Calculadora de la matriz RREF

La forma escalonada reducida es uno de los procesos más útiles en el Álgebra Lineal, y puede servir para múltiples propósitos.

La RREF se suele conseguir mediante el proceso de eliminación gaussiana. En términos de aplicaciones, la forma escalonada reducida puede utilizarse para resolver sistemas de ecuaciones lineales , a calcular la inversa de una matriz o para encontrar descomposiciones matriciales útiles

¿Qué es la rref de una matriz?

La idea de la forma escalonada es construir sistemáticamente una matriz equivalente mediante el uso de matrices elementales invertibles para llegar a una forma escalonada, que es una forma generalizada de una forma triangular.

Utilizando un enfoque de reducción de filas, podemos obtener una matriz con esta forma de fila-echelón, utilizando pivotes no nulos .

Ventajas de la RREF

• Esta calculadora de RREF reduce la matriz a una forma que resulta útil para muchos fines
• Por ejemplo, si la forma RREF final de la matriz dada es la identidad el la matriz es invertible
• Aumentando la matriz original, encontrar la forma RREF permite construir la inversa utilizando matrices elementales
• Proporciona una forma sistemática de resolver sistemas de ecuaciones lineales .

¿Cómo se calcula la forma escalonada reducida?

Hay diferentes enfoques que son posibles y que se pueden utilizar. Pero la idea principal es utilizar pivotes no nulos para eliminar todos los valores de la columna que están por debajo del pivote no nulo, que la base del procedimiento llamado eliminación gaussiana.

Uno de los elementos cruciales en esta reducción es saber si una matriz está en rref, por lo que detenemos el proceso cuando lo está.

Hay que seguir los siguientes pasos:

Paso 1 : Comprueba si la matriz ya está en forma escalonada reducida. Si lo está, entonces para, hemos terminado.

Paso 2 : Mira la primera columna. Si el valor de la primera fila no es cero, utilícelo como pivote. Si no lo es, comprueba si la columna tiene un elemento no nulo, y permuta las filas si es necesario para que el pivote esté en la primera fila de la columna. Si la primera columna es cero, pase a la siguiente columna a la derecha, hasta que encuentre una columna no nula.

Paso 3 : Utiliza el pivote para eliminar todos los valores no nulos por debajo del pivote.

Paso 4 : Normaliza el valor del pivote a 1.

Paso 5 : Utiliza el pivote para eliminar todos los valores no nulos por encima del pivote.

Paso 6 : Después de eso, si la matriz todavía no está en forma de fila-echelón, mueve una columna a la derecha y una fila abajo para buscar el siguiente pivote.

Paso 7 : Repite el proceso, igual que el anterior. Busque un pivote. Si ningún elemento es distinto de cero en la nueva posición del pivote, o por debajo, busque a la derecha una columna con un elemento distinto de cero en la posición del pivote o por debajo, y permute las filas si es necesario. A continuación, elimine los valores por debajo del pivote.

Paso 7 : Continúe el proceso de pivoteo hasta que la matriz esté en forma reducida de fila-echelón.

¿Cómo se calcula el escalón de fila reducido en una calculadora?

No todas las calculadoras realizan la eliminación de Gauss-Jordan, pero algunas sí. Normalmente, lo único que hay que hacer es introducir la matriz correspondiente que se quiere poner en forma RREF.

Observa que para tener una forma escalonada de fila reducida necesitas tener también ceros POR ENCIMA del pivote. Si no lo necesitas puedes usar esto calculadora de formas de escalonamiento de filas que no reduce los valores por encima del pivote

Esta calculadora le permitirá definir una matriz (con cualquier tipo de expresión, como fracciones y raíces, no sólo números), y luego se mostrarán todos los pasos del proceso de cómo llegar a la forma escalonada reducida final.

La mayoría de las calculadoras utilizan operaciones elementales de fila para realizar el cálculo, pero nuestra calculadora le mostrará exactamente y con detalle qué matrices elementales se utilizan en cada paso.

Cómo se resuelve una solución RREF

Depende un poco del contexto, pero una forma es empezar con un sistema lineal de ecuaciones, representarlo en forma de matriz, en cuyo caso la solución RREF al aumentar por valores del lado derecho.

Otra opción es empezar con una matriz y aumentarla con la matriz identidad, en cuyo caso la solución RREF llevará a la inversa de la matriz original.

Ejemplo de forma escalonada reducida

Pregunta: Suponga que tiene la siguiente matriz:

\[A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 7&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

Encuentra su forma escalonada reducida, mostrando todos los pasos y las correspondientes matrices elementales.

Solución: La matriz proporcionada es una matriz \(3 \times 3\).

Necesitamos encontrar la forma escalonada reducida de esta matriz.

Paso 1 : Operaciones utilizadas para reducir la columna \(1\):
\((1) - R_{ 1} + R_{ 2} \rightarrow R_{ 2}, \quad (2) - R_{ 1} + R_{ 3} \rightarrow R_{ 3}\)

\( \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 7&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \)

Paso 2 : Operación utilizada para reducir la columna \(1\):
\((1) \frac{1}{2} R_{ 1}\)

\( \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle \frac{3}{2}&\displaystyle \frac{1}{2}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \)

Para la columna \(2\), todos los elementos por debajo del pivote ya son cero, por lo que no necesitamos eliminar.

Paso 3 : Operaciones utilizadas para reducir la columna \(2\) por encima del pivote:
\((1) \frac{1}{4} R_{ 2}, \quad (2) -\frac{3}{2} R_{ 2} + R_{ 1} \rightarrow R_{ 1}\)

\( \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle \frac{3}{2}&\displaystyle \frac{1}{2}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle \frac{1}{8}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 1&\displaystyle \frac{1}{4}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \)

Paso 4 : Para la columna \(3\) no encontramos un pivote porque la columna es cero así que pasamos a la siguiente columna.

Por lo tanto, concluimos que la matriz en forma RREF es:

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle \frac{1}{8}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 1&\displaystyle \frac{1}{4}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \]