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Segunda calculadora derivada

Instruções: Use a calculadora de segunda derivada para calcular a segunda derivada (isto é, a derivada da derivada) de qualquer função diferenciável que você fornecer, mostrando todas as etapas. Por favor, digite a função na caixa de formulário abaixo.

Digite a função f(x)f(x) que deseja calcular a segunda derivada (Ex: f(x) = x*sin(x), etc.)

Mais sobre segundas derivadas

Esta calculadora pode ajudá-lo a calcular a segunda derivada de qualquer função válida que você fornecer, mostrando todas as etapas do processo. Tudo o que você precisa fazer é fornecer uma função diferenciável válida.

Uma função válida pode ser f(x) = x*tan(x), ou f(x) = 3x^3 + 2x - 1, etc. Pode ser qualquer função válida e não necessariamente vem simplificada, pois a calculadora simplificará, caso seja necessário.

Depois de fornecer uma função válida, você pode clicar no botão "Calcular" para obter todos os cálculos e etapas mostradas.

As segundas derivadas são tremendamente práticas em muitas aplicações, especialmente em Cálculo, com o teste da segunda derivada para maximização e minimização, para avaliar se um ponto crítico é máximo, mínimo ou nenhum.

Segunda Calculadora Derivada

Qual é a segunda derivada

Em termos muito simples, uma segunda derivada é apenas a derivada da derivada. Portanto, o processo de calcular uma segunda derivada envolve calcular uma derivada uma vez e depois outra vez, usando o método comum Regras de Derivadas . A segunda derivada de uma função f(x)f(x) é geralmente escrita como f′′(x)f''(x).

A ideia de segunda derivada também se aplica a derivadas parciais , e corresponde à derivada duas vezes, mas, neste caso, pode ser calculada em relação a diferentes variáveis.

Etapas para calcular a segunda derivada

  • Passo 1: Identifique a função f(x) que você deseja diferenciar duas vezes e simplificar tanto quanto possível primeiro
  • Passo 2: Diferencie uma vez para obter a derivada f'(x). Simplifique a derivada obtida, se necessário
  • Passo 3: Diferencie agora f'(x), para obter a segunda derivada f''(x)

Os passos parecem ser fáceis, mas dependendo da função dada, a quantidade de cálculos algébricos pode ser grande.

Notação de segunda derivada

A notação mais comum para a segunda derivada é f′′(x)f''(x), o que reflete bem o fato de que a operação derivada, denotada por ', é aplicada duas vezes à função.

Existe outra notação para a segunda derivada, que é particularmente útil quando a função f(x)f(x) é referida como 'y = y(x)'. Então, usamos a seguinte notação para a segunda derivada.

d2ydx2=ddx(dydx)\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = \displaystyle \frac{d}{dx} \left(\frac{dy}{dx}\right)
Cálculo Da Segunda Derivada

Etapas para calcular segundas derivadas para funções implícitas

  • Passo 1: Identifique a equação envolvendo x e y
  • Passo 2: Diferencie os dois lados da igualdade. Cada lado poderia potencialmente depender de x, y e y'. Simplifique termos óbvios, mas não é estritamente necessário
  • Passo 3: Diferencie novamente os dois lados da igualdade. Cada lado pode potencialmente depender de x, y, y' e y''. Então, resolva para y''

Geralmente é muito mais fácil calcular a segunda derivada por diferenciação implícita do que resolvendo y em termos de x primeiro e depois diferenciando, caso x e y sejam definidos implicitamente por uma equação, como x2+y2=1x^2 + y^2 = 1.

Segunda derivada em um ponto

Assim como a derivada, a segunda derivada é uma função definida ponto a ponto. Observe que um erro comum que os alunos cometem é pensar, já que eu quero derivar em um ponto, e a função avaliada em um ponto é constante, sua derivada deve ser constante. ERRADO. Você primeiro Calcular para derivada , e ENTÃO você avalia.

