Calcolatrice di equazioni polinomiali

Questo risolutore di equazioni polinomiali vi aiuterà a risolvere le equazioni polinomiali da voi fornite, come ad esempio '3x^2 - 2/3 x + 1/4 = 0', che è una semplice equazione polinomiale Equazione quadrata , o equazioni polinomiali di ordine superiore come "x^5 - x^2 + 1 = 0", ecc.

Se non si aggiunge il segno di uguaglianza "=" all'espressione fornita, la calcolatrice aggiungerà automaticamente un " = 0" per convertirla in un'equazione.

Una volta fornita un'equazione polinomiale valida, è possibile fare clic sul pulsante "Calcola" e verrà presentato il calcolo passo-passo delle soluzioni dell'equazione.

Un'equazione polinomiale è un tipo di equazione algebrica e uno dei tipi più semplici, escluso da Equazioni lineari . Il fatto che le equazioni polinomiali siano semplici non significa che siano FACILI da risolvere e, anzi, a volte richiedono molto tempo per essere risolte, sempre che si riesca a risolverle.

Come posso risolvere un polinomio?

Sebbene i polinomi siano espressioni semplici, la risoluzione di equazioni polinomiali può essere davvero complicato, soprattutto per grado polinomiale maggiore di 2.

Per le equazioni quadratiche, le soluzioni si trovano semplicemente utilizzando una formula quadratica. Certo, si può pensare che sia difficile memorizzare le formule, ma almeno c'è una formula.

Per le cubiche (grado 3) e le quartiche (grado 4) si possono usare delle equazioni molto intelligenti, ma non sono affatto facili da usare o da ricordare. Per le equazioni poli di grado 5 e superiore non esiste una formula.

Questo non significa che non possiamo trovare il radici polinomiali per quelle equazioni, ma non abbiamo una formula per questo, e una formula non esiste (se siete curiosi, tali conclusioni sono state una delle principali scoperte della matematica moderna alla fine del XVIII secolo.

Passi per trovare le soluzioni di un'equazione polinomiale

Ci sono diversi passaggi sistematici che si possono seguire per avere le migliori possibilità di trovare le soluzioni di un'equazione polinomiale, ma è bene tenere presente che si può finire per non trovare alcuna soluzione, soprattutto per le equazioni di grado superiore.

• Passo 1: Tenete presente che in teoria esistono \(n\) soluzioni a un'equazione polinomiale di grado \(n\). Ma queste soluzioni possono essere reali o complesse e, al di là del grado 4, non esiste una formula per esse
• Passo 2: Cercare di fattorizzare i termini del polinomio. Mettere tutti i termini in un lato dell'equazione e cercare un modo per fattorizzare l'espressione polinomiale . Con la fattorizzazione si può cercare di trovare soluzioni per ogni fattore, riducendo il problema a gradi inferiori
• Passaggio 3: Cercate di trovare prima le soluzioni razionali/integrali utilizzando la funzione Teorema zero razionale . Questo si ottiene trovando i fattori interi del termine costante, dividendoli per i fattori del termine principale (quello che va con la potenza più alta)
• Passaggio 4: Utilizzando questi candidati razionali, li si testa uno per uno (potrebbero essere molti), nella speranza di trovare delle soluzioni. Se per caso si sono trovate \(n\) soluzioni a un'equazione di grado \(n\), allora si termina
• Passaggio 5: Se si sono trovate una o più radici razionali, ma non tutte, si costruisce una moltiplicazione dei termini \(x - \alpha\), dove \(\alpha\) è una radice razionale trovata. Moltiplicate questi termini, formate un polinomio e poi DIVIDETE il polinomio dell'equazione originale per questo prodotto costituito dai termini \(x - \alpha\). Per trovare le radici rimanenti, è necessario trovare le radici del risultato della divisione (che avrà un grado inferiore rispetto al polinomio originale.

