Calculadora de linha tangente


Instruções: Use esta calculadora para calcular a reta tangente para uma determinada função, em um determinado ponto, mostrando todas as etapas. Por favor, digite a função e o ponto correspondente na caixa de formulário abaixo.

Digite a função f(x)f(x) para a qual deseja encontrar a reta tangente (Ex: f(x) = 2x^3 + 3x - 4/5, etc.)

Insira o ponto x0x_0 para a aproximação linear (Ex: 2/3, etc.)

Sobre esta calculadora de linha tangente

Esta calculadora permitirá que você realize os cálculos necessários para obter a reta tangente de uma função, em um determinado ponto, mostrando todas as etapas.

Tudo o que você precisa fazer é fornecer uma função válida f(x) e um ponto onde deseja a linha tangente. A função pode ser qualquer função diferenciável válida como f(x) = sin(x) ou f(x) = x^2 - x + 1, etc. O ponto pode ser qualquer expressão numérica válida, como 1/2 para exemplo.

Então, quando as informações necessárias forem fornecidas e forem válidas, você precisará clicar em "Calcular" para obter todas as etapas da equação da reta tangente mostradas a você.

Aplicações de linha tangente são abundantes na ciência ao redor. Também chamado primeira ordem ou aproximação linear , tem um significado muito profundo em Física e Engenharia, onde a ideia da principal contribuição para a mudança (a parte de primeira ordem) é aquela que revela muitas informações sobre um processo.

Calculadora De Linha Tangente

Qual é a reta tangente

Em termos simples, uma linha tangente é uma linha que intercepta uma curva, mas a intercepta em apenas um ponto (pelo menos localmente). Esta linha tangente é construída fixando um ponto x0x_0 e tomando um ponto diferente x1x_1.

Então, construindo a reta que passa pelos pontos (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) e (x1,f(x1))(x_1, f(x_1)), obtemos o que chamamos de Linha Secante , conforme o gráfico abaixo:

Linha Secante

Finalmente, deixamos o ponto x1x_1 se aproximar de x0x_0, e o que obtemos é a reta tangente:

Linha Tangente

Etapas para encontrar a linha tangente geometricamente

  • Passo 1: Identifique a função f(x) com a qual deseja trabalhar e o ponto x0. Você precisa dos dois
  • Passo 2: O ponto (x0, f(x0)) estará na curva da função f(x). Plote isso
  • Estágio 3: Escolha um ponto (x1, f(x1)), para um x1 diferente de x0 (pode estar à esquerda ou à direita de x). Plote isso
  • Passo 4: Desenhe uma linha passando pelos pontos (x0, f(x0)) e (x1, f(x1))
  • Passo 5: Escolha um ponto x2 que esteja a meio caminho entre x0 e x1 e desenhe uma linha passando pelos pontos (x0, f(x0)) e (x2, f(x2))
  • Passo 6: Repita este processo algumas vezes

Este método gráfico ajudará você a ter uma ideia aproximada de como a linha tangente se parece, mas é uma aproximação (a menos que a função f(x) seja linear).

Fórmula da linha tangente

O método de aproximação usando linhas secantes pode dar uma ideia do que você está procurando, mas felizmente existe uma fórmula exata para calcular a linha tangente a uma função em um ponto x0x_0. A fórmula da reta tangente é:

y=f(x0)+f(x0)(xx0)\displaystyle y = f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0)

Simples, né? Em termos simples, esta fórmula está dizendo que a linha tangente é um linha que passa pelo ponto (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) e que tem uma inclinação de m=f(x0)m = f'(x_0)

Então, em termos simples, a inclinação da reta tangente em um determinado ponto é exatamente a derivada da função naquele ponto.

Aproximação De Primeira Ordem

Etapas para aplicar a fórmula da linha tangente

  • Passo 1: Identifique a função f(x) e o ponto x0
  • Passo 2: Calcule o valor da função em x0, que é f(x0)
  • Estágio 3: Calcule a derivada de f(x) no ponto x0, então você precisa de f'(x0)
  • Passo 4: Aplique diretamente a fórmula da reta tangente y=f(x0)+f(x0)(xx0)y = f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0)

Assim que tiver o equação da linha , você pode transformá-lo no formato que for mais útil para a situação em questão.