Segunda Derivada

Exemplo: cálculo da segunda derivada

Calcule a segunda derivada de: f(x)=cos⁡(x2)f(x) = \cos(x^2)

Solução: Neste exemplo, calcularemos a segunda derivada da função f(x)=cos⁡(x2)\displaystyle f(x)=\cos\left(x^2\right).

ddx(cos⁡(x2)) \displaystyle \frac{d}{dx}\left(\cos\left(x^2\right)\right)
By using the Chain Rule: ddx(cos⁡(x2))=ddx(x2)⋅(−sin⁡(x2))\frac{d}{dx}\left( \cos\left(x^2\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(x^2\right)\cdot \left(-\sin\left(x^2\right)\right)
=   \displaystyle = \,\,
ddx(x2)⋅(−sin⁡(x2))\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x^2\right)\cdot \left(-\sin\left(x^2\right)\right)
We use the Power Rule for polynomial terms: ddx(x2)=2x\frac{d}{dx}\left( x^2 \right) = 2x
=   \displaystyle = \,\,
(2x)(−sin⁡(x2))\displaystyle \left(2x\right) \left(-\sin\left(x^2\right)\right)
which then leads to
=   \displaystyle = \,\,
2x⋅(−sin⁡(x2))\displaystyle 2x\cdot \left(-\sin\left(x^2\right)\right)
Finally, the following is obtained
=   \displaystyle = \,\,
−2xsin⁡(x2)\displaystyle -2x\sin\left(x^2\right)

Segunda Derivada: Agora, derivamos a derivada obtida para obter a segunda derivada:

d2fdx2=ddx(−2xsin⁡(x2)) \displaystyle \frac{d^2f}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(-2x\sin\left(x^2\right)\right)
By using the Product Rule: ddx((−1)×2xsin⁡(x2))=ddx(−2x)⋅sin⁡(x2)+(−1)×2x⋅ddx(sin⁡(x2))\frac{d}{dx}\left( \left(-1\right)\times 2x\sin\left(x^2\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(-2x\right) \cdot \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x^2\right)\right)
=   \displaystyle = \,\,
ddx(−2x)⋅sin⁡(x2)+(−1)×2x⋅ddx(sin⁡(x2))\displaystyle \frac{d}{dx}\left(-2x\right) \cdot \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x^2\right)\right)
By linearity, we know ddx((−1)×2x)=(−1)⋅ddx(2x)\frac{d}{dx}\left( (-1)\times 2x \right) = \left(-1 \right) \cdot \frac{d}{dx}\left(2x\right), so plugging that in:
=   \displaystyle = \,\,
((−1)⋅ddx(2x))sin⁡(x2)+(−1)×2x⋅ddx(sin⁡(x2))\displaystyle \left(\left(-1 \right) \cdot \frac{d}{dx}\left(2x\right)\right) \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x^2\right)\right)
Using the Chain Rule: ddx(sin⁡(x2))=ddx(x2)⋅cos⁡(x2)\frac{d}{dx}\left( \sin\left(x^2\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(x^2\right)\cdot \cos\left(x^2\right) and directly we get: ddx(2x)=2\frac{d}{dx}\left( 2x \right) = 2
=   \displaystyle = \,\,
((−1)⋅2)sin⁡(x2)+(−1)×2x⋅ddx(x2)⋅cos⁡(x2)\displaystyle \left(\left(-1 \right) \cdot 2\right) \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot \frac{d}{dx}\left(x^2\right)\cdot \cos\left(x^2\right)
In this case we use the Power Rule for polynomial terms: ddx(x2)=2x\frac{d}{dx}\left( x^2 \right) = 2x
=   \displaystyle = \,\,
((−1)⋅2)sin⁡(x2)+(−1)×2x⋅2x⋅cos⁡(x2)\displaystyle \left(\left(-1 \right) \cdot 2\right) \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot 2x\cdot \cos\left(x^2\right)
and then we find
=   \displaystyle = \,\,
−2x⋅2xcos⁡(x2)+(−2)sin⁡(x2)\displaystyle -2x\cdot 2x\cos\left(x^2\right)+\left(-2\right)\sin\left(x^2\right)
Putting together the numerical values, reducing the ones in −2x⋅2xcos⁡(x2)=−4x2cos⁡(x2)-2x\cdot 2x\cos\left(x^2\right) = -4x^2\cos\left(x^2\right) and grouping the terms with xx in the term −2x⋅2xcos⁡(x2)-2x\cdot 2x\cos\left(x^2\right)
=   \displaystyle = \,\,
−2⋅2x2cos⁡(x2)−2sin⁡(x2)\displaystyle -2\cdot 2x^2\cos\left(x^2\right)-2\sin\left(x^2\right)
Simplifying the integers that can be multiplied together: −2×2=−4\displaystyle -2\times2 = -4
=   \displaystyle = \,\,
−4x2cos⁡(x2)−2sin⁡(x2)\displaystyle -4x^2\cos\left(x^2\right)-2\sin\left(x^2\right)

