Informazioni su questa calcolatrice di equazioni trigonometriche

Questa calcolatrice vi permetterà di risolvere le equazioni trigonometriche, mostrandovi tutte le fasi del procedimento. È sufficiente fornire un'equazione trigonometrica valida, con un'incognita (x). Potrebbe essere qualcosa di semplice come "sin(x) = 1/2", o qualcosa di più complesso come "sin^2(x) = cos(x) + tan(x)".

Una volta terminata la digitazione dell'equazione, basta fare clic su "Risolvi" per ottenere tutti i dettagli del processo di ricerca delle soluzioni, se è possibile trovarle.

Le proprietà e le regole trigonometriche consentono quasi sempre di ridurre la maggior parte delle equazioni trigonometriche in equazioni più semplici, quindi questo tipo di equazioni è un tipo di equazione che spesso porta a soluzioni, ma a volte può essere estremamente complicata.

Che cos'è un'equazione trigonometrica?

Un'equazione trigonometrica, nei termini più semplici possibili, è un'equazione di equazione matematica dove l'incognita x è all'interno di un'espressione trigonometrica.

Ad esempio, la seguente espressione è un'equazione trigonometrica:

\[\displaystyle \sin(x) = 1\]

Perché? Semplicemente perché x compare all'interno dell'espressione trigonometrica seno. O per esempio:

\[\displaystyle \tan(x) = x\]

Ora, queste due equazioni sono trigonometriche, ma la differenza tra le due è che nella prima la x compare SOLO all'interno del seno, mentre nella seconda la x compare all'interno di una funzione trigonometrica (tangente), ma anche all'esterno. Questo di solito rende difficile (o impossibile) risolvere l'equazione.

Come risolvere le equazioni trigonometriche

Una delle regole fondamentali della trigonometria è la capacità di esprimere tutte le funzioni trigonometriche in termini di qualsiasi funzione trigonometrica fissa. Ad esempio, possiamo scrivere il coseno in termini di seno:

\[\displaystyle \cos(x) = \pm \sqrt{1 - \sin^2 x} \]

Sostituzioni trigonometriche

In questo caso, la strada da percorrere è quella delle identità trigonometriche e delle sostituzioni. Ad esempio, supponiamo di voler risolvere questo problema:

\[\displaystyle \sin x = \cos x \]

Sappiamo che si tratta di un'equazione trigonometrica e che possiamo scrivere il coseno in termini di seno, quindi facciamo così:

\[\displaystyle \sin x = \pm \sqrt{1 - \sin^2 x} \]

E adesso? Possiamo usare la sostituzione: \(u = \sin x\), quindi l'equazione precedente diventa:

\[\displaystyle u = \pm \sqrt{1 - u} \]

che è un equazione razionale che, utilizzando un semplice manipolazione algebrica significa che dobbiamo risolvere un'equazione polinomiale per risolvere l'equazione trigonometrica originale.

Applicazione della trigonometria

I cerchi e tutte le loro simmetrie sono molto importanti nella vita reale e la trigonometria è il linguaggio con cui possiamo quantificare i cerchi e le loro relazioni. La soluzione delle equazioni trigonometriche è al centro della matematica.

Perché risolvere le equazioni trigonometriche

Le equazioni trigonometriche hanno un grande valore nella pratica, soprattutto in ingegneria. Proprietà degne di nota come la Periodo e frequenza aprire uno spettro completo di applicazioni.

Le strutture circolari svolgono un ruolo cruciale in tutto ciò che di meccanico utilizziamo oggi. I cerchi sono sinonimo di trigonometria e le equazioni trigonometriche ne sono il fulcro.

Esempio: risolvere semplici equazioni trigonometriche

Risolvere: \(\sin(x) = \frac{1}{2}\)

Soluzione:

Dobbiamo risolvere la seguente equazione trigonometrica:

\[\sin\left(x\right)=\frac{1}{2}\]

Si ottiene quanto segue:

Applicando direttamente le proprietà della funzione trigonometrica inversa \( \arcsin(\cdot)\), nonché le proprietà della funzione trigonometrica \( \sin\left(x\right)\), si ottiene che

\[x_1=\frac{5}{6}\pi{}+2\pi{}K_1 \text{ , for } K_1 \text{ an arbitrary integer constant}\] \[ = ... \, -\frac{7}{6}\pi{}, \, \,\, \frac{5}{6}\pi{}, \,\, \, \frac{17}{6}\pi{}, \, \, \, \frac{29}{6}\pi{} \, ...\]
\[x_2=\frac{1}{6}\pi{}+2\pi{}K_2 \text{ , for } K_2 \text{ an arbitrary integer constant}\] \[ = ... \, -\frac{11}{6}\pi{}, \, \,\, \frac{1}{6}\pi{}, \,\, \, \frac{13}{6}\pi{}, \, \, \, \frac{25}{6}\pi{} \, ...\]

Pertanto, la soluzione di \(x\) per l'equazione data porta alle soluzioni \(x=\frac{5}{6}\pi{}+2\pi{}K_1,\,\,x=\frac{1}{6}\pi{}+2\pi{}K_2\), per \(K_1, K_2\) costanti intere arbitrarie.

Altre calcolatrici di equazioni

Nostro equazione trigonometrica con passi è utile quando si tratta di equazioni con una struttura specifica. Se non si è sicuri del tipo di equazione con cui si ha a che fare, si può utilizzare la nostra funzione generale risolutore di equazioni , che capirà la struttura dell'equazione data e troverà un approccio adeguato.

La principale difficoltà nella risoluzione di equazioni che non sono equazione lineare O Equazione polinomiale è che non c'è un percorso specifico da seguire, né c'è alcuna garanzia di trovare soluzioni.

Di solito, la strategia consiste in espressioni semplificative e dopo aver fatto questo, di solito è la terra del nulla, dove bisogna provare qualsiasi cosa ci sembri adatta.

Naturalmente, l'idea è quella di cercare di ridurre l'equazione a un'equazione più semplice, utilizzando un qualche tipo di sostituzione e un processo a più fasi, in cui si trovano prima le soluzioni di una soluzione ausiliaria, che fornisce CANDIDATI all'equazione originale. Si vuole risolvere un'equazione equazione lineare o anche un Equazione quadrata ma forse la riduzione che otterrete sarà un po' meno generosa.