Mais sobre esta calculadora de produto escalar

Esta calculadora permitirá que você calcule o produto escalar de dois vetores, mostrando todas as etapas. Tudo que você precisa fazer é digitar os vetores e clicar em 'Calcular'.

O produto escalar tem MUITAS aplicações em Álgebra Linear, para computar projeções e avaliar perpendicularidade de vetores.

De fato, geometricamente falando, um produto escalar igual a zero implica que os dois vetores são perpendicular .

A fórmula do produto escalar

então, como você calcula o produto escalar? O produto escalar é uma operação realizada para dois vetores \(x\) e \(y\), e o resultado da operação é um escalar. A fórmula para o produto escalar é mostrada abaixo:

\[ \langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i \]

O produto escalar \(\langle x,y \rangle\) é conhecido por nomes diferentes e também é chamado, produto Interno ou produto escalar . Essencialmente, o produto escalar é o produto matricial se considerarmos \(x \in \mathbb{R}^n\) e \(y \in \mathbb{R}^n\), então o produto escalar é definido como:

\[ \langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i = x^t \cdot y \]

Esta fórmula é fácil de lembrar ao contrário do caso do produto cruzado . É fácil calcular o produto escalar manualmente, pois no caso do produto escalar você multiplica o componente correspondente e depois os soma.

Aplicações de dot product

Alguns usos do produto escalar são super legais e práticos: O Calculadora de produto escalar e o ângulo. De fato, o ponto ou produto interno também tem uma forte motivação geométrica. Certamente, uma expressão alternativa para isso é

\[ \langle x, y \rangle = \|x\| \|y\| \cos \theta \]

onde \(\|x\|\) é a norma (comprimento) de \(x\), \(\|y\|\) é a norma (comprimento) de \(y\) e \(\theta\) é o ângulo entre \(x\) e \(y\).

Produto escalar com cálculo de ângulo

Uma consequência direta da definição de produto escalar é que você pode usá-lo para calcular o ângulo entre dois vetores, usando a seguinte fórmula:

\[\cos \theta = \displaystyle \frac{ \langle x, y \rangle}{\|x\| \|y\| } \]

e se resolvermos para \(\theta\):

\[ \theta = \arccos\left( \displaystyle \frac{ \langle x, y \rangle}{\|x\| \|y\| } \right) \]

O produto escalar e o produto vetorial

Uma operação relacionada para dois vetores é a produto cruzado , embora tenha uma diferença agora, pois sua saída é um vetor e não um escalar.

Mais calculadoras de álgebra

Você pode navegar e ver mais solucionadores de álgebra em nosso calculadoras e solucionadores de álgebra seção.

calculadoras de produto escalar e produto cruzado , entre muitos outros têm um forte grau de aplicabilidade na Álgebra Linear e Geometria.

Embora alguns sistemas de computador possam mostrar as respostas, nossas calculadoras mostrarão as etapas para que você entenda de onde as coisas estão vindo.