Equazioni algebriche

Le equazioni sono senza dubbio uno degli elementi principali a cui prestare attenzione in Algebra. Questa calcolatrice vi permetterà di risolvere un'equazione algebrica da voi fornita, sia essa lineare o non lineare

Tutto quello che dovete fare è digitare o incollare il comando equazione che si vuole risolvere e fare clic sul pulsante "Risolvi" per ottenere tutti i passaggi della soluzione mostrata.

Un'avvertenza: non tutte le equazioni algebriche saranno facilmente risolvibili e alcune non lo saranno affatto. Naturalmente, alcuni esempi facili come Equazioni lineari O equazioni quadratiche sono abbastanza semplici, ma questo è tutto.

Tutto ciò che non rientra in queste categorie semplicemente non avrà un metodo standard/straordinario per essere risolto. Ciò non significa che non sia possibile risolverli, ma solo che non esiste una "tabella di marcia" per farlo.

Che cos'è un'equazione algebrica?

Un'equazione algebrica, nota anche come equazione algebrica, è un termine generico che si riferisce ai diversi tipi di equazioni matematiche che si possono trovare quando si lavora con l'algebra.

Si va da equazioni lineari banali come

\[\displaystyle \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} = \frac{5}{6} \]

a equazioni più complicate come

\[\displaystyle \sin \left(\frac{1}{2} x^2 + x + 1 \right)= \frac{\sqrt{2}}{2} \]

alle equazioni che non possono essere risolte con metodi elementari, come ad esempio

\[\displaystyle x e^x = \sin x \]

Quali sono le equazioni/formule di base dell'algebra?

Ce ne sono molti, forse troppi da citare:

• Passo 1: Esistono diversi tipi di equazioni, come quelle lineari, quadratiche e polinomiali
• Passo 2: A parte le equazioni (che sono soddisfatte solo da alcuni valori di x), abbiamo diverse identità algebriche, che valgono per tutti i valori
• Passaggio 3: Le identità di base dell'algebra sono l'espansione binomiale (a+b) ² = a ² + 2ab + b ² , la differenza dei quadrati: a ² - b ² = (a+b)(a-b), solo per citarne alcuni

La grande differenza tra equazioni e identità è che le identità sono espressioni che valgono per tutti i valori inseriti, mentre le equazioni valgono solo per alcuni valori selezionati. Di solito si utilizzano le identità per risolvere le equazioni.

Che cos'è un'equazione algebrica di base?

L'equazione più elementare dell'algebra è l'equazione lineare. Ad esempio, per una variabile, l'equazione equazione lineare È:

\[\displaystyle a x + b = c \]

Osserviamo che il lato sinistro corrisponde a \(ax + b\), che è una funzione lineare. Questo tipo di funzione ha una forte interpretazione geometrica, in quanto è strettamente correlata a una retta geometrica, dove \(a\) corrisponde alla retta pendenza e \(b\) al Intercettazioni a Y .

Quali sono gli usi delle equazioni algebriche?

• Passo 1: Le equazioni algebriche racchiudono le relazioni tra le variabili. La soluzione di un'equazione porta di solito a un punto molto singolare nell'interazione degli elementi
• Passo 2: Utilizzando le equazioni, possiamo quantificare le cose e parlare in modo specifico delle variabili
• Passaggio 3: Le equazioni sono di solito la chiave di grandi cose: punti di equilibrio, punti di massimo guadagno, punti di minima resistenza, ecc.

Pertanto, vogliamo avere delle equazioni. Un piccolo problema è che le equazioni possono essere difficili da risolvere. Utilizzando un Risolutore di equazioni con passi può rivelarsi cruciale al momento di affrontare le equazioni più difficili che inevitabilmente troveremo.

Qual è l'equazione più popolare dell'algebra?

Dipende da chi lo chiede. Per alcuni, l'equazione più popolare è quella più semplice, che senza dubbio è l'equazione lineare. Ma se chiedete a un matematico, vi dirà qualcosa di diverso.

Alcuni puristi vi diranno che questa è la formula più popolare dell'Algebra:

\[\displaystyle e^{-i \pi} + 1 = 0 \]

perché utilizza TUTTI i simboli matematici più importanti. Punti di vista, eh?

Esempio: equazioni lineari

Risolvere la seguente equazione lineare: \(2x + 3y = \frac{1}{6}\)

Soluzione: Dobbiamo risolvere la seguente equazione lineare:

\[2x+3y=\frac{1}{6}\]

L'equazione lineare ha due variabili, che sono \(x\) e \(x\), quindi l'obiettivo è risolvere per \(x\).

