Resolviendo un sistema de ecuaciones usando matrices

resolver sistemas de ecuaciones lineales puede ser fácilmente una de las habilidades más prácticas que jamás aprenderá en Álgebra, o incluso Matemáticas en general.

La razón de esto es que innumerables aplicaciones de la vida real que son realmente útiles resultan ser resueltas usando sistemas de ecuaciones lineales.

Existen muchas metodologías para resolver sistemas, que suelen utilizar diferentes enfoques. Un enfoque común es el enfoque matricial, que consiste en primero convertir el sistema de ecuaciones en su forma matricial .

¿cómo se resuelve un sistema de ecuaciones usando matrices?

Paso 1: Convierta las ecuaciones lineales en matrices a partir de las cuales identifique variables \(A\) (la matriz de coeficientes que multiplican las correspondientes) y \(b\) (el vector de coeficientes del lado derecho).

Paso 2: Calcule la inversa de la matriz \(A\), a la que llamaremos \(A^{-1}\).

Paso 3: Se encuentra que la solución del sistema es \(x = A^{-1} b\). En otras palabras, multiplicas el inverso de \(A\) por \(b\) para obtener el vector con soluciones.

Note que esto parece bastante simple, pero hay muchos cálculos involucrados para encontrar la inversa \(A^{-1}\), particularmente si el tamaño de la matriz es grande. Para un 4x4 y superior puede ser bastante largo.

Entonces, ¿cómo puedes resolver sistemas en una calculadora?

Los detalles varían específicamente, dependiendo de cada calculadora. Cada máquina tendrá su was y formato para ingresar un sistema. En el caso de nuestra calculadora, obtendrá un panorama visual claro de los coeficientes que debe completar para especificar el sistema. Después de eso, la calculadora le mostrará todos los pasos relevantes.

¿qué es la consistencia de un sistema de ecuaciones lineales?

La consistencia significa que la ecuación no conduce a algo que es imposible, como "2 = 3". Por lo general, antes de intentar resolver un sistema, en el caso de que tenga el mismo número de ecuaciones y variables, primero calcula el determinante de la matriz.

Si el determinante es diferente de cero, puede proceder con seguridad con el cálculo del inverso y tiene la garantía de que el sistema no tiene ninguna inconsistencia.

Qué hacer si la matriz no está al cuadrado: eliminación de gauss

Este método de resolver un sistema calculando la inversa de la matriz de coeficientes A y multiplicándola por b solo funciona cuando el número de variables es igual al número de ecuaciones. Si ese no es el caso, sería apropiado usar la eliminación de Gauss.

Ejemplo

Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

\[ \begin{aligned} 2 x&\, + \, & y&\, + \, &2 z & \, = \,1\\ x&\, + \, & y&\, + \, & z & \, = \,2\\ x&\, + \, & y&\, + \, &2 z & \, = \,3 \end{aligned}\]

Resuelve el sistema anterior usando matrices.

Solución: Se ha proporcionado un sistema \(3 \times 3\) de ecuaciones lineales y necesitamos resolver este sistema usando matrices.

Paso 1: encuentre la estructura matricial correspondiente

El primer paso consiste en encontrar la matriz \(A\) y el vector \(b\) correspondientes que permitan escribir el sistema como \(A x = b\).

En este caso, y en base a los coeficientes de las ecuaciones proporcionadas, obtenemos que

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

y

\[ b = \begin{bmatrix} \displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 3 \end{bmatrix} \]

Paso 2: calcule el determinante de la matriz

Ahora, necesitamos calcular el determinante de \(A\) para saber si podemos o no calcular la inversa de la matriz \(A\):

Utilizando la fórmula del subdeterminante obtenemos:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) - 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) + 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left( 1 \right) + 2 \cdot \left( 0 \right) = 1\]

Como \(\det(A) = \displaystyle 1 \ne 0\), concluimos que la matriz es invertible y podemos continuar con el cálculo de la inversa.

Paso 3: cálculo de la inversa

Ahora calculamos la matriz de menores. Tenemos que, por definición, la matriz de menores \(M\) está definida por la fórmula

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

donde en este caso \( A^{i,j}\) es la matriz \(A\) tras eliminar la fila \(i\) y la columna \(j\).

Por tanto, y en base a la matriz \(A\) proporcionada obtenemos los siguientes coeficientes de la matriz de menores:

Para \(A^{ 1, 1}\):

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Para \(A^{ 1, 2}\):

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Para \(A^{ 1, 3}\):

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 0\]

Para \(A^{ 2, 1}\):

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = 0\]

Para \(A^{ 2, 2}\):

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = 2\]

Para \(A^{ 2, 3}\):

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Para \(A^{ 3, 1}\):

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = -1\]

Para \(A^{ 3, 2}\):

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = 0\]

Para \(A^{ 3, 3}\):

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Resumiendo, la matriz de menores es:

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

Ahora, podemos calcular los elementos de la matriz cofactora \(C\) utilizando la fórmula

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

La fórmula anterior se puede utilizar directamente porque los menores ya se conocen. Obtenemos

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \cdot 1 = (-1)^{ 2} \cdot 1 = 1\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \cdot 1 = (-1)^{ 3} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \cdot 0 = (-1)^{ 4} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 0 = (-1)^{ 3} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 2 = (-1)^{ 4} \cdot 2 = -2\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \cdot 1 = (-1)^{ 5} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \cdot 0 = (-1)^{ 5} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \cdot 1 = (-1)^{ 6} \cdot 1 = -1\]

Por lo tanto, la matriz de cofactores es:

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -2&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

Ahora, sólo tenemos que transponer la matriz cofactora que hemos encontrado para calcular la matriz adjunta. Obtenemos:

\[adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -2&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

Finalmente, necesitamos multiplicar cada componente de la matriz adjunta por \(\displaystyle \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{1} = 1\), lo que no afecta a la adjunta. Entonces obtenemos:

\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

Paso 4: cálculo de las soluciones

Ahora que conocemos la inversa \(A^{-1}\), el vector de soluciones se calcula como:

\[ x = A^{-1} b = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle 1\cdot 1+0\cdot 2+1\cdot 3\\[0.6em]\displaystyle -1\cdot 1+\left(-2\right)\cdot 2+0\cdot 3\\[0.6em]\displaystyle 0\cdot 1+\left(-1\right)\cdot 2+\left(-1\right)\cdot 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -2\\\\\displaystyle 3\\\\\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

Por tanto, y resumiendo, el vector solución es

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle x\\\\\displaystyle y\\\\\displaystyle z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -2\\\\\displaystyle 3\\\\\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

que concluye el cálculo de las soluciones para el sistema lineal dado.