Más sobre esta calculadora de matrices invertibles con pasos

El concepto de inversa de matriz aparecerá en muchos contextos en el Álgebra. En primer lugar, para las matrices, la idea es poder operar con ellas de forma similar a como lo haríamos con los números. Y, de hecho, hay razonables operaciones de suma , sustracción y multiplicación de matrices .

Pero, ¿qué pasa con la "división" de las matrices? Cuando tenemos un número, 3, por ejemplo, puedo definir la inversa (multiplicativa) de ese número, que podría escribir como \(3^{-1}\), o más comúnmente escrita como \(\displaystyle \frac{1}{3}\).

Una propiedad crucial de este inverso es que cuando se multiplica al número original, da 1, esto es \(3 \cdot \displaystyle \frac{1}{3} = 1\).

Cómo identificar una matriz invertible

• Encuentra que su determinante es diferente de cero
• Obtenga su formulario de fila-echelón y obtener una matriz diagonal sin ceros
• Descubra que el RREF de la matriz es la identidad

¿Cómo se define la inversa de una matriz?

Para las matrices, el papel del "1" lo desempeña la matriz identidad \(I\), y dada una matriz \(A\), diremos que \(A^{-1}\) es la inversa de \(A\) si \(A A^{-1} = I = A^{-1} A\).

Es decir, la inversa de una matriz dada \(A\) es una matriz que tiene la propiedad de que multiplicando esa matriz por la original , conduce a la matriz de identidad I.

¿Cómo se calcula la matriz inversa?

Hay muchas, muchas maneras diferentes de calcular la inversa de una matriz dada \(A\). Uno de los métodos más utilizados es el fórmula adjunta que se basa en la calculadora de un montón de determinantes de submatrices que se obtienen eliminando una fila y una columna de \(A\).

Observe que esta calculadora inversa también le da la opción de calcular la inversa utilizando el método de reducción de Gauss para calcular la forma escalonada reducida de una matriz aumentada.

También existe el método de pivoteo para convertir la matriz inicial \(A\) en la identidad utilizando matrices elementales, sin dejar de lado la multiplicación de esas matrices elementales, que resulta ser la inversa.

\[ E_1 E_2 \cdots E_k A = I \Rightarrow E_1 E_2 \cdots E_k = A^{-1}\]

También existen métodos de invertibilidad basados en algunas descomposiciones y, en última instancia, las matrices con una estructura útil específica pueden ser procesadas más rápidamente en términos de encontrar su inversa utilizando métodos especializados, sólo aplicables a ciertas estructuras.

¿Cuál es la fórmula de la matriz inversa?

Utilizando la fórmula del adjunto, encontramos que la fórmula de la inversa de una matriz \(A\) es:

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A)\]

A primera vista, esto parece sencillo Pero no lo es tanto cuando el tamaño de la matriz es grande. De hecho, la fórmula anterior te dice que para encontrar la inversa necesitas calcular el determinante de la matriz, y también necesitas calcular la matriz adjunta.

A diferencia de lo que las apariencias pueden sugerir, esto podría ser muy laborioso si el tamaño de la matriz es grande (como \(n > 4\)). Por lo tanto, es bueno que tengamos una fórmula compacta, pero eso no significa necesariamente que no sea laboriosa.

¿Cómo se puede invertir una matriz de 2x2?

En primer lugar, hay que asegurarse de que \(\det(A) \ne 0\). Supongamos que tenemos una matriz de 2x2, utilizaremos la fórmula del adjunto. Sea

\[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\]

por lo que utilizando la fórmula del adjunto obtendríamos

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T\]

Para la matriz general de 2x2 \(A\) su determinante es

\[ \det(A) = ad - bc\]

Además, la matriz de cofactores es

\[ C = \begin{bmatrix} (-1)^{1+1} d & (-1)^{1+2} c \\\\ (-1)^{2+1} b & (-1)^{2+2} a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d & -c \\\\ -b & a \end{bmatrix}\]

Así que ahora, tenemos que transponer la matriz \(C\):

\[ C^T = \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]

Así que, finalmente, tenemos la fórmula de la inversa:

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T = \displaystyle \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]

Bastante fácil, ¿no? ¿Quieres probar con el 3x3?

