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Calculatrice de la dérivée seconde

Instructions: Utilisez la calculatrice de la dérivée seconde pour calculer la dérivée seconde (c'est-à-dire la dérivée de la dérivée) de toute fonction différentiable que vous fournissez, en montrant toutes les étapes. Veuillez saisir la fonction dans le formulaire ci-dessous.

En savoir plus sur les produits dérivés secondaires

Cette calculatrice peut vous aider à calculer la dérivée seconde de toute fonction valide que vous fournissez, en montrant toutes les étapes du processus. Tout ce que vous devez faire est de fournir une fonction valide et différentiable.

Une fonction valide pourrait être f(x) = x*tan(x), ou f(x) = 3x^3 + 2x - 1, etc. Il peut s'agir de n'importe quelle fonction valide, et elle ne doit pas nécessairement être simplifiée, puisque la calculatrice la simplifiera, au cas où cela serait nécessaire.

Une fois que vous avez fourni une fonction valide, vous pouvez cliquer sur le bouton "Calculer", afin d'obtenir tous les calculs et étapes indiqués.

Les dérivées secondes sont extrêmement pratiques dans de nombreuses applications, notamment en calcul, avec le test de la dérivée seconde pour la maximisation et la minimisation, pour évaluer si un point critique est un maximum, un minimum ou aucun.

Quelle est la dérivée seconde

En termes très simples, une dérivée seconde est simplement la dérivée de la dérivée. Le processus de calcul d'une dérivée seconde implique donc de calculer une dérivée une fois, puis une autre fois, en utilisant la méthode commune de calcul de la dérivée seconde Règles relatives aux produits dérivés . La dérivée seconde d'une fonction $f(x)$ s'écrit généralement $f''(x)$.

L'idée de la dérivée seconde s'applique également à dérivés partiels et elle correspond à la dérivée deux fois, mais dans ce cas, elle peut être calculée par rapport à différentes variables.

Étapes du calcul de la dérivée seconde

Étape 1: Identifiez la fonction f(x) que vous voulez différencier deux fois, et simplifier d'abord autant que possible
Étape 2: Différenciez une fois pour obtenir la dérivée f'(x). Simplifiez la dérivée obtenue si nécessaire
Étape 3: Différenciez maintenant f'(x), pour obtenir la dérivée seconde f''(x)

Les étapes semblent faciles, mais en fonction de la fonction donnée, la quantité d'informations à fournir est plus ou moins importante calculs algébriques pourrait être importante.

Notation de la dérivée seconde

La notation la plus courante pour la dérivée seconde est $f''(x)$, qui reflète bien le fait que l'opération dérivée, notée ', est appliquée deux fois à la fonction.

Il existe une autre notation pour la dérivée seconde, qui est particulièrement utile lorsque la fonction $f(x)$ est désignée par 'y = y(x)'. Alors, on utilise la notation suivante pour la dérivée seconde.

\[\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = \displaystyle \frac{d}{dx} \left(\frac{dy}{dx}\right) \]

Étapes du calcul des dérivées secondes pour les fonctions implicites

Étape 1: Identifiez l'équation impliquant x et y
Étape 2: Différenciez les deux côtés de l'égalité. Chaque côté peut potentiellement dépendre de x, y et y'. Simplifiez les termes évidents, mais ce n'est pas strictement nécessaire
Étape 3: Différenciez à nouveau les deux côtés de l'égalité. Chaque côté peut potentiellement dépendre de x, y, y' et y''. Ensuite, résolvez pour y''

Il est généralement beaucoup plus facile de calculer la dérivée seconde par différenciation implicite que de résoudre d'abord y en fonction de x puis de différencier, dans le cas où x et y sont définis implicitement par une équation, comme $x^2 + y^2 = 1$.

Dérivée seconde en un point

Comme la dérivée, la dérivée seconde est une fonction définie point par point. Remarquez qu'une erreur fréquente des étudiants est de penser que, puisque je veux différencier en un point, et que la fonction évaluée en un point est constante, sa dérivée doit être constante. FAUX. Vous devez d'abord Calculer la dérivée et ensuite, vous évaluez.

