Cómo resolver ecuaciones cuadráticas
La expresión más general de una ecuación cuadrática se muestra a continuación:
\[a x^2 + b x + c = 0\]donde \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes reales, con \(a = \not 0\). Por ejemplo, la siguiente ecuación:
\[2x^2 -3x + 4 = 0\]es una ecuación cuadrática, mientras que
\[4x - 5 = 0\]no lo es (porque el factor \(x^2\) no esta presente en la ecuacion).
Resolver la ecuación cuadrática
El principal objetivo cuando tenemos una ecuación cuadrática es encontrar sus soluciones o raíces, el otro nombre que se utiliza comúnmente. Las raíces se calculan con la conocida fórmula cuadrática
\[x = \displaystyle{\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\]Ejemplo: Encuentra las raíces de la ecuación.
\[2x^2 - x -1 = 0\]Solución: Necesitamos aplicar la fórmula de la ecuación cuadrática y reemplazar la correspondiente valores de \(a\), \(b\) and \(c\). In this case, \(a=2\), \(b = -1\) and \(c = -1\):
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 2 \cdot (-1)}}{2\cdot 2}\] \[= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1+8 }}{4} = \frac{1 \pm 3 }{4}\]Ahora vemos que tenemos dos soluciones debido al \(\pm\), lo que significa que las raíces son
\[x_1 = \frac{1 + 3 }{4} = 1\] \[x_2 = \frac{1 - 3 }{4} = -\frac{1}{2}\]El discriminante
Resulta que podemos saber mucho sobre las raíces de una ecuación cuadrática incluso antes de resolverla. ¿Cómo es eso posible? Bueno, necesitamos calcular la siguiente cantidad, que se llama Discriminante:
\[D = b^2-4ac\]El discriminante puede ser negativo, cero o positivo, y de ello dependerá el tipo de soluciones. De hecho, tenemos eso
- If \(D > 0\): Hay dos raíces reales diferentes.
- If \(D = 0\): Sólo hay una raíz real (las raíces se repiten)
- If \(D < 0\): No hay raíces reales (Las raíces son complejas)
Entonces, dependiendo del valor del discriminante podremos determinar de antemano qué tipo de soluciones.
¿Por qué obtenemos raíces complejas con una discriminación negativa? Bueno, porque en la fórmula cuadrática, el término \( \sqrt{ b^2-4ac}\) aparece, que no será real si \(b^2-4ac <0\). Para ver gráficamente cómo localizar el raíces, puedes probar nuestro solucionador de ecuaciones cuadráticas
Observe que la ecuación cuadrática clásica que todos conocemos es simplemente la derivación obtenida del método de completando el cuadrado.
Use esta calculadora de ecuación cuadrática calcular, paso a paso, las raíces de una ecuación cuadrática.