¿Cómo puedo encontrar la inversa de una matriz de 3x3?

El primer requisito, como con todas las matrices, es calcular el determinante y asegurarse de que \(\det(A) \ne 0\). A continuación, tenemos que recordar la fórmula genérica del adjunto

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T\]

donde \(C\) es la matriz de cofactores. Si se escribiera esto explícitamente, se obtendría algo así: para \(A\) una matriz genérica de 3x3:

\[ A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\]

obtendríamos

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T\]

Para la matriz general de 3x3 \(A\) su determinante es

\[ \det(A) = a(e i - hf) - b(d i - g f) + c(d h - g e)\]

Además, la matriz de cofactores es

\[ C = \begin{bmatrix} (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} e & f\\\\ h& i \end{vmatrix} & (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} d & f\\\\ g & i \end{vmatrix} & (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} d & e\\\\ g & h \end{vmatrix} \\\\ (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} b & c \\\\ h & i \end{vmatrix} & (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} a & c\\\\ g & i \end{vmatrix} & (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} a & b\\\\ g & h \end{vmatrix} \\\\ (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} b & c\\\\ e & f \end{vmatrix} & (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} a & c\\\\ d& f \end{vmatrix} & (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} a & b\\\\ d & e \end{vmatrix} \end{bmatrix}\] \[ = \begin{bmatrix} ei-fh & - (di - gf) & dh - ge \\ - (bi - hc) & ai - gc & - (ah - gb) \\ bf - ec & - (af-dc) & ae - db \end{bmatrix}\] \[ = \begin{bmatrix} ei-fh & gf - di & dh - ge \\ hc - bi & ai - gc & gb - ah \\ bf - ec & dc - af & ae - db \end{bmatrix}\]

Así que ahora, tenemos que transponer la matriz \(C\):

\[ C^T = \begin{bmatrix} ei-fh & gf - di & dh - ge \\ hc - bi & ai - gc & gb - ah \\ bf - ec & dc - af & ae - db \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} ei - fh & hc - bi & bf - ec \\ gf - di & ai - gc & dc - af \\ dh - ge & gb - ah & ae - db \end{bmatrix}\]

Así que, finalmente, tenemos la fórmula de la inversa:

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T = \displaystyle \frac{1}{a(e i - hf) - b(d i - g f) + c(d h - g e))} \begin{bmatrix} ei - fh & hc - bi & bf - ec \\ gf - di & ai - gc & dc - af \\ dh - ge & gb - ah & ae - db \end{bmatrix} \]

¿Listo para memorizar eso? Por supuesto que no. No es que tengas que hacerlo, en realidad. Esto es sólo una muestra de lo complicado que se vuelve cuando se trata de obtener una fórmula general para una simple matriz de 3x3. Se vuelve realmente complicado, y bastante inútil para \(n > 3\).

Por lo tanto, es mucho más práctico aplicar un conjunto de pasos para encontrar la inversa:

¿Qué pasos hay que seguir para calcular la inversa de una matriz?

Paso 1: Calcula el determinante de la matriz A dada. Tenga en cuenta que esto podría consumir mucho cálculo para matrices grandes, así que haga uso de calcular el determinante por la fila/columna con más ceros.

Paso 2: Calcula la matriz cofactora asociada a la matriz A. Tienes que calcularla componente por componente, calculando el determinante de la submatriz obtenida al eliminar la fila i y la columna j, multiplicada por el signo \((-1)^{i+j}\). De nuevo aquí, al calcular los subdeterminantes asegúrate de elegir la fila/columna con más ceros.

Paso 3: Una vez que tengas el determinante de la matriz original y la matriz cofactora, divide cada componente de la matriz cofactora por el determinante, y el resultado de eso es finalmente, la matriz inversa.

