Calculadora de linha tangente
Instruções: Use esta calculadora para calcular a reta tangente para uma determinada função, em um determinado ponto, mostrando todas as etapas. Por favor, digite a função e o ponto correspondente na caixa de formulário abaixo.
Sobre esta calculadora de linha tangente
Esta calculadora permitirá que você realize os cálculos necessários para obter a reta tangente de uma função, em um determinado ponto, mostrando todas as etapas.
Tudo o que você precisa fazer é fornecer uma função válida f(x) e um ponto onde deseja a linha tangente. A função pode ser qualquer função diferenciável válida como f(x) = sin(x) ou f(x) = x^2 - x + 1, etc. O ponto pode ser qualquer expressão numérica válida, como 1/2 para exemplo.
Então, quando as informações necessárias forem fornecidas e forem válidas, você precisará clicar em "Calcular" para obter todas as etapas da equação da reta tangente mostradas a você.
Aplicações de linha tangente são abundantes na ciência ao redor. Também chamado primeira ordem ou aproximação linear , tem um significado muito profundo em Física e Engenharia, onde a ideia da principal contribuição para a mudança (a parte de primeira ordem) é aquela que revela muitas informações sobre um processo.

Qual é a reta tangente
Em termos simples, uma linha tangente é uma linha que intercepta uma curva, mas a intercepta em apenas um ponto (pelo menos localmente). Esta linha tangente é construída fixando um ponto e tomando um ponto diferente .
Então, construindo a reta que passa pelos pontos e , obtemos o que chamamos de Linha Secante , conforme o gráfico abaixo:

Finalmente, deixamos o ponto se aproximar de , e o que obtemos é a reta tangente:

Etapas para encontrar a linha tangente geometricamente
- Passo 1: Identifique a função f(x) com a qual deseja trabalhar e o ponto x0. Você precisa dos dois
- Passo 2: O ponto (x0, f(x0)) estará na curva da função f(x). Plote isso
- Estágio 3: Escolha um ponto (x1, f(x1)), para um x1 diferente de x0 (pode estar à esquerda ou à direita de x). Plote isso
- Passo 4: Desenhe uma linha passando pelos pontos (x0, f(x0)) e (x1, f(x1))
- Passo 5: Escolha um ponto x2 que esteja a meio caminho entre x0 e x1 e desenhe uma linha passando pelos pontos (x0, f(x0)) e (x2, f(x2))
- Passo 6: Repita este processo algumas vezes
Este método gráfico ajudará você a ter uma ideia aproximada de como a linha tangente se parece, mas é uma aproximação (a menos que a função f(x) seja linear).
Fórmula da linha tangente
O método de aproximação usando linhas secantes pode dar uma ideia do que você está procurando, mas felizmente existe uma fórmula exata para calcular a linha tangente a uma função em um ponto . A fórmula da reta tangente é:
Simples, né? Em termos simples, esta fórmula está dizendo que a linha tangente é um linha que passa pelo ponto e que tem uma inclinação de
Então, em termos simples, a inclinação da reta tangente em um determinado ponto é exatamente a derivada da função naquele ponto.

Etapas para aplicar a fórmula da linha tangente
- Passo 1: Identifique a função f(x) e o ponto x0
- Passo 2: Calcule o valor da função em x0, que é f(x0)
- Estágio 3: Calcule a derivada de f(x) no ponto x0, então você precisa de f'(x0)
- Passo 4: Aplique diretamente a fórmula da reta tangente
Assim que tiver o equação da linha , você pode transformá-lo no formato que for mais útil para a situação em questão.
A inclinação da reta tangente
Uma das principais conclusões é que a inclinação da linha tangente em é exatamente , que é a derivada no ponto . Isso fornece uma interpretação clara e extremamente útil da derivada em termos geométricos.
Esta conexão permite encontrar a equação da reta tangente a uma determinada curva em um determinado ponto simplesmente olhando para a derivada da função.
Quando você tem uma linha tangente horizontal?
Uma linha tangente horizontal ocorrerá quando o ponto escolhido quando a derivada correspondente naquele ponto for igual a zero. Nesse caso, a linha tangente (que é a linha que toca a curva em um ponto localmente) será paralela ao eixo y.
Então, tudo que você precisa saber para identificar retas tangentes horizontais é encontrar pontos onde a derivada da função é zero.
Quando você tem uma linha tangente vertical?
Uma linha tangente vertical ocorrerá quando a derivada for "infinita" em um ponto. Essa é uma forma simples de dizer que é onde a derivada não está definida em um determinado ponto, mas converge para o infinito conforme nos aproximamos do ponto.
Por exemplo, pode-se dizer que tem uma reta tangente vertical em x = 0. No entanto, pode-se argumentar que não há reta tangente porque a derivada não está bem definida em x = 0.

Exemplo: linha tangente
Encontre a equação da reta tangente para , no ponto .
Solução: A seguinte função é aquela com a qual precisamos trabalhar: . Primeiro, precisamos calcular sua derivada.
A função já veio simplificada, então podemos proceder diretamente ao cálculo de sua derivada:
Linha Tangente : A equação da reta tangente para a função no ponto é:
Neste caso, , então inserir o valor do ponto na função leva a:
Além disso, inserir o valor do ponto na derivada calculada leva a:
Então, agora inserimos esses valores na fórmula da linha tangente para obter:
Conclusão : Portanto, verifica-se que a reta tangente para a função no ponto é:
O gráfico a seguir é obtido para a função dada e sua reta tangente em :

Exemplo: equação da reta tangente
Qual é a reta tangente em x = 1/2, para a função ?
Solução:
A seguinte função foi fornecida: , para a qual precisamos calcular sua derivada.
A função já veio simplificada, então podemos proceder diretamente ao cálculo de sua derivada:
Linha Tangente : Descobrimos que a equação correspondente da reta tangente no ponto é dada por:
Mas neste caso específico, , o que significa que precisamos inserir o valor do ponto na função, então obtemos:
Agora, fazendo o mesmo na derivada, para encontramos
Agora só precisamos inserir os valores, então descobrimos que
Conclusão : Descobrimos que a linha tangente correspondente que estamos procurando, no ponto correspondente é dada por
Graficamente:

Exemplo: outra reta tangente
Qual é a reta tangente em x = 0, para a função ? Esse resultado faz sentido?
Solução: Observe que , então . Isto é, a reta tangente tem uma inclinação de m = 0 em x = 0, então a equação da reta tangente é simplesmente . Isso faz sentido porque, nesse caso, a linha tangente é uma linha horizontal.
Mais calculadoras de diferenciação
Algumas pessoas podem afirmar que a diferenciação é um exercício relativamente simples e que o uso de uma calculadora derivada pode não ser necessário, mas, na verdade, o cálculo de derivadas ainda pode ser bastante complicado e pode exigir longos cálculos algébricos .
Quando você tem uma expressão com mais de uma variável, para encontrar a derivada você precisará determinar se as variáveis são independentes umas das outras, caso em que você usa derivadas parciais , ou se houver uma equação que vincule as variáveis, caso em que você precisaria usar diferenciação implícita .
As duas principais áreas do cálculo diferencial são integração e diferenciação, e ambas têm suas amplas aplicações em todos os lugares. derivadas parciais aparecem em grande extensão em aplicações de Engenharia e Economia.
Por um lado, a diferenciação lida com taxas infinitesimais de mudança, enquanto a integração lida com a soma de taxas infinitesimais de mudança e, admiravelmente, elas estão fortemente ligadas pela Teorema Fundamental do Cálculo .