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Segunda calculadora derivada

Instruções: Use a calculadora de segunda derivada para calcular a segunda derivada (isto é, a derivada da derivada) de qualquer função diferenciável que você fornecer, mostrando todas as etapas. Por favor, digite a função na caixa de formulário abaixo.

Mais sobre segundas derivadas

Esta calculadora pode ajudá-lo a calcular a segunda derivada de qualquer função válida que você fornecer, mostrando todas as etapas do processo. Tudo o que você precisa fazer é fornecer uma função diferenciável válida.

Uma função válida pode ser f(x) = x*tan(x), ou f(x) = 3x^3 + 2x - 1, etc. Pode ser qualquer função válida e não necessariamente vem simplificada, pois a calculadora simplificará, caso seja necessário.

Depois de fornecer uma função válida, você pode clicar no botão "Calcular" para obter todos os cálculos e etapas mostradas.

As segundas derivadas são tremendamente práticas em muitas aplicações, especialmente em Cálculo, com o teste da segunda derivada para maximização e minimização, para avaliar se um ponto crítico é máximo, mínimo ou nenhum.

Qual é a segunda derivada

Em termos muito simples, uma segunda derivada é apenas a derivada da derivada. Portanto, o processo de calcular uma segunda derivada envolve calcular uma derivada uma vez e depois outra vez, usando o método comum Regras de Derivadas . A segunda derivada de uma função \(f(x)\) é geralmente escrita como \(f''(x)\).

A ideia de segunda derivada também se aplica a derivadas parciais , e corresponde à derivada duas vezes, mas, neste caso, pode ser calculada em relação a diferentes variáveis.

Etapas para calcular a segunda derivada

Passo 1: Identifique a função f(x) que você deseja diferenciar duas vezes e simplificar tanto quanto possível primeiro
Passo 2: Diferencie uma vez para obter a derivada f'(x). Simplifique a derivada obtida, se necessário
Passo 3: Diferencie agora f'(x), para obter a segunda derivada f''(x)

Os passos parecem ser fáceis, mas dependendo da função dada, a quantidade de cálculos algébricos pode ser grande.

Notação de segunda derivada

A notação mais comum para a segunda derivada é \(f''(x)\), o que reflete bem o fato de que a operação derivada, denotada por ', é aplicada duas vezes à função.

Existe outra notação para a segunda derivada, que é particularmente útil quando a função \(f(x)\) é referida como 'y = y(x)'. Então, usamos a seguinte notação para a segunda derivada.

\[\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = \displaystyle \frac{d}{dx} \left(\frac{dy}{dx}\right) \]

Etapas para calcular segundas derivadas para funções implícitas

Passo 1: Identifique a equação envolvendo x e y
Passo 2: Diferencie os dois lados da igualdade. Cada lado poderia potencialmente depender de x, y e y'. Simplifique termos óbvios, mas não é estritamente necessário
Passo 3: Diferencie novamente os dois lados da igualdade. Cada lado pode potencialmente depender de x, y, y' e y''. Então, resolva para y''

Geralmente é muito mais fácil calcular a segunda derivada por diferenciação implícita do que resolvendo y em termos de x primeiro e depois diferenciando, caso x e y sejam definidos implicitamente por uma equação, como \(x^2 + y^2 = 1\).

Segunda derivada em um ponto

Assim como a derivada, a segunda derivada é uma função definida ponto a ponto. Observe que um erro comum que os alunos cometem é pensar, já que eu quero derivar em um ponto, e a função avaliada em um ponto é constante, sua derivada deve ser constante. ERRADO. Você primeiro Calcular para derivada , e ENTÃO você avalia.

Exemplo: cálculo da segunda derivada

Calcule a segunda derivada de: \(f(x) = \cos(x^2)\)

Solução: Neste exemplo, calcularemos a segunda derivada da função \(\displaystyle f(x)=\cos\left(x^2\right)\).

\( \displaystyle \frac{d}{dx}\left(\cos\left(x^2\right)\right)\)

By using the Chain Rule: \(\frac{d}{dx}\left( \cos\left(x^2\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(x^2\right)\cdot \left(-\sin\left(x^2\right)\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x^2\right)\cdot \left(-\sin\left(x^2\right)\right)\)

We use the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{d}{dx}\left( x^2 \right) = 2x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(2x\right) \left(-\sin\left(x^2\right)\right)\)

which then leads to

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle 2x\cdot \left(-\sin\left(x^2\right)\right)\)

Finally, the following is obtained

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -2x\sin\left(x^2\right)\)

Segunda Derivada: Agora, derivamos a derivada obtida para obter a segunda derivada:

\( \displaystyle \frac{d^2f}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(-2x\sin\left(x^2\right)\right)\)

By using the Product Rule: \(\frac{d}{dx}\left( \left(-1\right)\times 2x\sin\left(x^2\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(-2x\right) \cdot \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x^2\right)\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(-2x\right) \cdot \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x^2\right)\right)\)

By linearity, we know \(\frac{d}{dx}\left( (-1)\times 2x \right) = \left(-1 \right) \cdot \frac{d}{dx}\left(2x\right)\), so plugging that in:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(\left(-1 \right) \cdot \frac{d}{dx}\left(2x\right)\right) \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x^2\right)\right)\)

Using the Chain Rule: \(\frac{d}{dx}\left( \sin\left(x^2\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(x^2\right)\cdot \cos\left(x^2\right)\) and directly we get: \(\frac{d}{dx}\left( 2x \right) = 2\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(\left(-1 \right) \cdot 2\right) \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot \frac{d}{dx}\left(x^2\right)\cdot \cos\left(x^2\right)\)

