+22xπ+42π82xπ2y = -\frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{2\sqrt{2}x}{\pi{}}+\frac{4\sqrt{2}}{\pi{}}-\frac{8\sqrt{2}x}{\pi{}^2}

O seguinte é obtido graficamente:

Exemplo De Aproximação De Primeira Ordem

Mais calculadoras de derivadas

Além disso calculadora de linearização , você pode encontrar muitos que fazem coisas diferentes com base em derivativos. A diferenciação é uma operação crucial em Cálculo, Física, Engenharia e Economia, com um amplo espectro de aplicações.

Existe também uma forma de conduzir uma aproximação linear para mais variáveis, isto é, por exemplo, para uma função \f(x, y)\), caso em que a fórmula de aproximação linear se torna f(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0)f(x, y) = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y-y_0), então neste caso, para encontrar a linearização, precisamos usar derivadas parciais .

Encontrar a linearização de uma função não é de longe a única coisa que você pode fazer com derivadas. A diferenciação é uma operação relativamente fácil com regras simples como a Regra Do Produto , a regra do quociente e a Regra Da Cadeia que torna o cálculo de derivativos uma operação relativamente simples.

Embora deva ser simples, é uma boa ideia usar um calculadora derivada para obter todas as etapas mostradas, com uma menção clara de todos os Regras de Derivadas usado.

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