Más sobre este salculadora de sistema de ecuaciones

Esta calculadora le permite calcular la solución de un sistema de ecuaciones lineales, siempre que el número de ecuaciones sea el mismo que el número de variables, y puede definir un sistema de hasta cinco variables y cinco ecuaciones.

Resolver un sistema de ecuaciones puede ser laborioso y requiere muchos cálculos, especialmente para sistemas grandes.

Como resolver un sistema de ecuaciones

Hay varias estrategias, pero las más utilizadas son:

• El método gráfico
• El método de sustitución
• El método de eliminación

Esos métodos se usan ampliamente, especialmente para sistemas 2x2 (es decir, sistemas con 2 variables y 2 ecuaciones). El problema con estos métodos es que se vuelven engorrosos para sistemas más grandes.

Y el método gráfico solo es aplicable para sistemas 2x2. Para sistemas grandes, puede usar reglas más sistemáticas como la eliminación gaussiana y Método de Cramer .

Hay varios métodos que se pueden usar para calcular soluciones a sistemas de ecuaciones lineales, pero preferimos usar el regla de Cramer enfoque, ya que es una de las formas más fáciles de recordar el cálculo de las soluciones del sistema.

Cómo resolver un sistema de ecuaciones con esta calculadora

1. Decidir sobre el tamaño del sistema (número de variables y número de ecuaciones). Las opciones son sistemas 2x2, 3x3, 4x4 y 5x5
2. Una vez que se especifica el tamaño, debe especificar los coeficientes asociados a cada variable
3. Si no se utiliza un coeficiente, déjelo en blanco o escriba 0
4. Haga clic en "Calcular" y este salculadora le mostrará todos los pasos y soluciones

La regla de Cramer está estrechamente relacionada con esto. calculadora de soluciones de un sistema de ecuaciones utilizando matrices , por lo que también puede usar esa ruta en su lugar.

¿Es este un sistema de resolución de 5 ecuaciones?

Sí, con este solver puedes obtener las soluciones a sistemas de hasta 5 ecuaciones y 5 variables. La metodología para más variables y ecuaciones realmente no cambia, pero los cálculos manuales se vuelven realmente largos. Entonces, para más de 5 ecuaciones, es posible que desee resolverlas con una computadora.

¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones usando este salculadora?

Paso 1: Debe especificar el sistema de ecuaciones que desea resolver, llenando los espacios en blanco con los coeficientes del sistema. Observe que cuando una variable no está en la ecuación, su coeficiente debe establecerse en cero.

Paso 2: Simplemente haga clic en "Calcular" y este salculadora hará el resto. Primero, la calculadora encontrará la forma matricial.

Paso 3: El salculadora calculará el determinante de la matriz A. Si det(A) = 0, sabemos que el sistema no tendrá una solución única.

Paso 4: La calculadora calculará la matriz adjunta.

Paso 5: El salculadora utiliza la fórmula de la regla de Cramer para calcular las soluciones correspondientes:

\[x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j) }{\det(A)}\]

Entonces, ¿cómo resolverías una ecuación de 6 variables?

Sería exactamente el mismo enfoque, solo que el cálculo de la matriz adjunta sería potencialmente muy laborioso. Sería mejor con un CAS como Mathematica o Matlab para obtener las soluciones, saltándose todo el paso a paso, lo que podría ser demasiado extenso.

¿Puedes usar Excel para resolver un sistema de ecuaciones?

Técnicamente puede, usando algunas funciones de grupo especiales, como "=MMULT", pero normalmente el usuario promedio de Excel no sabrá cómo hacerlo.

La ventaja de este salculadora de sistema de ecuaciones con pasos es que todo lo que necesita hacer es especificar el Sistema de Ecuaciones quieres resolver, utilizando un from visualmente intuitivo. A partir de ese momento, todo lo que necesita hacer es hacer clic en "Calcular" para obtener el cálculo paso a paso.

Ejemplo de solución de un sistema de ecuaciones

Considere el siguiente sistema de ecuación

\[ \begin{aligned} 2 x&\, + \, &3 y&\, + \, & z & \, = \,3\\2 x&\, + \, &2 y&\, + \, &4 z & \, = \,1\\ x&\, + \, & y&\, + \, & z & \, = \,2 \end{aligned}\]

Resuelve el sistema anterior usando la Regla de Cramer, mostrando todos los pasos.

Solución: Se ha proporcionado un sistema \(3 \times 3\) de ecuaciones lineales.

Paso 1: encuentre la estructura matricial correspondiente

El primer paso consiste en encontrar la matriz \(A\) y el vector \(b\) correspondientes que permitan escribir el sistema como \(A x = b\).

En este caso, y en base a los coeficientes de las ecuaciones proporcionadas, obtenemos que

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

y

\[ b = \begin{bmatrix} \displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

Paso 2: Calcule el Determinante de la Matriz

Ahora, necesitamos calcular el determinante de \(A\) para saber si podemos usar la regla de Cramer o no:

Utilizando la fórmula del subdeterminante obtenemos:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( -2 \right) - 3 \cdot \left( -2 \right) + 1 \cdot \left( 0 \right) = 2\]

Desde \(\det(A) = \displaystyle 2 \ne 0\), concluimos que la matriz es invertible, y podemos continuar con el uso de la Regla de Cramer.

Paso 3: Cálculo de las soluciones

Ahora, necesitamos calcular cada una de las soluciones \(x_j\), usando la fórmula:

\[ x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j)}{\det(A)}\]

donde \(A^j\) corresponde exactamente a la matriz \(A\) excepto que la columna j se reemplaza por \(b\).

Para \(x\):

Utilizando la fórmula del subdeterminante obtenemos:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) - 3 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right)\] \[ = 3 \cdot \left( -2 \right) - 3 \cdot \left( -7 \right) + 1 \cdot \left( -3 \right) = 12\]

Ahora encontramos que usando la fórmula de Cramer, \(x\) se calcula como

\[x = \displaystyle \frac{\det(A^{ 1}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle 12 }{ \displaystyle 2} = 6 \]

Para \(y\):

Utilizando la fórmula del subdeterminante obtenemos:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(4 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( -7 \right) - 3 \cdot \left( -2 \right) + 1 \cdot \left( 3 \right) = -5\]

Ahora encontramos que usando la fórmula de Cramer, \(y\) se calcula como

\[y = \displaystyle \frac{\det(A^{ 2}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -5 }{ \displaystyle 2} = -\frac{5}{2} \]

Para \(z\):

Utilizando la fórmula del subdeterminante obtenemos:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) + 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 3 \right) - 3 \cdot \left( 3 \right) + 3 \cdot \left( 0 \right) = -3\]

Ahora encontramos que usando la fórmula de Cramer, \(z\) se calcula como

\[z = \displaystyle \frac{\det(A^{ 3}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -3 }{ \displaystyle 2} = -\frac{3}{2} \]

Por lo tanto, y resumiendo, la solución es

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle x\\\\\displaystyle y\\\\\displaystyle z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle 6\\\\\displaystyle -\frac{ 5}{ 2}\\\\\displaystyle -\frac{ 3}{ 2} \end{bmatrix} \]

que concluye el cálculo de las soluciones para el sistema lineal dado.