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Al igual que los cofactores, la matriz adjunta está estrechamente asociada a la inversa de una matriz. De hecho, la matriz inversa y la matriz adjunta son muy parecidas.

Para ser justos, el concepto de adjunto de una matriz desempeña un papel muy importante en las matemáticas avanzadas (donde en lugar de matrices tratamos con operadores lineales). Pero en las matemáticas universitarias, las únicas veces que te tropezarás con el adjunto es cuando calcular la inversa de una matriz utilizando la fórmula del adjunto.

¿Cómo se encuentra el adjunto de una matriz?

En primer lugar, en cuanto a cómo se calcula el adjunto de una matriz, recordemos el matriz para niños que se computa calculando el determinante de las submatrices formadas eliminando la i-ésima fila y la j-ésima columna de la matriz dada \(A\).

Entonces, los menores se definieron como:

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

¿Cómo llegar a la matriz de cofactores?

El cofactor matrix , \(C\) se obtiene a partir de los menores añadiendo ciertos "signos", y se define como:

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\]

Por último, ¿cómo se llega a la matriz adjunta? ¿Qué es la fórmula del adjunto?

Es muy sencillo Una vez que tenga el matriz de cofactores calculada ya, el usted necesita transponer la matriz para obtener el adjunto. Concretamente:

\[ adj(A) = C^T \]

Así que, para que sea más fácil de recordar, hemos dividido la fórmula del adjunto en 3 pasos: Primero, se calcula la matriz de menores, luego se calculan los cofactores y, por último, se transponen los cofactores para obtener el adjunto.

¿Son iguales el adjunto y la transposición?

Aunque el adjunto implica la transposición de una matriz, en general el adjunto y la transposición de matrices son diferentes entre sí.

¿Cómo se encuentra el adjunto de una matriz de 4x4 o mayor?

El proceso de encontrar el adjunto puede ser numéricamente extenso, teniendo en cuenta que hay que calcular los subdeterminantes de \(n^2\), que pueden crecer rápidamente con \(n \ge 4\).

Ejemplo de cálculo de la matriz adjunta

Pregunta: Considere la siguiente matriz

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix}\]

Calcula la matriz adyacente asociada \(adj A\).

Solución:

Necesitamos calcular la matriz adyacente de la matriz \(3 \times 3\) que se ha proporcionado:

Paso 1: Calcular la matriz de cofactores

Primero calculamos la matriz de menores. Tenemos que, por definición, la matriz de menores \(M\) está definida por la fórmula

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

donde en este caso \( A^{i,j}\) es la matriz \(A\) tras eliminar la fila \(i\) y la columna \(j\).

Por tanto, y en base a la matriz \(A\) proporcionada obtenemos los siguientes coeficientes de la matriz de menores:

Para \(A^{ 1, 1}\):

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 4 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 3\]

Para \(A^{ 1, 2}\):

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Para \(A^{ 1, 3}\):

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) = -2\]

Para \(A^{ 2, 1}\):

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 2\]

Para \(A^{ 2, 2}\):

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Para \(A^{ 2, 3}\):

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) = -1\]

Para \(A^{ 3, 1}\):

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 4&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 1 \right) - 4 \cdot \left(1 \right) = -1\]

Para \(A^{ 3, 2}\):

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) = 0\]

Para \(A^{ 3, 3}\):

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 4 \right) - 2 \cdot \left(3 \right) = 2\]

Resumiendo, la matriz de menores es:

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

Ahora, podemos calcular los elementos de la matriz cofactora \(C\) utilizando la fórmula

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

La fórmula anterior se puede utilizar directamente porque los menores ya se conocen. Obtenemos

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \cdot 3 = (-1)^{ 2} \cdot 3 = 3\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \cdot 1 = (-1)^{ 3} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \left(-2\right)= (-1)^{ 4} \left(-2\right) = -2\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 2 = (-1)^{ 3} \cdot 2 = -2\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 1 = (-1)^{ 4} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \cdot 0 = (-1)^{ 5} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \cdot 2 = (-1)^{ 6} \cdot 2 = -2\]

Resumiendo, la matriz de cofactores es:

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -2 \end{bmatrix} \]

Paso 2: Calcular la matriz adjunta a partir de la matriz cofactora

Ahora, sólo tenemos que transponer la matriz cofactora que hemos encontrado para calcular la matriz adjunta. Obtenemos:

\[adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -2 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle 1&\displaystyle -2 \end{bmatrix} \]

lo que concluye el cálculo de la matriz adjunta.