Conclusão Final : Descobrimos que a segunda derivada que estamos procurando é:

f′′(x)=−4x2cos⁡(x2)−2sin⁡(x2)f''(x) = -4x^2\cos\left(x^2\right)-2\sin\left(x^2\right)

Exemplo: mais segundas derivadas

Para a seguinte função: f(x)=xcos⁡(x)f(x) = x \cos(x), calcule sua segunda derivada

Solução: Agora, fazemos o mesmo em tis f(x)=xcos⁡(x)\displaystyle f(x)=x\cos\left(x\right), para o qual precisamos calcular sua derivada.

A função já veio simplificada, então podemos proceder diretamente ao cálculo de sua derivada:

ddx(xcos⁡(x)) \displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\cos\left(x\right)\right)
Using the Product Rule: ddx(xcos⁡(x))=ddx(x)⋅cos⁡(x)+x⋅ddx(cos⁡(x))\frac{d}{dx}\left( x\cos\left(x\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \cos\left(x\right)+x \cdot \frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)\right)
=   \displaystyle = \,\,
ddx(x)⋅cos⁡(x)+x⋅ddx(cos⁡(x))\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \cos\left(x\right)+x \cdot \frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)\right)
Directly differentiating: ddx(cos⁡(x))=−sin⁡(x)\frac{d}{dx}\left( \cos\left(x\right) \right) = -\sin\left(x\right)
=   \displaystyle = \,\,
ddx(x)⋅cos⁡(x)+x(−sin⁡(x))\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \cos\left(x\right)+x \left(-\sin\left(x\right)\right)
which then leads to
=   \displaystyle = \,\,
x⋅(−sin⁡(x))+cos⁡(x)\displaystyle x\cdot \left(-\sin\left(x\right)\right)+\cos\left(x\right)
By reorganizing/simplifying/expanding the terms that are amenable to
=   \displaystyle = \,\,
−xsin⁡(x)+cos⁡(x)\displaystyle -x\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)

Cálculo Da Segunda Derivada: O próximo passo é derivar a derivada obtida nos passos anteriores:

