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Calculadora polinomial

Instruções: Use esta calculadora polinomial para calcular e simplificar qualquer operação polinomial que você fornecer, mostrando todas as etapas. Por favor, digite a expressão polinomial que deseja simplificar na caixa de formulário abaixo.

Calculadora polinomial

Esta calculadora permitirá realizar cálculos polinomiais e simplificações, de uma expressão polinomial que você fornecer, como 3x^2 - 2/3 x + 1/4 + 5/4 - 3/4 x^2, etc.

Você também pode fornecer expressões polinomiais mais complicadas, como 2/3 x^2(x - 3/4) + 5/4, desde que o resultado seja uma expressão polinomial válida.

Uma vez dado um polinômio válido, você pode clicar em "Calcular" e os resultados do cálculo e simplificação serão mostrados para você, mostrando todas as etapas do processo.

Os cálculos serão realizados usando o método usual critérios PEMDAS , pela prioridade e a ordem das operações .

Como calcular polinômios?

Apesar do fato de que os polinômios podem parecer assustadores, eles são bastante receptivos a cálculos fáceis, considerando sua natureza linear. Um polinômio geral de grau \(n\) tem a seguinte fórmula

\[f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + ... + a_n x^n \]

Quais são as etapas para fazer um cálculo polinomial?

Etapa 1: Identifique a expressão polinomial que você precisa calcular e simplificar
Etapa 2: faça uma verificação de consistência para encontrar sinais claros de que a função não é polinomial. Se for esse o caso, então você para
Etapa 3: expanda e simplifique os termos dentro da expressão polinomial seguindo a regra PEMDAS
Etapa 4: Expandir e simplificar até que não seja possível realizar mais simplificações

Observe que os polinômios têm propriedades de fechamento realmente precisas. Ou seja, se você adicionar ou subtrair polinômios, também obterá um polinômio. Além disso, se você multiplicar polinômios, a saída também será um polinômio. Isso não é necessariamente verdade para a divisão de polinômios.

Divisão polinomial

A divisão é uma operação sem a propriedade de fechamento. Ou seja, se você dividir dois polinômios, o resultado não precisa necessariamente ser um polinômio. Pode ser um polinômio, mas não necessariamente precisa ser um.

Por exemplo, você divide o polinômio \(f(x) = x^3 + 9x^2 + 27x +27\) pelo polinômio \(g(x) = x + 3 \), então o resultado é outro polinômio:

\[\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \frac{x^3 + 9x^2 + 27x +27}{x + 3} = x^2 + 6x + 9 \]

Mas então, se você dividir o polinômio \(f(x) = x^3 + 9x^2 + 27x +28\) pelo polinômio \(g(x) = x + 3 \), o resultado NÃO será um polinômio.

Por que os polinômios são importantes?

Polinômios são um objeto muito natural que aparece em aplicações. Por exemplo, equações do segundo grau são polinômios de ordem (grau) 2. Portanto, é natural trabalhar com polinômios de grau maior que 2.

É verdade que funções quadráticas assumem um papel muito mais central nas aplicações em álgebra básica, mas isso não significa que os polinômios de grau superior não tenham um lugar preponderante.

Exemplo: calculando polinômios

Expanda e simplifique o seguinte: \(f(x) = 3x^2 - \frac{2}{3} x + \frac{1}{4} + \frac{5}{4} - \frac{3}{4} x^2\)

Solução: Temos a seguinte expressão: \(\displaystyle 3x^2 - \frac{2}{3} x + \frac{1}{4} + \frac{5}{4} - \frac{3}{4} x^2\).

Obtém-se o seguinte cálculo:

\( \displaystyle 3x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}+\frac{5}{4}-\frac{3}{4}x^2\)

Putting together the terms with \(x^2\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -\frac{2}{3}x+\left(3-\frac{3}{4}\right)x^2+\frac{1}{4}+\frac{5}{4}\)

Putting the fractions together and simplifying the terms that were grouped with \(x^2\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -\frac{2}{3}x+\frac{9}{4}x^2+\frac{1}{4}+\frac{5}{4}\)

Grouping and operating all the integer terms and fractions: \(\displaystyle \frac{ 1}{ 4}+\frac{ 5}{ 4}=\frac{ 1+5}{ 4}=\frac{ 6}{ 4}=\frac{ 2 \times 3}{ 2 \times 2}=\frac{ \cancel{ 2} \times 3}{ \cancel{ 2} \times 2}=\frac{ 3}{ 2}\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -\frac{2}{3}x+\frac{9}{4}x^2+\frac{3}{2}\)

Reorganizing/simplifying/expanding the expression

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{9}{4}x^2-\frac{2}{3}x+\frac{3}{2}\)

que conclui o processo de simplificação.

Exemplo: exemplo de calculadora polinomial

Calcule o seguinte: \(f(x) = \frac{1}{3} x \left( \frac{5}{4}x - \frac{5}{6}\right)+x\)

Solução: Agora temos a expressão polinomial: \(\displaystyle \frac{1}{3}x\left(\frac{5}{4}x-\frac{5}{6}\right)+x\).

Obtém-se a seguinte simplificação:

\( \displaystyle \frac{1}{3}x\left(\frac{5}{4}x-\frac{5}{6}\right)+x\)

Observe that \((\frac{1}{3}x) \cdot (\frac{5}{4}x-\frac{5}{6}) = \frac{1}{3}x\cdot\frac{5}{4}x-\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{3}x = \frac{5}{12}x^2-\frac{5}{18}x\), by using the distributive property on each term of the expression on the left, with respect to the terms on the right

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{5}{12}x^2-\frac{5}{18}x+x\)

Aggregating those terms with \(x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(- \frac{ 5}{ 18}+1\right)x+\frac{5}{12}x^2\)

Operating the terms that were grouped with \(x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{13}{18}x+\frac{5}{12}x^2\)

E é assim, pessoal, que você transforma uma bagunça quente em uma bagunça semi-quente! O fim da simplificação foi alcançado.

Exemplo: outro exemplo de calculadora polinomial

Expanda e simplifique \( f(x) = \left(\frac{2}{3}x - \frac{6}{5} \right)+ \frac{2}{5}x + 3 \).

Solução: Agora temos \(\displaystyle \left(\frac{2}{3}x-\frac{6}{5}\right)+\frac{2}{5}x+3\).

Queremos simplificar:

\( \displaystyle \frac{2}{3}x-\frac{6}{5}+\frac{2}{5}x+3\)

Grouping the terms with \(x\)

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \left(\frac{2}{3}+\frac{2}{5}\right)x+3-\frac{6}{5}\)

Grouping together numerical values and fractions and simplifying the terms that were grouped with \(x\)

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{16}{15}x+3-\frac{6}{5}\)

Grouping and operating all the integer terms and fractions: \(\displaystyle 3-\frac{ 6}{ 5}=3 \times \frac{ 5}{ 5}-\frac{ 6}{ 5}=\frac{ 3 \times 5-6}{ 5}=\frac{ 15-6}{ 5}=\frac{ 9}{ 5}\)

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{16}{15}x+\frac{9}{5}\)

que finaliza o cálculo.

Mais calculadoras de álgebra

Os polinômios estão presentes em muitas aplicações e são uma das funções básicas mais importantes da álgebra. Um dos casos particulares de polinômios é o caso de funções quadráticas , que são um dos polinômios mais simples que encontraremos.

Você pode fazer muita coisa com eles: você pode polinômios gráficos , encontre suas raízes, procure simetrias e tudo mais, mas a interpretação mais fácil de tudo o que acontece para equações quadráticas.