Exemple : calcul de la dérivée seconde

Calculez la dérivée seconde de : $f(x) = \cos(x^2)$

Solution: Dans cet exemple, nous allons calculer la dérivée seconde de la fonction $\displaystyle f(x)=\cos\left(x^2\right)$.

$ \displaystyle \frac{d}{dx}\left(\cos\left(x^2\right)\right)$

By using the Chain Rule: $\frac{d}{dx}\left( \cos\left(x^2\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(x^2\right)\cdot \left(-\sin\left(x^2\right)\right)$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x^2\right)\cdot \left(-\sin\left(x^2\right)\right)$

We use the Power Rule for polynomial terms: $\frac{d}{dx}\left( x^2 \right) = 2x$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \left(2x\right) \left(-\sin\left(x^2\right)\right)$

which then leads to

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle 2x\cdot \left(-\sin\left(x^2\right)\right)$

Finally, the following is obtained

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle -2x\sin\left(x^2\right)$

Deuxième Dérivée : Maintenant, nous différencions la dérivée obtenue ainsi pour obtenir la dérivée seconde :

$ \displaystyle \frac{d^2f}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(-2x\sin\left(x^2\right)\right)$

By using the Product Rule: $\frac{d}{dx}\left( \left(-1\right)\times 2x\sin\left(x^2\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(-2x\right) \cdot \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x^2\right)\right)$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(-2x\right) \cdot \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x^2\right)\right)$

By linearity, we know $\frac{d}{dx}\left( (-1)\times 2x \right) = \left(-1 \right) \cdot \frac{d}{dx}\left(2x\right)$, so plugging that in:

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \left(\left(-1 \right) \cdot \frac{d}{dx}\left(2x\right)\right) \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x^2\right)\right)$

Using the Chain Rule: $\frac{d}{dx}\left( \sin\left(x^2\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(x^2\right)\cdot \cos\left(x^2\right)$ and directly we get: $\frac{d}{dx}\left( 2x \right) = 2$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \left(\left(-1 \right) \cdot 2\right) \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot \frac{d}{dx}\left(x^2\right)\cdot \cos\left(x^2\right)$

In this case we use the Power Rule for polynomial terms: $\frac{d}{dx}\left( x^2 \right) = 2x$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \left(\left(-1 \right) \cdot 2\right) \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot 2x\cdot \cos\left(x^2\right)$

and then we find

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle -2x\cdot 2x\cos\left(x^2\right)+\left(-2\right)\sin\left(x^2\right)$

Putting together the numerical values, reducing the ones in $-2x\cdot 2x\cos\left(x^2\right) = -4x^2\cos\left(x^2\right)$ and grouping the terms with $x$ in the term $-2x\cdot 2x\cos\left(x^2\right)$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle -2\cdot 2x^2\cos\left(x^2\right)-2\sin\left(x^2\right)$

Simplifying the integers that can be multiplied together: $\displaystyle -2\times2 = -4$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle -4x^2\cos\left(x^2\right)-2\sin\left(x^2\right)$

Conclusion Finale : Nous constatons que la dérivée seconde que nous cherchons est :

\[f''(x) = -4x^2\cos\left(x^2\right)-2\sin\left(x^2\right)\]

Exemple : plus de dérivés secondaires

Pour la fonction suivante : $f(x) = x \cos(x)$, calculez sa dérivée seconde

Solution: Maintenant, nous faisons de même dans tis $\displaystyle f(x)=x\cos\left(x\right)$, pour lequel nous devons calculer sa dérivée.