A inclinação da reta tangente

Uma das principais conclusões é que a inclinação da linha tangente em x0x_0 é exatamente f(x0)f'(x_0), que é a derivada no ponto x0x_0. Isso fornece uma interpretação clara e extremamente útil da derivada em termos geométricos.

Esta conexão permite encontrar a equação da reta tangente a uma determinada curva em um determinado ponto simplesmente olhando para a derivada da função.

Quando você tem uma linha tangente horizontal?

Uma linha tangente horizontal ocorrerá quando o ponto escolhido x0x_0 quando a derivada correspondente naquele ponto for igual a zero. Nesse caso, a linha tangente (que é a linha que toca a curva em um ponto localmente) será paralela ao eixo y.

Então, tudo que você precisa saber para identificar retas tangentes horizontais é encontrar pontos onde a derivada da função é zero.

Quando você tem uma linha tangente vertical?

Uma linha tangente vertical ocorrerá quando a derivada for "infinita" em um ponto. Essa é uma forma simples de dizer que é onde a derivada não está definida em um determinado ponto, mas converge para o infinito conforme nos aproximamos do ponto.

Por exemplo, pode-se dizer que f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} tem uma reta tangente vertical em x = 0. No entanto, pode-se argumentar que não há reta tangente porque a derivada não está bem definida em x = 0.

Linha Tangente

Exemplo: linha tangente

Encontre a equação da reta tangente para f(x)=x22x+1f(x) = x^2 - 2x + 1, no ponto x0=2x_0 = 2.

Solução: A seguinte função é aquela com a qual precisamos trabalhar: f(x)=x22x+1\displaystyle f(x)=x^2-2x+1. Primeiro, precisamos calcular sua derivada.

A função já veio simplificada, então podemos proceder diretamente ao cálculo de sua derivada:

ddx(x22x+1) \displaystyle \frac{d}{dx}\left(x^2-2x+1\right)
By linearity, we know ddx(x22x+1)=ddx(x2)ddx(2x)+ddx(1)\frac{d}{dx}\left( x^2-2x+1 \right) = \frac{d}{dx}\left(x^2\right)-\frac{d}{dx}\left(2x\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right), so plugging that in:
=   \displaystyle = \,\,
ddx(x2)ddx(2x)+ddx(1)\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x^2\right)-\frac{d}{dx}\left(2x\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)
Since the derivative of a constant is 0, we find that:
=   \displaystyle = \,\,
ddx(x2)ddx(2x)\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x^2\right)-\frac{d}{dx}\left(2x\right)
Directly we get: ddx(2x)=2\frac{d}{dx}\left( 2x \right) = 2 and using the Power Rule for polynomial terms: ddx(x2)=2x\frac{d}{dx}\left( x^2 \right) = 2x
=   \displaystyle = \,\,
2x2\displaystyle 2x-2

Linha Tangente : A equação da reta tangente para a função f(x)=x22x+1\displaystyle f(x)=x^2-2x+1 no ponto x0=2x_0 = 2 é:

y=y0+f(x0)(xx0)y = y_0 + f'(x_0)(x - x_0)

Neste caso, y0=f(x0)\displaystyle y_0 = f(x_0), então inserir o valor do ponto x0=2x_0 = 2 na função leva a:

y0=f(x0)=f(2)=2222+1=1y_0 = f(x_0) = f(2) = 2^2-2\cdot 2+1 = 1

Além disso, inserir o valor do ponto x0=2x_0 = 2 na derivada calculada leva a:

f(x0)=f(2)=222=2f'(x_0) = f'(2) = 2\cdot 2-2 = 2

Então, agora inserimos esses valores na fórmula da linha tangente para obter:

y=y0+f(x0)(xx0)y = y_0 + f'(x_0)(x - x_0) y=1+2(x2)=2x3\Rightarrow y = 1+2\left(x-2\right) = 2x-3

Conclusão : Portanto, verifica-se que a reta tangente para a função f(x)=x22x+1\displaystyle f(x)=x^2-2x+1 no ponto x0=2x_0 = 2 é:

y=2x3y = 2x-3

O gráfico a seguir é obtido para a função dada e sua reta tangente em x0=2x_0 = 2:

Exemplo De Linha Tangente

Exemplo: equação da reta tangente

Qual é a reta tangente em x = 1/2, para a função f(x)=sin(x)+1f(x) = \sin(x) + 1?