Mettendo \(y\) sul lato sinistro e \(x\) e la costante sul lato destro otteniamo

\[\displaystyle 3y = -2x + \frac{1}{6}\]

Ora, risolvendo per \(y\), dividendo entrambi i membri dell'equazione per \(3\), si ottiene quanto segue

\[\displaystyle y=-\frac{2}{3}x+\frac{\frac{1}{6}}{3}\]

e semplificando si ottiene la seguente formula

\[\displaystyle y=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{18}\]

Pertanto, la soluzione di \(x\) per l'equazione lineare data porta a \(y=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{18}\).

Esempio: equazioni quadratiche

Risolvere la seguente equazione quadratica: \(2x^2 + \frac{5}{4}x - \frac{1}{6} = 0\)

Soluzione: Dobbiamo risolvere la seguente equazione polinomiale:

\[2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6}=0\]

L'equazione che dobbiamo risolvere ha una sola variabile, che è \(x\), quindi l'obiettivo è risolverla.

Osserva che il grado del polinomio dato è \(\displaystyle deg(p) = 2\), il suo coefficiente principale è \(\displaystyle a_{2} = 2\) e il suo coefficiente costante è \(\displaystyle a_0 = -\frac{1}{6}\).

Dobbiamo risolvere la seguente equazione quadratica \(\displaystyle 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6}=0\).

Usando la formula quadratica

Per un'equazione quadratica della forma \(a x^2 + bx + c = 0\), le radici vengono calcolate utilizzando la seguente formula:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

In questo caso, abbiamo che l'equazione da risolvere è \(\displaystyle 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 0\), il che implica che i coefficienti corrispondenti sono:

\[a = 2\] \[b = \frac{5}{4}\] \[c = -\frac{1}{6}\]

Innanzitutto, calcoleremo il discriminante per valutare la natura delle radici. La discriminante è calcolata come:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( \frac{5}{4}\right)^2 - 4 \cdot \left(2\right)\cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{139}{48}\]

Poiché in questo caso otteniamo che il discriminante è \(\Delta = \displaystyle \frac{139}{48} > 0\), che è positivo, sappiamo che l'equazione ha due radici reali diverse.

Ora, inserendo questi valori nella formula per le radici otteniamo:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\left(\frac{5}{4}\right)^2-4\left(2\right)\left(-\frac{1}{6}\right)}}{2\cdot 2} = \displaystyle \frac{-\frac{5}{4} \pm \sqrt{\frac{139}{48}}}{4}\]

allora, troviamo che:

\[ {x}_1 = -\frac{\frac{5}{4}}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=\frac{-5}{4\cdot 4}-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=-\frac{5}{16}-\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16} \] \[{x}_2 = -\frac{\frac{5}{4}}{4}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=\frac{-5}{4\cdot 4}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=-\frac{5}{16}+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{139}{48}}=\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\]

In questo caso, l'equazione quadratica \( \displaystyle 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 0 \), ha due radici reali, quindi:

\[\displaystyle 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 2 \left(x+\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\left(x-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\]

quindi il polinomio originale viene scomposto come \(\displaystyle p(x) = 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 2 \left(x+\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\left(x-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right) \), che completa la fattorizzazione.

Conclusione : Pertanto, la fattorizzazione finale che otteniamo è:

\[\displaystyle p(x) = 2x^2+\frac{5}{4}x-\frac{1}{6} = 2 \left(x+\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\left(x-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}+\frac{5}{16}\right)\]

Le radici trovate con il processo di fattorizzazione sono \(-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\) e \(\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\) .

Pertanto, la soluzione di \(x\) per l'equazione polinomiale data porta alle soluzioni \(x = \, \)\(-\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\), \(\frac{1}{48}\sqrt{139}\sqrt{3}-\frac{5}{16}\), utilizzando i metodi di fattorizzazione.

Altre utili calcolatrici di equazioni

Le equazioni lineari sono di gran lunga le più facili. Troverete molte più difficoltà risolvere le equazioni trigonometriche o qualsiasi equazione non lineare che non sia un'equazione Equazione polinomiale anche se le equazioni polinomiali possono essere molto difficili da risolvere.

Imparerete che i diversi tipi di equazioni seguono regole diverse. Si può usare, ad esempio, un'equazione calcolatrice di equazioni esponenziali in modo da sfruttare le proprietà degli esponenti per risolvere equazioni specifiche.

Lo stesso vale se si cerca di risolvere un'equazione logaritmica , dove le strutture specifiche della funzione logaritmica faciliteranno il processo di risoluzione delle equazioni.