Acerca de esta calculadora de la regla de cramer

resolver sistemas de ecuaciones lineales es uno de los objetos primordiales en Álgebra. Esto se debe a que muchas aplicaciones diferentes conducen directamente a la solución de tales sistemas.

Podría ser que al trabajar con un problema de palabras o al asignar dietas óptimas a los soldados del ejército, se topará con algún tipo de sistema lineal.

Y regla de Cramer es uno de los enfoques más comunes para resolver grandes sistemas de ecuaciones lineales , especialmente cuando el número de ecuaciones es el mismo que el número de variables.

No es que la regla de Cramer simplifique el número de operaciones requeridas para resolver un sistema de ecuaciones, su fama se basa en el hecho de que es una regla fácil de memorizar.

Primero: ¿cómo se calcula la regla de cramer?

Paso 1: Para que la regla de Cramer funcione, debe comenzar con un sistema de ecuaciones que tenga el mismo número de ecuaciones que el número de variables. Si ese no es el caso, detente, no puedes usar la Regla de Cramer.

Paso 2: Identifique el sistema de ecuaciones en forma matricial: \(Ax = b\), donde \(A\) es una matriz \(n \times n\) que contiene los coeficientes que multiplican las variables y \(A_{ij}\) es el coeficiente que multiplica el j ^el variable en la i ^el ecuación, y \(b\) es un vector de tamaño \(n\) que recoge todo el lado derecho de cada una de las ecuaciones.

Paso 3: Calcule el determinante de la matriz \(A\). Si \(\det(A) = 0\), el sistema tiene más de una solución y la Regla de Cramer no puede hacer nada más.

Paso 4: Usted define la matriz asociada \(A^{j}\) para que sea igual a la matriz \(A\), excepto que la columna j de la matriz \(A\) se reemplaza por \(b\).

Paso 5: Si \(\det(A) \ne 0\), hay una solución única, y los componentes \(x_j\) , con \(j = 1, 2, ..., n\) se calculan como

\[x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j) }{\det(A)}\]

¿cómo se hace la regla de cramer en una calculadora?

Diferentes calculadoras realizarán la regla de Cramer por usted, pero la mayoría no le mostrará los pasos. Nuestra calculadora lo guiará a través de todos los pasos, con todos los detalles.

¿cómo se resuelve una matriz de 4x4 en la regla de cramer?

Una de las razones por las que la regla de Cramer es tan popular es que su formulación realmente no cambia mucho, si es que lo hace, para diferentes tamaños de sistemas.

De hecho, hacer la Regla de Cramer para un sistema 4x4 no es más difícil que hacerlo para un sistema 2x2 (aparte de que el cálculo de los determinantes involucrados será más laborioso)

En última instancia, independientemente del tamaño del sistema, calcula las soluciones de acuerdo con

\[x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j) }{\det(A)}\]

lo que significa que toma la matriz original y reemplaza una columna de \(A\) por \(b\) y calcula los determinantes y encuentra el cociente de ellos.

Cómo hacer la calculadora de la regla de cramer para ax=b

Resolver ax=b en este contexto se refiere a resolver \(Ax = b\) al nivel de la matriz. Entonces, el truco para usar correctamente la Regla de Cramer es convertir correctamente un sistema dado de ecuaciones en una ecuación matricial de la forma \(Ax = b\).

Ejemplo del uso de la regla de cramer

Pregunta: Se ha proporcionado el siguiente sistema \(3 \times 3\) de ecuaciones lineales:

\[ \begin{aligned} 2 x&\, + \, &3 y&\, + \, &4 z & \, = \,1\\2 x&\, + \, &3 y&\, + \, &2 z & \, = \,5\\ x&\, + \, &2 y&\, + \, &8 z & \, = \,2 \end{aligned}\]

Resuelve el sistema anterior usando la Regla de Cramer, mostrando todos los pasos.

Solución:

Paso 1: encuentre la estructura matricial correspondiente

El primer paso consiste en encontrar la matriz \(A\) y el vector \(b\) correspondientes que permitan escribir el sistema como \(A x = b\).

En este caso, y en base a los coeficientes de las ecuaciones proporcionadas, obtenemos que

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{bmatrix} \]

y

\[ b = \begin{bmatrix} \displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 5\\[0.6em]\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

Paso 2: calcule el determinante de la matriz

Ahora, necesitamos calcular el determinante de \(A\) para saber si podemos usar la regla de Cramer o no:

Utilizando la fórmula del subdeterminante obtenemos:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 3 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 8 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right) + 4 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 20 \right) - 3 \cdot \left( 14 \right) + 4 \cdot \left( 1 \right) = 2\]

Desde \(\det(A) = \displaystyle 2 \ne 0\), concluimos que la matriz es invertible, y podemos continuar con el uso de la Regla de Cramer.

Paso 3: cálculo de las soluciones

Ahora, necesitamos calcular cada una de las soluciones \(x_j\), usando la fórmula:

\[ x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j)}{\det(A)}\]

donde \(A^j\) corresponde exactamente a la matriz \(A\) excepto que la columna j se reemplaza por \(b\).

Para \(x\):

Utilizando la fórmula del subdeterminante obtenemos:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 5&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 3 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) - 3 \cdot \left( 5 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) + 4 \cdot \left( 5 \cdot \left( 2 \right) - 2 \cdot \left(3 \right) \right)\] \[ = 1 \cdot \left( 20 \right) - 3 \cdot \left( 36 \right) + 4 \cdot \left( 4 \right) = -72\]

Ahora encontramos que usando la fórmula de Cramer, \(x\) se calcula como

\[x = \displaystyle \frac{\det(A^{ 1}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 5&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -72 }{ \displaystyle 2} = -36 \]

Para \(y\):

Utilizando la fórmula del subdeterminante obtenemos:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 5&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 5 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) - 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 8 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right) + 4 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(5 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 36 \right) - 1 \cdot \left( 14 \right) + 4 \cdot \left( -1 \right) = 54\]

Ahora encontramos que usando la fórmula de Cramer, \(y\) se calcula como

\[y = \displaystyle \frac{\det(A^{ 2}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 5&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle 54 }{ \displaystyle 2} = 27 \]

Para \(z\):

Utilizando la fórmula del subdeterminante obtenemos:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 5\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 3 \cdot \left( 2 \right) - 2 \cdot \left(5 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(5 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( -4 \right) - 3 \cdot \left( -1 \right) + 1 \cdot \left( 1 \right) = -4\]

Ahora encontramos que usando la fórmula de Cramer, \(z\) se calcula como

\[z = \displaystyle \frac{\det(A^{ 3}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 5\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -4 }{ \displaystyle 2} = -2 \]

Por lo tanto, y resumiendo, la solución es

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle x\\\\\displaystyle y\\\\\displaystyle z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -36\\\\\displaystyle 27\\\\\displaystyle -2 \end{bmatrix} \]

que concluye el cálculo de las soluciones para el sistema lineal dado.