Solução:

A seguinte função foi fornecida: f(x)=sin(x)+1\displaystyle f(x)=\sin\left(x\right)+1, para a qual precisamos calcular sua derivada.

A função já veio simplificada, então podemos proceder diretamente ao cálculo de sua derivada:

ddx(sin(x)+1) \displaystyle \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)+1\right)
By linearity, we know ddx(sin(x)+1)=ddx(sin(x))+ddx(1)\frac{d}{dx}\left( \sin(x)+1 \right) = \frac{d}{dx}\left(\sin(x)\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right), so plugging that in:
=   \displaystyle = \,\,
ddx(sin(x))+ddx(1)\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)
The derivative of a constant is 0, so then:
=   \displaystyle = \,\,
ddx(sin(x))\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)
Directly differentiating: ddx(sin(x))=cos(x)\frac{d}{dx}\left( \sin\left(x\right) \right) = \cos\left(x\right)
=   \displaystyle = \,\,
cos(x)\displaystyle \cos\left(x\right)

Linha Tangente : Descobrimos que a equação correspondente da reta tangente no ponto x0=12x_0 = \frac{1}{2} é dada por:

y=y0+f(x0)(xx0)y = y_0 + f'(x_0)(x - x_0)

Mas neste caso específico, y0=f(x0)\displaystyle y_0 = f(x_0), o que significa que precisamos inserir o valor do ponto x0=12x_0 = \frac{1}{2} na função, então obtemos:

y0=f(x0)=f(12)=sin(12)+1y_0 = f(x_0) = f\left(\frac{1}{2}\right) = \sin\left(\frac{1}{2}\right)+1

Agora, fazendo o mesmo na derivada, para x0=12x_0 = \frac{1}{2} encontramos

f(x0)=f(12)=cos(12)f'(x_0) = f'\left(\frac{1}{2}\right) = \cos\left(\frac{1}{2}\right)

Agora só precisamos inserir os valores, então descobrimos que

y=y0+f(x0)(xx0)y = y_0 + f'(x_0)(x - x_0) y=sin(12)+1+cos(12)(x12)=xcos(12)12cos(12)+sin(12)+1\Rightarrow y = \sin\left(\frac{1}{2}\right)+1+\cos\left(\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right) = x\cos\left(\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\cos\left(\frac{1}{2}\right)+\sin\left(\frac{1}{2}\right)+1

Conclusão : Descobrimos que a linha tangente correspondente que estamos procurando, no ponto correspondente x0=12x_0 = \frac{1}{2} é dada por

y=xcos(12)12cos(12)+sin(12)+1y = x\cos\left(\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\cos\left(\frac{1}{2}\right)+\sin\left(\frac{1}{2}\right)+1

Graficamente:

Exemplo De Linha Tangente

Exemplo: outra reta tangente

Qual é a reta tangente em x = 0, para a função f(x)=cos(x)f(x) = \cos(x)? Esse resultado faz sentido?

Solução: Observe que f(x)=sin(x)f'(x) = -\sin(x), então f(0)=sin(0)=0f'(0) = -\sin(0) = 0. Isto é, a reta tangente tem uma inclinação de m = 0 em x = 0, então a equação da reta tangente é simplesmente y=y0=cos(0)=1y = y_0 = \cos(0) = 1. Isso faz sentido porque, nesse caso, a linha tangente é uma linha horizontal.

Mais calculadoras de diferenciação

Algumas pessoas podem afirmar que a diferenciação é um exercício relativamente simples e que o uso de uma calculadora derivada pode não ser necessário, mas, na verdade, o cálculo de derivadas ainda pode ser bastante complicado e pode exigir longos cálculos algébricos .

Quando você tem uma expressão com mais de uma variável, para encontrar a derivada você precisará determinar se as variáveis são independentes umas das outras, caso em que você usa derivadas parciais , ou se houver uma equação que vincule as variáveis, caso em que você precisaria usar diferenciação implícita .

As duas principais áreas do cálculo diferencial são integração e diferenciação, e ambas têm suas amplas aplicações em todos os lugares. derivadas parciais aparecem em grande extensão em aplicações de Engenharia e Economia.

Por um lado, a diferenciação lida com taxas infinitesimais de mudança, enquanto a integração lida com a soma de taxas infinitesimais de mudança e, admiravelmente, elas estão fortemente ligadas pela Teorema Fundamental do Cálculo .

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