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Calculateur de gradient

Instructions: Utilisez ce calculateur de gradient pour calculer le vecteur des dérivées partielles d'une fonction multivariée que vous fournissez, en affichant toutes les étapes. Veuillez saisir la fonction multivariable dans la zone de formulaire ci-dessous.

Le calculateur de dégradé

Cette calculatrice de gradient avec des étapes vous aidera à trouver le vecteur de gradient d'une fonction multivariée donnée que vous fournissez. Cette fonction doit être une fonction valide et différentiable avec 2 variables ou plus.

La fonction que vous fournissez doit être accompagnée d'une définition complète de son nom de variable et de sa fonction, par exemple f(x, y) = x^2 + y^2, ou f(x,y,z) = xy+z*sin (xy), etc.

Une fois qu'une fonction multivariable valide est fournie, il ne reste plus qu'à cliquer sur le bouton "Calculer", afin d'obtenir toutes les étapes affichées.

Les gradients représentent l'extension naturelle des dérivées pour la situation multivariable, dans laquelle le taux de changement est mieux défini par un vecteur qu'un nombre.

Quel est le dégradé

En termes simples, le gradient est un vecteur qui contient toutes les dérivées partielles du premier ordre d'une fonction multivariable « XYZA ». Alors, pour une fonction à deux variables $f(x, y)$, son gradient serait un vecteur $\nabla f(x, y) = \displaystyle \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$ à 2 dimensions.

De même, pour une fonction à trois variables « XYZA », son gradient serait un vecteur « XYZB » à 3 dimensions, et ainsi de suite.

Étapes pour calculer le gradient

Étape 1: Identifiez la fonction avec laquelle vous souhaitez travailler et identifiez le nombre de variables impliquées
Étape 2: Trouver la première commande Dérivée partielle par rapport à chacune des variables
Étape 3: Construisez le gradient comme le vecteur qui contient toutes ces dérivées partielles du premier ordre trouvées à l'étape 2

En option, vous pouvez simplifier, si possible, après avoir terminé l'étape 3. Ensuite, avec le gradient, vous avez une version de ce qui est la dérivée pour une fonction univariée, dans ce cas pour une fonction multivariée.

Applications du dégradé

Comme dans le cas des fonctions univariées, lors de la recherche de points critiques, nous devons trouver les points où la dérivée est nulle, pour les fonctions multivariées, nous devons rechercher les points sur lesquels le gradient est égal à zéro afin de trouver les points critiques.

En outre, l'équivalent des tests de dérivée seconde se présente sous la forme de la règle de Hesse pour les fonctions multivariées.

Conseils et astuces

Rappelez-vous que le Pente est défini pour les fonctions multivariées, avec deux variables ou plus. Gardez également à l'esprit que le gradient est un vecteur, où chacun des composants est une fonction. Plus précisément, chacun de ses composants est un Dérivée partielle de premier ordre.

Pour vérifier votre travail, n'oubliez pas que le dégradé est un vecteur de dimension égale au nombre de variables indépendantes définies dans la fonction.

Exemple : calculateur de dégradé

Trouver le gradient associé à la fonction : $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$

Solution: Nous considérons la fonction multivariée suivante : $\displaystyle f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$, nous devons donc calculer son gradient.

Différenciation par rapport à $x$

$ \displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+y^2+z^2\right)$

By linearity, we know $\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2+y^2+z^2 \right) = \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(z^2\right)$, so plugging that in:

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(z^2\right)$

Since the derivative of a constant with respect to $x$ is 0, we get that:

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)$

We can use the Power Rule for polynomial terms: $\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2 \right) = 2x$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle 2x$

Différenciation par rapport à $y$

$ \displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2+y^2+z^2\right)$

By linearity, we know $\frac{\partial }{\partial y}\left( x^2+y^2+z^2 \right) = \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(z^2\right)$, so plugging that in:

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(z^2\right)$

Since the derivative of a constant with respect to $y$ is 0, we find that:

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)$

We use the Power Rule for polynomial terms: $\frac{\partial }{\partial y}\left( y^2 \right) = 2y$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle 2y$