d2fdx2=ddx(−xsin⁡(x)+cos⁡(x)) \displaystyle \frac{d^2f}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(-x\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)\right)
By linearity, we know ddx((−1)xsin⁡(x)+cos⁡(x))=ddx((−1)xsin⁡(x))+ddx(cos⁡(x))\frac{d}{dx}\left( (-1)x\sin(x)+\cos(x) \right) = \frac{d}{dx}\left((-1)x\sin(x)\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos(x)\right), so plugging that in:
=   \displaystyle = \,\,
ddx((−1)xsin⁡(x))+ddx(cos⁡(x))\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\left(-1\right)x\sin\left(x\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)\right)
Directly differentiating: ddx(cos⁡(x))=−sin⁡(x)\frac{d}{dx}\left( \cos\left(x\right) \right) = -\sin\left(x\right) and we can use the Product Rule: ddx((−1)xsin⁡(x))=ddx((−1)x)⋅sin⁡(x)+(−1)x⋅ddx(sin⁡(x))\frac{d}{dx}\left( \left(-1\right)x\sin\left(x\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(\left(-1\right)x\right) \cdot \sin\left(x\right)+\left(-1\right)x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)
=   \displaystyle = \,\,
ddx((−1)x)⋅sin⁡(x)+(−1)x⋅ddx(sin⁡(x))−sin⁡(x)\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\left(-1\right)x\right) \cdot \sin\left(x\right)+\left(-1\right)x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)-\sin\left(x\right)
Directly differentiating: ddx(sin⁡(x))=cos⁡(x)\frac{d}{dx}\left( \sin\left(x\right) \right) = \cos\left(x\right) and directly we get: ddx((−1)x)=−1\frac{d}{dx}\left( \left(-1\right)x \right) = -1
=   \displaystyle = \,\,
(−1)sin⁡(x)+(−1)x⋅cos⁡(x)−sin⁡(x)\displaystyle \left(-1\right) \sin\left(x\right)+\left(-1\right)x \cdot \cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)
and then we get
=   \displaystyle = \,\,
(−1)xcos⁡(x)+(−1)sin⁡(x)+(−sin⁡(x))\displaystyle \left(-1\right)x\cos\left(x\right)+\left(-1\right)\sin\left(x\right)+\left(-\sin\left(x\right)\right)
Reducing the multiplication by ones in (−1)xcos⁡(x)=(−1)xcos⁡(x)\left(-1\right)x\cos\left(x\right) = \left(-1\right)x\cos\left(x\right) and
=   \displaystyle = \,\,
(−1)xcos⁡(x)−sin⁡(x)+(−sin⁡(x))\displaystyle \left(-1\right)x\cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)+\left(-\sin\left(x\right)\right)
Simplifying:
=   \displaystyle = \,\,
−xcos⁡(x)−2sin⁡(x)\displaystyle -x\cos\left(x\right)-2\sin\left(x\right)

Conclusão Da Segunda Derivada : Concluímos que a segunda derivada da função dada é:

f′′(x)=−xcos⁡(x)−2sin⁡(x)f''(x) = -x\cos\left(x\right)-2\sin\left(x\right)

Exemplo: segunda derivada e diferenciação implícita

Usando diferenciação implícita, calcule a segunda derivada de y em relação a x, para x2+y2=1 x^2 + y^2 = 1.

Solução: Aplicamos diferenciação implícita, assumindo que y depende de x, e diferenciamos ambos os lados da igualdade:

ddx(x2+y2)=ddx(1) \frac{d}{dx}\left(x^2 + y^2\right) = \frac{d}{dx} (1) ⇒2x+2yy′=0 \Rightarrow 2x + 2yy' = 0

Agora, aplicando a diferenciação implícita novamente:

ddx(2x+2yy′)=ddx0 \frac{d}{dx}\left( 2x + 2yy' \right) = \frac{d}{dx} 0 ⇒2+2y′2+2yy′′=0 \Rightarrow 2 + 2y'^2+2yy'' = 0 ⇒2y′2+2yy′′=−2 \Rightarrow 2y'^2 + 2yy'' = -2 ⇒yy′′=−1−y′2 \Rightarrow yy'' = -1 - y'^2 ⇒y′′=−1−y′2y \Rightarrow y'' = \frac{-1 - y'^2}{y}

que conclui o cálculo.

Mais calculadoras derivadas

Quando encontrando a derivada de uma função, é natural pensar em fazer o processo novamente, que é achar a derivada da derivada, e é justamente isso segunda calculadora derivada faz.

O conceito de segunda derivada é bastante útil em Cálculo, principalmente na hora de maximizar ou minimizar funções. A segunda derivada fornece informações sobre a concavidade de uma função, que também é crucial na hora de entender a forma da função. gráfico da função .

As segundas derivadas podem ser calculadas tanto para derivadas regulares quanto para diferenciação implícita , no qual você calcula a regra de diferenciação implícita duas vezes.

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