In this case we use the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{d}{dx}\left( x^2 \right) = 2x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(\left(-1 \right) \cdot 2\right) \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot 2x\cdot \cos\left(x^2\right)\)

and then we find

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -2x\cdot 2x\cos\left(x^2\right)+\left(-2\right)\sin\left(x^2\right)\)

Putting together the numerical values, reducing the ones in \(-2x\cdot 2x\cos\left(x^2\right) = -4x^2\cos\left(x^2\right)\) and grouping the terms with \(x\) in the term \(-2x\cdot 2x\cos\left(x^2\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -2\cdot 2x^2\cos\left(x^2\right)-2\sin\left(x^2\right)\)

Simplifying the integers that can be multiplied together: \(\displaystyle -2\times2 = -4\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -4x^2\cos\left(x^2\right)-2\sin\left(x^2\right)\)

Conclusão Final : Descobrimos que a segunda derivada que estamos procurando é:

\[f''(x) = -4x^2\cos\left(x^2\right)-2\sin\left(x^2\right)\]

Exemplo: mais segundas derivadas

Para a seguinte função: \(f(x) = x \cos(x)\), calcule sua segunda derivada

Solução: Agora, fazemos o mesmo em tis \(\displaystyle f(x)=x\cos\left(x\right)\), para o qual precisamos calcular sua derivada.

A função já veio simplificada, então podemos proceder diretamente ao cálculo de sua derivada:

\( \displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\cos\left(x\right)\right)\)

Using the Product Rule: \(\frac{d}{dx}\left( x\cos\left(x\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \cos\left(x\right)+x \cdot \frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \cos\left(x\right)+x \cdot \frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)\right)\)

Directly differentiating: \(\frac{d}{dx}\left( \cos\left(x\right) \right) = -\sin\left(x\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \cos\left(x\right)+x \left(-\sin\left(x\right)\right)\)

which then leads to

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle x\cdot \left(-\sin\left(x\right)\right)+\cos\left(x\right)\)

By reorganizing/simplifying/expanding the terms that are amenable to

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -x\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)\)

Cálculo Da Segunda Derivada: O próximo passo é derivar a derivada obtida nos passos anteriores:

\( \displaystyle \frac{d^2f}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(-x\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)\right)\)

By linearity, we know \(\frac{d}{dx}\left( (-1)x\sin(x)+\cos(x) \right) = \frac{d}{dx}\left((-1)x\sin(x)\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos(x)\right)\), so plugging that in:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\left(-1\right)x\sin\left(x\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)\right)\)

Directly differentiating: \(\frac{d}{dx}\left( \cos\left(x\right) \right) = -\sin\left(x\right)\) and we can use the Product Rule: \(\frac{d}{dx}\left( \left(-1\right)x\sin\left(x\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(\left(-1\right)x\right) \cdot \sin\left(x\right)+\left(-1\right)x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\left(-1\right)x\right) \cdot \sin\left(x\right)+\left(-1\right)x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)-\sin\left(x\right)\)

Directly differentiating: \(\frac{d}{dx}\left( \sin\left(x\right) \right) = \cos\left(x\right)\) and directly we get: \(\frac{d}{dx}\left( \left(-1\right)x \right) = -1\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(-1\right) \sin\left(x\right)+\left(-1\right)x \cdot \cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)\)

and then we get

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(-1\right)x\cos\left(x\right)+\left(-1\right)\sin\left(x\right)+\left(-\sin\left(x\right)\right)\)

Reducing the multiplication by ones in \(\left(-1\right)x\cos\left(x\right) = \left(-1\right)x\cos\left(x\right)\) and

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(-1\right)x\cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)+\left(-\sin\left(x\right)\right)\)

Simplifying:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -x\cos\left(x\right)-2\sin\left(x\right)\)

Conclusão Da Segunda Derivada : Concluímos que a segunda derivada da função dada é:

\[f''(x) = -x\cos\left(x\right)-2\sin\left(x\right)\]

Exemplo: segunda derivada e diferenciação implícita

Usando diferenciação implícita, calcule a segunda derivada de y em relação a x, para \( x^2 + y^2 = 1\).

Solução: Aplicamos diferenciação implícita, assumindo que y depende de x, e diferenciamos ambos os lados da igualdade:

\[ \frac{d}{dx}\left(x^2 + y^2\right) = \frac{d}{dx} (1) \] \[ \Rightarrow 2x + 2yy' = 0 \]

Agora, aplicando a diferenciação implícita novamente:

\[ \frac{d}{dx}\left( 2x + 2yy' \right) = \frac{d}{dx} 0 \] \[ \Rightarrow 2 + 2y'^2+2yy'' = 0 \] \[ \Rightarrow 2y'^2 + 2yy'' = -2\] \[ \Rightarrow yy'' = -1 - y'^2 \] \[ \Rightarrow y'' = \frac{-1 - y'^2}{y} \]

que conclui o cálculo.

Mais calculadoras derivadas

Quando encontrando a derivada de uma função, é natural pensar em fazer o processo novamente, que é achar a derivada da derivada, e é justamente isso segunda calculadora derivada faz.

O conceito de segunda derivada é bastante útil em Cálculo, principalmente na hora de maximizar ou minimizar funções. A segunda derivada fornece informações sobre a concavidade de uma função, que também é crucial na hora de entender a forma da função. gráfico da função .

As segundas derivadas podem ser calculadas tanto para derivadas regulares quanto para diferenciação implícita , no qual você calcula a regra de diferenciação implícita duas vezes.