Sembra difficile, e onestamente lo è. È un processo macchinoso, che richiede molti calcoli, molto probabilmente. Ecco perché dovreste utilizzare un calcolatore di equazioni che vi mostrerà i passaggi, perché risparmierete molto tempo e ridurrete al minimo le possibilità di commettere un errore nel calcolo.

Come si trova l'equazione di un polinomio?

Risolvere equazioni polinomiali non è certo un compito banale. Non sarà possibile farlo in generale, poiché non esiste un'equazione generale per risolvere TUTTI i polinomi. Sappiamo, in virtù del Teorema fondamentale dell'algebra, che esistono \(n\) soluzioni a un'equazione polinomiale di grado \(n\).

Come suggerisce il nome, questo risultato è un risultato importante perché ci dice esattamente QUANTE soluzioni stiamo cercando. Per esempio, se abbiamo l'equazione \(x^4 = x^6\), abbiamo un'equazione di grado 6 (perché è la massima potenza del polinomio che si può trovare). Quindi, per il Teorema fondamentale dell'algebra, sappiamo che ci sono 6 soluzioni.

Ora, può essere complicato perché non tutte le soluzioni saranno reali, alcune potrebbero essere complesse e altre ripetute. Se avessimo, per esempio, un polinomio di grado \(n\), allora sapremmo che ci sono \(n\) soluzioni, e un'altra cosa notevole affermata da questo teorema è che la parte polinomiale può essere scritta come

\[\displaystyle p(x) = (x - \alpha_1) (x - \alpha_2) (x - \alpha_3) \cdot\cdot\cdot (x - \alpha_n) \]

dove \(\alpha_1\), ..., \(\alpha_n\) sono le soluzioni. Ma può accadere che non tutte le soluzioni siano diverse. Infatti, potremmo avere qualcosa di simile a

\[ p = (x - \alpha)^n\]

indicando che tutte le n soluzioni sono uguali.

Quali sono le regole per i polinomi?

• Passo 1: I polinomi sono combinazioni lineari di espressioni della forma \(x^k\)
• Passo 2: I polinomi che ci interessano sono quelli con termini \(x^k\), solo con numeri interi \(k\)
• Passaggio 3: I polinomi sono funzioni semplici che possono essere sommate, sottratte, moltiplicate e divise.

Osservare che Operazioni polinomiali non sono chiusi. Si noti che quando si sommano, sottraggono e moltiplicano polinomi, il risultato sarà sempre un polinomio. Ma quando si dividono i polinomi, il risultato non sarà necessariamente un polinomio, anche se la divisione e il resto saranno polinomi. Verificate il algoritmo di divisione lunga polinomiale .

Che cos'è un'equazione polinomiale e come si risolve?

Un'equazione polinomiale, in parole povere, è un'equazione matematica in cui i termini della parte sinistra e destra dell'equazione sono polinomi. Di solito queste equazioni sono date con una costante sul lato destro, ma non è sempre così.

Ad esempio, \(x^2 + 3x = 2\) è un'equazione polinomiale, perché i termini di entrambi i lati dell'equazione sono polinomi (la costante "2" è un polinomio di ordine 0).

Ma \(x^2 + \sin(x) = 2x\) non è un'equazione polinomiale, perché i termini della parte sinistra non sono polinomiali (a causa della presenza del termine \(\sin(x)\)).

Esempio: calcolo delle soluzioni di equazioni polinomiali

Calcolare la soluzione di: \(x^2 = x^4\)

Soluzione:

Dobbiamo risolvere la seguente equazione polinomiale:

\[x^2=x^4\]

L'equazione che dobbiamo risolvere ha una sola variabile, che è \(x\), quindi l'obiettivo è risolverla.

Osserva che il grado del polinomio dato è \(\displaystyle deg(p) = 4\), il suo coefficiente principale è \(\displaystyle a_{4} = -1\) e il suo coefficiente costante è \(\displaystyle a_0 = 0\).

