Mais sobre derivados trig
Use esta calculadora para encontrar derivadas trigonométricas, que neste caso assumimos como qualquer função diferenciável válida que envolva uma ou mais funções trigonométricas elementares.
Um exemplo de uma função válida para esta calculadora é f(x) = sin(x)/x, ou f(x) = x*sin(x^3), apenas para dar um exemplo.
Então, quando você já digitou a função correspondente, você pode clicar no botão "Calcular", para obter todas as etapas do cálculo da derivada mostrada a você.
As funções trigonométricas desempenham um papel crucial no cálculo, bem como na
calculando derivativos
em geral. Por fim, funções mais complexas podem ter suas derivadas reduzidas ao cálculo da derivada para funções trigonométricas mais simples.
Derivados trig básicos
A ideia de usar regras derivadas é quebrar uma função complexa e diferenciá-la usando as derivadas de funções conhecidas. Especificamente, funções trigonométricas simples como seno, cosseno, tangente e cotangente desempenharão um papel importante nisso.
Quais são as derivadas trigonométricas básicas?
-
Derivada Trigonométrica 1:
dxdsin(x)=cos(x)>
-
Derivada Trigonométrica 2:
dxdcos(x)=−sin(x)>
-
Derivada Trigonométrica 3:
dxdtan(x)=sec2(x)>
-
Derivada Trigonométrica 4:
dxdcot(x)=−csc2(x)>
-
Derivada Trigonométrica 5:
dxdsec(x)=sec(x)tan(x)>
-
Derivada Trigonométrica 6:
dxdsec(x)=−csc(x)cot(x)>
Estas são as derivadas básicas que você precisa saber muito e possivelmente memorizar para usar
Regras de Derivadas
para calcular derivadas mais complicadas
As derivadas trigonométricas estão em graus?
Não, a derivada das funções trigonométricas estão em
radianos
, então as derivadas trigonométricas encontradas refletem o fato de que o argumento x é medido em radianos.
Assim, por exemplo, suponha que queremos calcular a derivada do pecado em
graus
, então definimos f(y)=sin(y), onde y é medido em graus.
Agora, seja x=180πy o ângulo equivalente em radianos e também resolvendo para y encontramos que y=π180x, então usando a Regra da Cadeia:
dydf(y)=dydf(y(x))dxdy=π180cos(y)
Com base nisso, a derivada do seno em graus é, na verdade, cosseno em graus, mas vezes um fator π180.
Como você encontra derivadas em trigonometria?
Derivados trigonométricos são encontrados por definição, usando identidades trigonométricas básicas. Por exemplo, usando o
seno da fórmula da soma
podemos derivar a derivada de sin(x), usando a definição de limite:
dxdsin(x)=h→0limhsin(x+h)−sin(x)
=h→0limhsin(x)cos(h)+cos(x)sin(h)−sin(x)
=h→0limhsin(x)(cos(h)−1)+cos(x)sin(h)
=h→0lim(hsin(x)(cos(h)−1)+hcos(x)sin(h))
=h→0lim(hsin(x)(cos(h)−1))+h→0lim(hcos(x)sin(h))
=sin(x)h→0lim(h(cos(h)−1))+cos(x)h→0lim(hcos(x)sin(h))
=sin(x)⋅0+cos(x)⋅1=cos(x)
Dicas e truques
A principal lição para você é sempre lembrar o que o
6 derivadas trigonométricas são
, e saiba-os de cor, pois você os usará continuamente, junto com o básico
regras de diferenciação
.
Da mesma forma, você pode usar identidades trigonométricas e a definição de função inversa para encontrar as derivadas trigonométricas inversas mais comuns.
Exemplo: cálculo da derivada trig
Considere a seguinte função: f(x)=sin2(x)+x1. Encontre sua derivada
Solução:
Derivadas trigonométricas envolvem funções trigonométricas que precisam ser diferenciadas. Considere a função f(x)=sin(x)2+x1, que contém uma função seno, portanto ela se qualifica como uma derivada trigonométrica.
dxd(sin(x)2+x1)
By using the linearity property, we know
dxd(sin(x)2+x1)=dxd(sin(x)2)+dxd(x1), so plugging that in:
dxd(sin(x)2)+dxd(x1)
Using the Power Rule for a polynomial term with negative exponent:
dxd(x1)=−x21 and in this case we can use the Power Rule for a constant exponent:
dxd(sin(x)2)=2sin(x)⋅dxd(sin(x))
2sin(x)⋅dxd(sin(x))−x21
Directly differentiating:
dxd(sin(x))=cos(x)
2sin(x)⋅cos(x)−x21
2sin(x)cos(x)+x2−1
Directly expanding and simplifying
x22x2cos(x)sin(x)−1
Resultados
: Para este exemplo, verifica-se que a derivada é:
f′(x)=x22x2cos(x)sin(x)−1
É muito útil representar a função e sua derivada em um gráfico. Veja abaixo:
Exemplo a derivada de uma função trigonométrica
Considere a seguinte função trigonométrica: f(x)=sin(x)+xcos(x), encontre sua derivada.
Solução:
Agora, precisamos trabalhar com a derivada da seguinte função trigonométrica f(x)=sin(x)+xcos(x).
dxd(xcos(x)+sin(x))
By linearity, we know
dxd(xcos(x)+sin(x))=dxd(xcos(x))+dxd(sin(x)), so plugging that in:
dxd(xcos(x))+dxd(sin(x))
Directly differentiating:
dxd(sin(x))=cos(x) and we can use the Product Rule:
dxd(xcos(x))=dxd(x)⋅cos(x)+x⋅dxd(cos(x))
dxd(x)⋅cos(x)+x⋅dxd(cos(x))+cos(x)
By applying direct differentiation:
dxd(cos(x))=−sin(x)
dxd(x)⋅cos(x)+x(−sin(x))+cos(x)
x⋅(−sin(x))+cos(x)+cos(x)
We group together the terms that are multiplying
cos(x) and then simplifying
1+1=2
x⋅(−sin(x))+2cos(x)
By reorganizing the terms:
−xsin(x)+2cos(x)
Conclusão Final
: Concluímos que a derivada é dada por:
f′(x)=−xsin(x)+2cos(x)
Obtém-se o seguinte gráfico:
Exemplo: derivadas trigonométricas e diferenciação implícita
Encontre dxdy para sin(x)+cos(y)=1.
Solução:
precisamos usar
diferenciação implícita
, então diferenciamos ambos os lados e usamos o
Regra Da Cadeia
:
dxdy(sin(x)+cos(y))=dxdy(1)
⇒cos(x)−sin(y)y′=0
⇒sin(y)y′=cos(x)
⇒y′=sin(y)cos(x)
que conclui o cálculo.
Outras calculadoras de derivadas úteis
encontrando a derivada
de funções simples e elementares é a pedra angular do processo de encontrar as derivadas de funções mais complicadas, através do uso do conhecido
regras de diferenciação
.
Neste contexto, o básico
funções trigonométricas
podem ser consideradas funções elementares para as quais a derivada pode ser calculada por limites, via sua própria definição. Entre as funções elementares mais úteis temos
polinômios
e funções racionais.