La fonction est déjà simplifiée, nous pouvons donc procéder directement au calcul de sa dérivée :

$ \displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\cos\left(x\right)\right)$

Using the Product Rule: $\frac{d}{dx}\left( x\cos\left(x\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \cos\left(x\right)+x \cdot \frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)\right)$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \cos\left(x\right)+x \cdot \frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)\right)$

Directly differentiating: $\frac{d}{dx}\left( \cos\left(x\right) \right) = -\sin\left(x\right)$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \cos\left(x\right)+x \left(-\sin\left(x\right)\right)$

which then leads to

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle x\cdot \left(-\sin\left(x\right)\right)+\cos\left(x\right)$

By reorganizing/simplifying/expanding the terms that are amenable to

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle -x\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)$

Calcul De La Dérivée Seconde : L'étape suivante consiste à différencier la dérivée obtenue dans les étapes précédentes :

$ \displaystyle \frac{d^2f}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(-x\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)\right)$

By linearity, we know $\frac{d}{dx}\left( (-1)x\sin(x)+\cos(x) \right) = \frac{d}{dx}\left((-1)x\sin(x)\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos(x)\right)$, so plugging that in:

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\left(-1\right)x\sin\left(x\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)\right)$

Directly differentiating: $\frac{d}{dx}\left( \cos\left(x\right) \right) = -\sin\left(x\right)$ and we can use the Product Rule: $\frac{d}{dx}\left( \left(-1\right)x\sin\left(x\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(\left(-1\right)x\right) \cdot \sin\left(x\right)+\left(-1\right)x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\left(-1\right)x\right) \cdot \sin\left(x\right)+\left(-1\right)x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)-\sin\left(x\right)$

Directly differentiating: $\frac{d}{dx}\left( \sin\left(x\right) \right) = \cos\left(x\right)$ and directly we get: $\frac{d}{dx}\left( \left(-1\right)x \right) = -1$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \left(-1\right) \sin\left(x\right)+\left(-1\right)x \cdot \cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)$

and then we get

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \left(-1\right)x\cos\left(x\right)+\left(-1\right)\sin\left(x\right)+\left(-\sin\left(x\right)\right)$

Reducing the multiplication by ones in $\left(-1\right)x\cos\left(x\right) = \left(-1\right)x\cos\left(x\right)$ and

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \left(-1\right)x\cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)+\left(-\sin\left(x\right)\right)$

Simplifying:

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle -x\cos\left(x\right)-2\sin\left(x\right)$

Conclusion De La Deuxième Dérivée : On en conclut que la dérivée seconde de la fonction donnée esta :

\[f''(x) = -x\cos\left(x\right)-2\sin\left(x\right)\]

Exemple : dérivée seconde et différentiation implicite

En utilisant la différenciation implicite, calculer la dérivée seconde de y par rapport à x, pour $ x^2 + y^2 = 1$.

Solution: Nous appliquons la différenciation implicite, en supposant que y dépend de x, et nous différencions les deux côtés de l'égalité :

\[ \frac{d}{dx}\left(x^2 + y^2\right) = \frac{d}{dx} (1) \] \[ \Rightarrow 2x + 2yy' = 0 \]

Maintenant, en appliquant à nouveau la différenciation implicite :

\[ \frac{d}{dx}\left( 2x + 2yy' \right) = \frac{d}{dx} 0 \] \[ \Rightarrow 2 + 2y'^2+2yy'' = 0 \] \[ \Rightarrow 2y'^2 + 2yy'' = -2\] \[ \Rightarrow yy'' = -1 - y'^2 \] \[ \Rightarrow y'' = \frac{-1 - y'^2}{y} \]

ce qui conclut le calcul.

Plus de calculateurs de produits dérivés

Lorsque trouver la dérivée d'une fonction, il est naturel de penser à refaire le processus, c'est-à-dire à trouver la dérivée de la dérivée, et c'est précisément ce que fait l'étude suivante calculatrice de la dérivée seconde fait.

Le concept de dérivée seconde est très utile en calcul, surtout au moment de maximiser ou de minimiser des fonctions. La dérivée seconde vous donne des informations sur la concavité d'une fonction, ce qui est également crucial au moment de comprendre la forme de la fonction graphique de la fonction .

Les dérivées secondes peuvent être calculées à la fois pour les dérivées régulières et pour les différenciation implicite dans lequel vous calculez deux fois la règle de différenciation implicite.