Différenciation par rapport à $z$

$ \displaystyle \frac{\partial }{\partial z}\left(x^2+y^2+z^2\right)$

By linearity, we know $\frac{\partial }{\partial z}\left( x^2+y^2+z^2 \right) = \frac{\partial }{\partial z}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(z^2\right)$, so plugging that in:

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(y^2\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(z^2\right)$

The derivative of a constant with respect to $z$ is 0, so then:

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial z}\left(z^2\right)$

We use the Power Rule for polynomial terms: $\frac{\partial }{\partial z}\left( z^2 \right) = 2z$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle 2z$

Conclusion : Par conséquent, nous pouvons conclure que le gradient de la fonction $\displaystyle f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 $ donnée est égal à :

\[ \nabla f = \left(2x,2y,2z\right)\]

Exemple de calcul de gradient

Pour la fonction suivante : $f(x, y) = xy$, trouvez son gradient.

Solution: Pour cet exemple nous avons une fonction de deux variables x et y : $\displaystyle f(x,y)=xy$.

D'abord, différencier par rapport à x

$ \displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)$

Comme il s'agit d'un temps constant $x$, on obtient directement : $\frac{\partial }{\partial x}\left( xy \right) = y$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle y$

Maintenant, différencier par rapport à y

$ \displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)$

Comme il s'agit d'un temps constant $y$, on obtient directement : $\frac{\partial }{\partial y}\left( xy \right) = x$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle x$

Conclusion : On obtient directement que le gradient de la fonction $\displaystyle f(x,y)=xy $ est :

\[ \nabla f = \left(y, x\right)\]

Plus d'exemples de dégradés

Calculez le gradient correspondant de $ f(x, y) = x^2 - y^2 - xy $.

Solution: Enfin, la fonction suivante doit être analysée dans cet exemple : $\displaystyle f(x,y)=x^2-y^2-xy$. Puisqu'il s'agit d'une fonction multivariée, il est logique de calculer son gradient.

Étape 2 : Trouver la dérivée par rapport à $x$

$ \displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2-xy-y^2\right)$

Par linéarité, nous connaissons $\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2-xy-y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)-\frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)$, donc en branchant ça :

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)-\frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)$

La dérivée d'une constante par rapport à $x$ est 0, donc :

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)-\frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)$

Puisqu'il s'agit d'un temps constant $x$, on obtient directement : $\frac{\partial }{\partial x}\left( xy \right) = y$ et on peut utiliser la règle de puissance pour les termes polynomiaux : $\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2 \right) = 2x$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle 2x-y$

Étape 2 : Trouver la dérivée par rapport à $y$

$ \displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2-xy-y^2\right)$

Par linéarité, nous connaissons $\frac{\partial }{\partial y}\left( x^2-xy-y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)$, donc en branchant ça :

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)$

Nous utilisons la règle de puissance pour les termes polynomiaux : $\frac{\partial }{\partial y}\left( y^2 \right) = 2y$ et comme il s'agit d'un temps constant $y$, nous obtenons directement : $\frac{\partial }{\partial y}\left( xy \right) = x$

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)-x-2y$

ce qui conduit alors à

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle 0-x-2y$

En réorganisant/simplifiant/étendant les termes susceptibles de

$ \displaystyle = \,\,$

$\displaystyle -x-2y$

Conclusion : Par conséquent, nous pouvons conclure que le gradient de la fonction $\displaystyle f(x,y)=x^2-y^2-xy $ donnée est égal à :

\[ \nabla f = \left(2x-y,-x-2y\right)\]

Plus de calculateurs de produits dérivés

Utilisant un calculatrice de dérivées peut certainement vous faciliter la vie car cela vous permettra de garder une trace de tous les Règles relatives aux produits dérivés .

La plupart règles de différenciation utilisés pour les fonctions univariées ont leur équivalent pour les fonctions multivariées. De cette façon, le Règle De La Chaîne , Règle Du Produit et Quotient Rule fonctionnera également pour la fonction multivariée, en gardant à l'esprit les bonnes dimensions.