Fertigstellung des quadratrechners

Was bedeutet es, das Quadrat zu vervollständigen?Nun, die Idee ist, das Quadrat von etwas zu haben.Wann immer Sie einen quadratischen Ausdruck der Form \(ax^2 + bx + c\) haben, möchten Sie sie als "Quadrat von etwas" haben.

Analyse des Ausdrucks, dem einzigen Quadrat, sehen Sie, ob der Teil \(a x^2\) das Quadrat von \(x\) enthält, aber dann haben Sie andere Dinge beiseite des Quadrats.Mathematisch ist es immer möglich, einen quadratischen Ausdruck der Form \(ax^2 + bx + c\) als "Quadrat von etwas" auszulegen, aber möglicherweise müssten wir eine Konstante hinzufügen.

Manchmal, wenn diese Konstante Null ist, würden wir das bekommen, was genannt wird Perfectes Viereck .

Wie schließe ich das Quadrat ab?Fertigstellung der Quadrate, oder Perfektionierer des Quadrats Wie es auch bekannt ist, ist einfach der Prozess, einen quadratischen Ausdruck \(ax^2 + bx + c\) in die Form des Quadrats eines einfachen Ausdrucks sowie möglicherweise eine Konstante zu setzen.Das Verfahren ist unkompliziert und besteht aus verschiedenen Schritten.

Wie beenden sie das quadrat?

Schritt 1: Stellen Sie sicher, dass der bestandene Expression quadratisch ist und einen Multiplizieren des Begriffs \(x^2\) multipliziert.Wenn dies nicht der Fall ist, können Sie diese Prozedur nicht ausführen.

Schritt 2: Jetzt, da Sie einen richtigen quadratischen Begriff \(ax^2 + bx + c\) haben, müssen Sie \(a\) (der Begriff, der sich vervielfacht << xyz >> multipliziert).Wenn << xyz >>, dann lassen Sie es so wie es ist.

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) \]

Schritt 3: Jetzt müssen wir uns den Begriff in den Klammern ansehen (oder den ursprünglichen Begriff, wenn \(a = 1\)).Beachten Sie, dass wir für eine konstante \(d\) das \((x+d)^2 = x^2 + 2dx + d^2\) haben.Also beobachten wir das

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = \displaystyle a\left(x^2 + 2 \left(\frac{b}{2a}\right)x + \frac{c}{a}\right) \]

Also ist der Begriff \(2 \left(\frac{b}{2a}\right)x \) im obigen Ausdruck dem \(d\) in \((x+d)^2 = x^2 + 2dx + d^2\) furchtbar ähnlich.In der Tat können wir also tun

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = \displaystyle a\left(x^2 + 2 \left(\frac{b}{2a}\right)x + \frac{c}{a}\right) \] \[ = \displaystyle a\left(x^2 + 2 \left(\frac{b}{2a}\right)x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}\right) \] \[ = \displaystyle a \left( \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{c}{a} \right) \] \[ = \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c \]

Dieser Prozess wird genannt Lösen Siedurch Abschluss des Quadrats oder Perfektionierer des Quadrats .

Abschluss der quadratischen beispiele

Betrachten Sie den Ausdruck: \(2x^2 + 2x + 1\).Erstens fakten wir 2 heraus:

\[ 2x^2 + 2x + 1 = \displaystyle 2\left(x^2 + x + \frac{1}{2}\right)\]

Wir können entweder die oben angegebene Formel auswendig lernen, oder Sie können das Verfahren des "Quadrats" befolgen. Ich glaube, dass letzteres die beste Option ist, da Sie die Formel definitiv vergessen können, aber Sie werden das Verfahren nicht einmal vergessenDu lernst es. Also schauen wir uns den Begriff \(x\) an und zwingen die 2 vor sich. Also bekommen wir uns

\[ 2x^2 + 2x + 1 = \displaystyle 2\left(x^2 + x + \frac{1}{2}\right)= \displaystyle 2\left(x^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)x + \frac{1}{2}\right)\]

Schauen Sie sich nun den Begriff in der Klammer links von \(x\) an.Wir quadrieren den Begriff und fügen ihn hinzu und subtrahieren Sie ihn: \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \), so dass wir im Wesentlichen 0 hinzufügen, sodass sich der Ausdruck nicht ändert:

\[ 2x^2 + 2x + 1 = \displaystyle 2\left(x^2 + x + \frac{1}{2}\right)= \displaystyle 2\left(x^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)x + \frac{1}{2}\right)\] \[ = \displaystyle 2\left(x^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)x + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\right) \]

Jetzt können wir die ersten drei Begriffe als perfektes Quadrat identifizieren, also bekommen wir:

\[ = \displaystyle 2\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\right) \] \[ = \displaystyle 2\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\right) \] \[ = \displaystyle 2\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} \right) \] \[ = \displaystyle 2 \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} \]

Warum heißt es das warum?

Sie fragen sich vielleicht, warum das Verfahren zum Abschluss des Quadrats als Abschluss des Quadrats bezeichnet wird.Nun, ich habe es zu Beginn erwähnt, wir versuchen, einen quadratischen Ausdruck zu bekommen und es als "Quadrat von etwas" neu zu schreiben, und das wird durch Hinzufügen der richtigen Konstante getan, damit wir buchstäblich "das Quadrat vervollständigen".Indem wir diese Konstante hinzufügen (und subtrahieren), erhalten wir ein perfektes Quadrat sowie eine Konstante, die es ermöglicht, dieses "Quadrat von etwas" zu finden, nach dem wir gesucht haben

Quadratische gleichungen durch abschluss des quadrats lösen

Interessanterweise entspricht das Abschluss des Quadrats der Lösung einer quadratischen Gleichung.In der Tat, wenn wir lösen wollen

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

Wir wissen jetzt, dass wir das Quadrat vervollständigen können, um zu bekommen:

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c \]

Wir bekommen, dass das Lösen der quadratischen Gleichung das gleiche ist wie das Lösen

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = 0\]

also dann

\[ \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = 0 \] \[ \Rightarrow a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2}{4a} - c\] \[ \Rightarrow \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}\] \[ \Rightarrow x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } \] \[ \Rightarrow x = - \frac{b}{2a} \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } \] \[ \Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

Wenn Sie also das Quadrat verwenden, um eine quadratische Gleichung zu lösen, ist dies genau das gleiche wie die Verwendung der herkömmlichen quadratischen Formel.

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