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Calculadora de derivada parcial

Instruções: Use esta calculadora de derivada parcial para encontrar a derivada de uma função de mais de uma variável que você fornece em relação a uma variável específica, mostrando todas as etapas do processo. Digite a função para a qual deseja calcular a derivada na caixa abaixo.

Sobre derivada parcial

Esta calculadora permitirá que você calcule a derivada parcial de qualquer função diferenciável válida que você fornecer, em relação a uma determinada variável. A função que você fornece precisa vir com uma definição de função, como f(x, y) = x^3 + y^2. Se você escrever algo como xy+x^2, sem a definição completa, será assumido que uma função de duas variáveis x e y é fornecida. Depois de fornecer uma função diferenciável válida e uma variável válida, o próximo passo é clicar no botão "Calcular" para ver todas as etapas do processo, com todas as regras derivadas usadas , afirmou explicitamente. Derivativos , e sua extensão natural para derivadas parciais de variáveis múltiplas estão entre os assuntos de estudo mais importantes em matemática, ponto final. Isso ocorre porque eles lidam com uma taxa de mudança e fluxo de muitos modelos que aparecem em aplicativos com frequência.

O que é uma derivada parcial?

Em termos simples, uma derivada parcial consiste em realizar o mesmo que uma diferenciação regular com respeito a uma variável, assumindo que o resto das variáveis são constantes. Se fôssemos definir formalmente uma derivada parcial, vamos torná-la mais fácil e fazê-lo para uma função de duas variáveis,

x

y

. A derivada parcial em relação a

x

no ponto

(x_0, y_0)

\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h}

Então, como podemos ver, é essencialmente o mesmo que a definição da derivada regular, só que existe uma outra variável, mas ela permanece constante no processo de cálculo.

Da mesma forma, a derivada parcial em relação a $y$ no ponto $(x_0, y_0)$ é

\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + h) - f(x_0, y_0)}{h}

O vetor de todas as derivadas parciais é chamado de gradiente. Se você realmente precisa obter todas as derivadas parciais, pode usar isso calculadora de gradiente .

Etapas para calcular derivadas parciais

Passo 1: Identifique a função da qual você deseja calcular a derivada parcial. Certifique-se de simplificá-lo primeiro
Passo 2: Observe que nem todas as funções são diferenciáveis, então você precisa ter certeza de que a função envolvida é realmente diferenciável
Passo 3: Use todas as regras de derivação apropriadas para a função e diferencie a função como faria normalmente em relação à variável diferenciável e considere qualquer outra variável como constante

Desta forma, quando fazemos a derivada parcial em relação a x para algo como 'x^2+y^2', no processo de diferenciação parcial em relação a x, a variável y é tratada como uma constante. Então nós conseguiríamos

\frac{\partial (x^2+y^2)}{\partial x} = \frac{\partial (x^2)}{\partial x} + \frac{\partial (y^2)}{\partial x} = 2x

e neste caso $\frac{\partial (y^2)}{\partial x} = 0$ porque y é assumido como constante em relação a x.

Por que usar uma calculadora de derivada parcial

Calcular derivadas parciais pode ser um exercício relativamente simples, mas não significa que seja necessariamente fácil. É importante ser muito sistemático na hora de aplicar os Regras de Derivadas .

Usar uma calculadora de derivada parcial com etapas pode ajudá-lo a pelo menos verificar seu resultado e poder ver exatamente quais são as etapas corretas e quais regras de derivação precisam ser usadas.

Particularmente em problemas complexos, com expressões algebricamente complicadas, uma calculadora pode realmente ser útil.

Quais são as regras de derivadas para derivadas parciais?

Eles são exatamente iguais aos das derivadas regulares. Para derivadas parciais temos linearidade, o Regra Do Produto , o Regra Da Cadeia e a Regra Do Quociente . Normalmente, você acabará usando uma combinação de todas essas regras para os exemplos de derivadas mais complexos.

O que é diferenciação implícita

Há uma situação em que há mais de uma variável envolvida na qual não assumimos, por exemplo, que y muda com x, como fazemos em derivadas parciais. Em alguns casos, quando existe uma equação ligando as variáveis, assumimos que existe uma relação implícita entre y e x e escrevemos y = y(x).

Este é o contexto de diferenciação implícita , que é uma espécie de híbrido entre diferenciação parcial e diferenciação regular.

E há realmente uma coisa que não pode ser exagerada: derivadas parciais são realmente uma das principais ferramentas usadas em Engenharia, Física e Economia.

Exemplo: cálculo de derivada parcial

Calcule a derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial y}$ para: $f(x,y) = \sin(xy)$

Solução:

que conclui o cálculo.

