Sobre a regra da cadeia

Esta calculadora permitirá que você aplique a regra da cadeia a qualquer função composta que você fornecer. A Função composta corresponde ao caso em que você avalia uma função dentro de uma função. Para que a calculadora da regra da cadeia funcione, você precisa fornecer uma função composta diferenciável válida.

Um exemplo de função válida seria f(x) = (sin(x))^2, onde aqui temos a função 'x^2' que está sendo avaliada em outra função, que é sin(x), formando um função composta.

Uma vez fornecida uma função diferenciável válida, a próxima coisa que você deve fazer é clicar no botão "Calcular", que então colocará os cálculos em movimento e você verá todas as etapas.

A derivada da regra da cadeia é uma das regras de diferenciação mais comumente usadas. Isso ocorre porque a composição da função é uma das formas mais naturais de construir novas funções com base nas elementares.

O que é a regra da cadeia

Em palavras simples, a Regra da Cadeia permite diferenciar funções compostas, ou seja, funções que são avaliadas dentro de outras funções. Então, digamos que temos as funções \(f(x)\) e \(g(x)\), e sabemos como calcular a derivada dessas funções, que são \(f'(x)\) e \(g'(x)\).

Então, há um Fórmula da Regra da Cadeia que nos permite calcular a derivada da função composta \(f \circ g\), que é definida como \((f \circ g)(x) = f(g(x))\):

\[\displaystyle (f \circ g)'(x) = f'(g(x))g'(x)\]

Passos para usar a regra da cadeia

• Passo 1: Identifique a função externa f(x) e a função interna g(x)
• Passo 2: Certifique-se de que f(x) e g(x) são funções válidas e diferenciáveis e calcule as derivadas correspondentes f'(x) e g'(x)
• Passo 3: Use a fórmula (f \circ g)'(x) = f'(g(x))g'(x), que indica que calculamos a derivada da função externa na função interna e multiplique pela derivada da função interna

Observe como as etapas acima usam a ideia de função 'interna' e 'externa'. Esse possivelmente não é um termo padrão, mas sim uma ideia que pode ajudar a identificar o papel desempenhado por cada função ao usar a Regra da Cadeia.

Aplicações da regra da cadeia

A Regra da Cadeia é de fato uma excelente ferramenta para encontrar derivadas, e normalmente será a chave de qualquer calculadora derivada , junto com todos os outros Regras de Derivadas . Mas a Regra da Cadeia tem uma interpretação especial no que é chamado Tarifas Relacionadas

Para contextualizar a ideia de taxas relacionadas, vamos começar com uma forma de escrever a Regra da Cadeia que talvez muitas pessoas achem mais fácil de entender:

\[\displaystyle \frac{dy}{dx} = \displaystyle \frac{dy}{dz} \cdot \frac{dz}{dx} \]

A forma acima da Regra da Cadeia está dizendo que se você \(y\) é uma função de \(z\) e \(z\) é uma função de \(x\), então, finalmente, \(y\) é uma função de \(x\), e você pode encontrar a derivada de \(y\) em relação a \(x\) usando a Regra da Cadeia.

Como você provavelmente já deve ter suspeitado, \(y\) desempenha o papel de \(f(x)\) (a função 'externa') e \(z\) desempenha o papel de \(g(x)\) (a função 'interna').

A forma acima da Regra da Cadeia vincula a taxa de variação de y em relação a x, com as taxas de variação de y em relação a z e a de z em relação a x e, portanto, o termo 'taxas relacionadas'.

Isso é extremamente útil na prática. Exemplo: o raio de um círculo está aumentando a uma taxa de 2 cm/s, qual é a taxa de variação da área do círculo? Então, você pode expressar o raio do círculo como uma função de t, refletindo o fato de que ele aumenta a uma taxa de 2 cm/s, OU você pode usar a Regra da Cadeia.

Então você chama A de área, r de raio e t de tempo. O que você precisa calcular é \(\displaystyle \frac{dA}{dt}\), então você usa a regra da cadeia diretamente, já que você sabe \(A = \pi r^2\), e r'(t) = 2, então

\[\displaystyle \frac{dA}{dt} = \displaystyle \frac{dA}{dr} \cdot \frac{dr}{dt} = 2\pi r \cdot 2 = 4 \pi r \]

Regra da cadeia derivada parcial

Você pode usar a regra da cadeia com derivadas parciais ? Claro, a diferenciação parcial é exatamente como a diferenciação regular, só que as outras variáveis são assumidas como constantes, então o usual Regras de Derivadas aplicar.

Então, aplica-se o ideal da regra da cadeia multivariável, apenas que uma variável varia de cada vez.

Integração da regra da cadeia

A Regra da Cadeia no sentido de que não se aplica como uma ferramenta derivativa, mas se torna uma ferramenta de integração inestimável para substituições e mudanças de variáveis.

Pode ser concebido como uma espécie de regra da cadeia reversa.

Exemplo: usando a regra da cadeia

Calcule a derivada da função: \(f(x) = \sin(\cos(x)) \)

Solução: Considere a função \(\displaystyle f(x)=\sin\left(\cos\left(x\right)\right)\). Esta função corresponde à composição de duas funções: sin(x) e cos(x), razão pela qual a Regra da Cadeia se aplicaria neste caso.

Qual é a conclusão : Podemos concluir que a derivada que procuramos é:

\[f'(x) = -\cos\left(\cos\left(x\right)\right)\sin\left(x\right)\]

e isso conclui o cálculo.

Exemplo de regra da cadeia

Usando a regra da cadeia e quaisquer outras regras derivadas, calcule: \(\displaystyle \frac{d}{dx} \left( \cos(x^2) \right)^2\)

Solução: Neste exemplo temos a função \(\displaystyle f(x)=\cos\left(x^2\right)\), que corresponde a uma função composta, que indica que a Regra da Cadeia é a regra da derivada certa para começar (outras regras serão necessárias ao longo dos cálculos)

Derivada Final : A conclusão é que a derivada da função fornecida é dada por:

\[f'(x) = -2x\sin\left(x^2\right)\]>

Podemos construir a seguinte representação gráfica no intervalo \([-5, 5]\):

Exemplo: outro cálculo da regra da cadeia

Calcule a derivada de \( f(x) = x^2 \sin(x^2)\) usando a regra da cadeia.

Solução:

A seguinte função foi fornecida: \(\displaystyle f(x)=x^2\sin\left(x^2\right)\), para a qual precisamos calcular sua derivada.

A função já veio simplificada, então podemos proceder diretamente ao cálculo de sua derivada:

Qual é a conclusão final : A conclusão final é que a derivada que procuramos é dada por:

\[f'(x) = 2\left(x^2\cos\left(x^2\right)+\sin\left(x^2\right)\right)x\]>

Graficamente temos:

Outras calculadoras derivadas

Certamente usando um calculadora derivada facilitará as coisas ao lidar com funções bastante complicadas. O processo de diferenciação torna-se amplo, facilitado pelo uso de palavras comuns e fáceis de lembrar. Regras de Derivadas , incluindo o Regra Do Produto , o Regra Do Quociente está em Regra Da Cadeia .

Essas regras o ajudarão a lidar com todas as funções diferenciáveis, mas o processo algébrico de cálculo e simplificação pode não ser necessariamente fácil.