Cómo utilizar esta calculadora inversa

1. Especifica el tamaño de la matriz
2. Escriba los números que determinan la matriz
3. Seleccione el método que prefiere utilizar para calcular la inversa: "Fórmula Adjunta" o "Forma de Echelon de Fila Reducida"
4. Haga clic en "Calcular la inversa"

Ejemplo: Calcular la inversa de una matriz dada

Pregunta: Considere la siguiente matriz:

\[A = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

Halla su inversa utilizando la fórmula del adjunto.

Solución: Necesitamos calcular la inversa de una matriz \(3 \times 3\) que se ha proporcionado.

Paso 1: Calcular el determinante de la matriz

Utilizando la fórmula del subdeterminante obtenemos:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) - 2 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 1 \cdot \left( -3 \right) - 2 \cdot \left( -2 \right) + 1 \cdot \left( 1 \right) = 2\]

Como \(\det(A) = 2 \ne 0\), concluimos que la matriz es invertible, y podemos continuar con el cálculo de la inversa de la matriz dada \(A\).

Paso 2: Calcular la matriz de cofactores

Primero calculamos la matriz de menores. Tenemos que, por definición, la matriz de menores \(M\) está definida por la fórmula

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

donde en este caso \( A^{i,j}\) es la matriz \(A\) tras eliminar la fila \(i\) y la columna \(j\).

Por tanto, y en base a la matriz \(A\) proporcionada obtenemos los siguientes coeficientes de la matriz de menores:

Para \(A^{ 1, 1}\):

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) = -3\]

Para \(A^{ 1, 2}\):

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) = -2\]

Para \(A^{ 1, 3}\):

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Para \(A^{ 2, 1}\):

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Para \(A^{ 2, 2}\):

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 0\]

Para \(A^{ 2, 3}\):

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = -1\]

Para \(A^{ 3, 1}\):

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 4 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 7\]

Para \(A^{ 3, 2}\):

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 4 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) = 2\]

Para \(A^{ 3, 3}\):

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) = -3\]

Resumiendo, la matriz de menores es:

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle -2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 7&\displaystyle 2&\displaystyle -3 \end{bmatrix} \]

Ahora, podemos calcular los elementos de la matriz cofactora \(C\) utilizando la fórmula

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

La fórmula anterior se puede utilizar directamente porque los menores ya se conocen. Obtenemos

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \left(-3\right)= (-1)^{ 2} \left(-3\right) = -3\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \left(-2\right)= (-1)^{ 3} \left(-2\right) = 2\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \cdot 1 = (-1)^{ 4} \cdot 1 = 1\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 1 = (-1)^{ 3} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 0 = (-1)^{ 4} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \cdot 7 = (-1)^{ 4} \cdot 7 = -7\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \cdot 2 = (-1)^{ 5} \cdot 2 = -2\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \left(-3\right)= (-1)^{ 6} \left(-3\right) = 3\]

Resumiendo, la matriz de cofactores es:

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -7&\displaystyle -2&\displaystyle 3 \end{bmatrix} \]

Paso 3: Calcular la matriz adjunta a partir de la matriz cofactora

Ahora, sólo tenemos que transponer la matriz cofactora que hemos encontrado para calcular la matriz adjunta. Obtenemos:

\[adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -7&\displaystyle -2&\displaystyle 3 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle -1&\displaystyle -7\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 0&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 3 \end{bmatrix} \]

Paso 4: Calcular la inversa de la matriz de cofactores

Por último, tenemos que multiplicar \(\displaystyle \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{2}\) a cada componente de la matriz adjunta. Así que obtenemos:

\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle -1&\displaystyle -7\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 0&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-3\right)&\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-1\right)&\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-7\right)\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{2}\times2&\displaystyle \frac{1}{2}\times0&\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-2\right)\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{2}\times1&\displaystyle \frac{1}{2}\times1&\displaystyle \frac{1}{2}\times3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -\frac{3}{2}&\displaystyle -\frac{1}{2}&\displaystyle -\frac{7}{2}\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle \frac{3}{2} \end{bmatrix} \]

que concluye el cálculo de la inversa de la matriz \(A\).