Exemplo: diferenciação parcial

Calcule a derivada parcial em relação a $x$ de: $f(x, y) = x^2 + y^2$

Solução: A função fornecida é: $\displaystyle f(x,y)=x^2+y^2$ , para a qual precisamos calcular sua derivada parcial em relação à variável $x$ .

A função não precisa de mais simplificação, então podemos prosseguir diretamente para calcular sua derivada parcial:

\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+y^2\right)

By linearity, we know

\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2+y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)

, so plugging that in:

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)

The derivative of a constant with respect to

x

is 0, so then:

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)

Using the Power Rule for polynomial terms:

\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2 \right) = 2x

\displaystyle = \,\,

\displaystyle 2x

Exemplo: outro exemplo de derivada parcial

Considere a função $f(x, y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$ , encontre suas derivadas parciais $\frac{\partial f}{\partial x}$ e $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Solução: Neste caso, a função é: $\displaystyle f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$ , para a qual precisamos calcular suas derivadas parciais.

A função já veio simplificada, então podemos prosseguir diretamente:

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{xy}{x^2+y^2}\right)

Directly applying Quotient Rule:

\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{xy}{x^2+y^2} \right) = \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}

The linearity property indicates that

\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2+y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)

, so plugging that in:

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}

But we know that the derivative of a constant with respect to

x

is equal to 0, so then we get that:

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}

Applying the Power Rule for polynomial terms:

\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2 \right) = 2x

and directly we get:

\frac{\partial }{\partial x}\left( xy \right) = y

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot y-xy\left(2x\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}

and consequently

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{y\left(x^2+y^2\right)-xy\cdot 2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}

We can put the integers together and then we can group the terms with

x

in the term

\left(-1\right)xy\cdot 2x

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{y\left(x^2+y^2\right)+2\cdot \left(-1\right)x^2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}

Simplifying:

\displaystyle 2\times(-1) = -2

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{y\left(x^2+y^2\right)-2x^2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}

Observe the following:

y \cdot (x^2+y^2) = yx^2+yy^2 = x^2y+y^3

, by using the distributive property on each term of the expression on the left, with respect to the terms on the right

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{x^2y+y^3-2x^2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}

Hence, we find

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{-\left(x+y\right)\left(x-y\right)y}{\left(x^2+y^2\right)^2}

Agora, por outro lado:

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{xy}{x^2+y^2}\right)

Using the Quotient Rule:

\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{xy}{x^2+y^2} \right) = \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}

By linearity, we know

\frac{\partial }{\partial y}\left( x^2+y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)

, so plugging that in:

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}

Since the derivative of a constant with respect to

y

is 0, we find that:

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}

Using the Power Rule for polynomial terms:

\frac{\partial }{\partial y}\left( y^2 \right) = 2y

and directly we get:

\frac{\partial }{\partial y}\left( xy \right) = x

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot x-xy\left(2y\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}

and then we find

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{x\left(x^2+y^2\right)-xy\cdot 2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}

Putting together the numerical values and grouping the terms with

y

in the term

\left(-1\right)xy\cdot 2y

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{x\left(x^2+y^2\right)+2\cdot \left(-1\right)y^2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}

Reducing integers that can be multiplied:

\displaystyle 2\times(-1) = -2

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{x\left(x^2+y^2\right)-2y^2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}

We find that

(x) \cdot (x^2+y^2) = xx^2+xy^2 = x^3+xy^2

, due to the fact that we can use the distributive property on each term of the expression on the left, with respect to the terms on the right

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{x^3+xy^2-2y^2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}

Reorganizing/simplifying/expanding the expression

\displaystyle = \,\,

\displaystyle \frac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)x}{\left(x^2+y^2\right)^2}

Mais calculadoras de cálculo

O conceito de Derivada está no centro do Cálculo, e o uso de uma calculadora derivada pode ajudá-lo muito em muitas aplicações diferentes de cálculo, incluindo otimização, um dos 'biggies'.

A ideia de derivada estende-se naturalmente ao caso de função com muitas variáveis, onde Calculadora de Derivada Parcial fará o mesmo que uma derivada regular, mas agora apenas uma variável é considerada variável, enquanto as outras variáveis são consideradas fixas.

Muitas vezes, você sabe que $y$ depende de $x$ , mas não explicitamente, mas implicitamente, por meio de uma equação de ligação, caso em que você pode usar diferenciação implícita para usar as regras de derivadas para obter uma expressão para a qual você pode resolver a derivada $\frac{d f}{d x}$ .