Poiché il primo termine con coefficiente non nullo in \(p(x)\) è \(x^2\), possiamo estrarre questo termine per ottenere il risultato:

\[\displaystyle p(x) = -x^4+x^2 = x^2 \left(\displaystyle -x^2+1 \right) \]

ma il termine tra parentesi ha grado 2 e dobbiamo vedere se può essere ulteriormente fattorizzato.

Dobbiamo risolvere la seguente equazione quadratica \(\displaystyle -x^2+1=0\).

Per un'equazione quadratica della forma \(a x^2 + bx + c = 0\), le radici vengono calcolate utilizzando la seguente formula:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

In questo caso, abbiamo che l'equazione da risolvere è \(\displaystyle -x^2+1 = 0\), il che implica che i coefficienti corrispondenti sono:

\[a = -1\] \[b = 0\] \[c = 1\]

Innanzitutto, calcoleremo il discriminante per valutare la natura delle radici. La discriminante è calcolata come:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( 0\right)^2 - 4 \cdot \left(-1\right)\cdot \left(1\right) = 4\]

Poiché in questo caso otteniamo che il discriminante è \(\Delta = \displaystyle 4 > 0\), che è positivo, sappiamo che l'equazione ha due radici reali diverse.

Ora, inserendo questi valori nella formula per le radici otteniamo:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{\left(0\right)^2-4\left(-1\right)\left(1\right)}}{2\cdot -1} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{4}}{-2}\]

allora, troviamo che:

\[ {x}_1 = \frac{0}{-2}-\frac{1}{-2}\sqrt{4}=\frac{0}{-2}-\left(-1\right)=1 \] \[{x}_2 = \frac{0}{-2}+\frac{1}{-2}\sqrt{4}=\frac{0}{-2}-1=-1\]

In questo caso, l'equazione quadratica \( \displaystyle -x^2+1 = 0 \), ha due radici reali, quindi:

\[\displaystyle -x^2+1 = - \left(x-1\right)\left(x+1\right)\]

quindi il polinomio originale viene scomposto come \(\displaystyle p(x) = -x^4+x^2 = - x^2 \left(x-1\right)\left(x+1\right) \), che completa la fattorizzazione.

Conclusione : Pertanto, la fattorizzazione finale che otteniamo è:

\[\displaystyle p(x) = -x^4+x^2 = - x^2\left(x-1\right)\left(x+1\right)\]

Le radici trovate con il processo di fattorizzazione sono \(0\), \(1\) e \(-1\) .

Altre utili calcolatrici di equazioni

Risolutori di equazioni sono molto importanti in matematica, poiché le equazioni sono di solito il modo in cui esprimiamo l'associazione tra quantità correlate. La capacità di risolvere le equazioni permette di scoprire alcuni punti speciali che soddisfano un'uguaglianza specifica.

Le calcolatrici generiche sono difficili da realizzare, poiché strutture di equazioni diverse richiedono strategie risolutive diverse. A calcolatrice di equazioni trigonometriche di solito sfrutta la relazione tra le diverse funzioni trigonometriche per trovare le soluzioni, allo stesso modo in cui equazioni esponenziali E equazioni logaritmiche avranno approcci propri, basati sulle proprietà chiave detenute rispettivamente dagli esponenti e dai logaritmi. .

La maggior parte dei problemi algebrici può essere rappresentata, quindi risolvendo le equazioni troviamo la chiave di quei problemi algebrici, quei punti speciali che soddisfano specifiche proprietà di interesse.

In generale, risolvere le equazioni non è facile. Si possono seguire alcune strategie utili, come il riarrangiamento delle equazioni, la fattorizzazione o il calcolo di un'equazione espressioni semplificative . Ma alla fine, ogni tipo di equazione vi darà un tipo di struttura che svelerà il percorso verso la soluzione

Ad esempio, per le equazioni radicali è sicuramente necessario risolvere il termine che ha una radice e utilizzare una potenza per eliminare la radice, trasformandola in un'equazione polinomiale. Ma questa strada, che funziona perfettamente per un'equazione radicale, potrebbe non funzionare per un'equazione trigonometrica, ad esempio.